Models of representations for classical series of Lie algebras
- Authors: Artamonov D.V.1
-
Affiliations:
- Lomonosov Moscow State University
- Issue: Vol 88, No 5 (2024)
- Pages: 3-46
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/265536
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9557
- ID: 265536
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
By a model of representations of a Lie algebra we mean a representation which isa direct sum of all irreducible finite-dimensional representations takenwith multiplicity $1$. An explicit construction ofa model of representations for all classical series of simple Lie algebrasis given. This construction is generic for all classical series of Lie algebras.The space of the model is constructed as the space of polynomial solutions ofa system of partial differential equations, where the equations areconstructed form relations between minors of matrices taken fromthe corresponding Lie group. This system admits a simplificationvery close to the GKZ system, which is satisfiedby $A$-hypergeometric functions.
About the authors
Dmitrii Vyacheslavovich Artamonov
Lomonosov Moscow State University
Email: artamonov.dmitri@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-5921-1513
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor
References
- W. Fulton, Young tableaux, With applications to representation theory and geometry, London Math. Soc. Stud. Texts, 35, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, x+260 pp.
- W. Fulton, J. Harris, Representation theory. A first course, Grad. Texts in Math., 129, Springer-Verlag, New York, 1991, xvi+551 pp.
- Jing-Song Huang, Chen-Bo Zhu, “Weyl's construction and tensor power decomposition for $G_2$ ”, Proc. Amer. Math. Soc., 127:3 (1999), 925–934
- G. E. Baird, L. C. Biedenharn, “On the representations of semisimple Lie groups. II”, J. Math. Phys., 4:12 (1963), 1449–1466
- W. J. Holman, III, “Representation theory of $SP(4)$ and $SO(5)$”, J. Math. Phys., 10 (1969), 1710–1717
- O. Castaños, E. Chacon, M. Moshinsky, C. Quesne, “Boson realization of $operatorname{sp}(4)$. I. The matrix formulation”, J. Math. Phys., 26:9 (1985), 2107–2123
- O. Castaños, P. Kramer, M. Moshinsky, “Boson realization of $operatorname{sp}(4,R)$. II. The generating kernel formulation”, J. Math. Phys., 27:4 (1986), 924–935
- J. P. Draayer, A. I. Georgieva, M. I. Ivanov, “Deformations of the boson $sp(4,R)$ representation and its subalgebras”, J. Phys. A, 34:14 (2001), 2999–3014
- Д. П. Желобенко, Компактные группы Ли и их представления, 2-е доп. изд., МЦНМО, М., 2007, 552 с.
- L. C. Biedenharn, D. E. Flath, “On the structure of tensor operators in SU3”, Comm. Math. Phys., 93:2 (1984), 143–169
- D. E. Flath, “On $mathfrak{so}_8$ and tensor operators of $mathfrak{sl}_3$”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 10:1 (1984), 97–100
- И. М. Гельфанд, А. В. Зелевинский, “Модели представлений классических групп и их скрытые симметрии”, Функц. анализ и его прил., 18:3 (1984), 14–31
- Э. Б. Винберг, В. Л. Попов, “Об одном классе квазиоднородных аффинных многообразий”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 36:4 (1972), 749–764
- D. V. Artamonov, “A functional realization of the Gelfand–Tsetlin base”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:6 (2023), 3–34
- D. V. Artamonov, “Antisymmetrization of the Gel'fand–Kapranov–Zelevinskij systems ”, J. Math. Sci. (N.Y.), 255:5 (2021), 535–542
- И. М. Гельфанд, М. И. Граев, В. С. Ретах, “Общие гипергеометрические системы уравнений и ряды гипергеометрического типа”, УМН, 47:4(286) (1992), 3–82
- Н. Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп, Наука, М., 1965, 588 с.
- Д. В. Артамонов, “Формулы вычисления $3j$-символов для представлений алгебры Ли $mathfrak{gl}_3$ в базисе Гельфанда–Цетлина”, Сиб. матем. журн., 63:4 (2022), 717–735
- Д. В. Артамонов, “Классические $6j$-символы конечномерных представлений алгебры $mathfrak{gl}_3$”, ТМФ, 216:1 (2023), 3–19
- Д. В. Артамонов, “Базис типа Гельфанда–Цетлина для алгебры $mathfrak{sp}_4$ и гипергеометрические функции”, ТМФ, 206:3 (2021), 279–294
- Д. В. Артамонов, “Функциональный подход к базису типа Гельфанда–Цетлина для алгебры $mathfrak{o}_5$”, ТМФ, 211:1 (2022), 3–22
- А. И. Молев, Янгианы и классические алгебры Ли, МЦНМО, М., 2009, 534 с.
- A. Berenstein, A. Zelevinsky, “Tensor product multiplicities, canonical bases and totally positive varieties”, Invent. Math., 143:1 (2001), 77–128
- E. Feigin, G. Fourier, P. Littelmann, “PBW filtration and bases for irreducible modules in type $mathsf A_n$”, Transform. Groups, 16:1 (2011), 71–89
- A. A. Gerasimov, D. R. Lebedev, S. V. Oblezin, “On a matrix element representation of the GKZ hypergeometric functions”, Lett. Math. Phys., 113:2 (2023), 43, 25 pp.
- E. Miller, B. Sturmfels, Combinatorial commutative algebra, Grad. Texts in Math., 227, Springer-Verlag, New York, 2005, xiv+417 pp.
- Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, 3-е изд., Наука, М., 1967, 576 с.
- А. Д. Брюно, Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях, Физматлит, М., 1998, 288 с.
- M. Saito, B. Sturmfels, N. Takayama, Gröbner deformations of hypergeometric differential equations, Algorithms Comput. Math., 6, Springer-Verlag, Berlin, 2000, viii+254 pp.
- Xin Fang, G. Fourier, P. Littelmann, “On toric degenerations of flag varieties”, Representation theory–current trends and perspectives, EMS Ser. Congr. Rep., Eur. Math. Soc. (EMS), Zürich, 2017, 187–232
- M. Kogan, E. Miller, “Toric degeneration of Schubert varieties and Gelfand–Tsetlin polytopes”, Adv. Math., 193:1 (2005), 1–17
- I. Makhlin, “Gelfanf–Tsetlin degenerations of representations and flag varieties”, Transform. Groups, 27:2 (2022), 563–596
Supplementary files
