Models of representations for classical series of Lie algebras

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

By a model of representations of a Lie algebra we mean a representation which isa direct sum of all irreducible finite-dimensional representations takenwith multiplicity $1$. An explicit construction ofa model of representations for all classical series of simple Lie algebrasis given. This construction is generic for all classical series of Lie algebras.The space of the model is constructed as the space of polynomial solutions ofa system of partial differential equations, where the equations areconstructed form relations between minors of matrices taken fromthe corresponding Lie group. This system admits a simplificationvery close to the GKZ system, which is satisfiedby $A$-hypergeometric functions.

About the authors

Dmitrii Vyacheslavovich Artamonov

Lomonosov Moscow State University

Email: artamonov.dmitri@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-5921-1513
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. W. Fulton, Young tableaux, With applications to representation theory and geometry, London Math. Soc. Stud. Texts, 35, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, x+260 pp.
  2. W. Fulton, J. Harris, Representation theory. A first course, Grad. Texts in Math., 129, Springer-Verlag, New York, 1991, xvi+551 pp.
  3. Jing-Song Huang, Chen-Bo Zhu, “Weyl's construction and tensor power decomposition for $G_2$ ”, Proc. Amer. Math. Soc., 127:3 (1999), 925–934
  4. G. E. Baird, L. C. Biedenharn, “On the representations of semisimple Lie groups. II”, J. Math. Phys., 4:12 (1963), 1449–1466
  5. W. J. Holman, III, “Representation theory of $SP(4)$ and $SO(5)$”, J. Math. Phys., 10 (1969), 1710–1717
  6. O. Castaños, E. Chacon, M. Moshinsky, C. Quesne, “Boson realization of $operatorname{sp}(4)$. I. The matrix formulation”, J. Math. Phys., 26:9 (1985), 2107–2123
  7. O. Castaños, P. Kramer, M. Moshinsky, “Boson realization of $operatorname{sp}(4,R)$. II. The generating kernel formulation”, J. Math. Phys., 27:4 (1986), 924–935
  8. J. P. Draayer, A. I. Georgieva, M. I. Ivanov, “Deformations of the boson $sp(4,R)$ representation and its subalgebras”, J. Phys. A, 34:14 (2001), 2999–3014
  9. Д. П. Желобенко, Компактные группы Ли и их представления, 2-е доп. изд., МЦНМО, М., 2007, 552 с.
  10. L. C. Biedenharn, D. E. Flath, “On the structure of tensor operators in SU3”, Comm. Math. Phys., 93:2 (1984), 143–169
  11. D. E. Flath, “On $mathfrak{so}_8$ and tensor operators of $mathfrak{sl}_3$”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 10:1 (1984), 97–100
  12. И. М. Гельфанд, А. В. Зелевинский, “Модели представлений классических групп и их скрытые симметрии”, Функц. анализ и его прил., 18:3 (1984), 14–31
  13. Э. Б. Винберг, В. Л. Попов, “Об одном классе квазиоднородных аффинных многообразий”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 36:4 (1972), 749–764
  14. D. V. Artamonov, “A functional realization of the Gelfand–Tsetlin base”, Изв. РАН. Сер. матем., 87:6 (2023), 3–34
  15. D. V. Artamonov, “Antisymmetrization of the Gel'fand–Kapranov–Zelevinskij systems ”, J. Math. Sci. (N.Y.), 255:5 (2021), 535–542
  16. И. М. Гельфанд, М. И. Граев, В. С. Ретах, “Общие гипергеометрические системы уравнений и ряды гипергеометрического типа”, УМН, 47:4(286) (1992), 3–82
  17. Н. Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп, Наука, М., 1965, 588 с.
  18. Д. В. Артамонов, “Формулы вычисления $3j$-символов для представлений алгебры Ли $mathfrak{gl}_3$ в базисе Гельфанда–Цетлина”, Сиб. матем. журн., 63:4 (2022), 717–735
  19. Д. В. Артамонов, “Классические $6j$-символы конечномерных представлений алгебры $mathfrak{gl}_3$”, ТМФ, 216:1 (2023), 3–19
  20. Д. В. Артамонов, “Базис типа Гельфанда–Цетлина для алгебры $mathfrak{sp}_4$ и гипергеометрические функции”, ТМФ, 206:3 (2021), 279–294
  21. Д. В. Артамонов, “Функциональный подход к базису типа Гельфанда–Цетлина для алгебры $mathfrak{o}_5$”, ТМФ, 211:1 (2022), 3–22
  22. А. И. Молев, Янгианы и классические алгебры Ли, МЦНМО, М., 2009, 534 с.
  23. A. Berenstein, A. Zelevinsky, “Tensor product multiplicities, canonical bases and totally positive varieties”, Invent. Math., 143:1 (2001), 77–128
  24. E. Feigin, G. Fourier, P. Littelmann, “PBW filtration and bases for irreducible modules in type $mathsf A_n$”, Transform. Groups, 16:1 (2011), 71–89
  25. A. A. Gerasimov, D. R. Lebedev, S. V. Oblezin, “On a matrix element representation of the GKZ hypergeometric functions”, Lett. Math. Phys., 113:2 (2023), 43, 25 pp.
  26. E. Miller, B. Sturmfels, Combinatorial commutative algebra, Grad. Texts in Math., 227, Springer-Verlag, New York, 2005, xiv+417 pp.
  27. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, 3-е изд., Наука, М., 1967, 576 с.
  28. А. Д. Брюно, Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях, Физматлит, М., 1998, 288 с.
  29. M. Saito, B. Sturmfels, N. Takayama, Gröbner deformations of hypergeometric differential equations, Algorithms Comput. Math., 6, Springer-Verlag, Berlin, 2000, viii+254 pp.
  30. Xin Fang, G. Fourier, P. Littelmann, “On toric degenerations of flag varieties”, Representation theory–current trends and perspectives, EMS Ser. Congr. Rep., Eur. Math. Soc. (EMS), Zürich, 2017, 187–232
  31. M. Kogan, E. Miller, “Toric degeneration of Schubert varieties and Gelfand–Tsetlin polytopes”, Adv. Math., 193:1 (2005), 1–17
  32. I. Makhlin, “Gelfanf–Tsetlin degenerations of representations and flag varieties”, Transform. Groups, 27:2 (2022), 563–596

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Артамонов Д.V.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).