Functions of perturbed pairs of non-commuting contractions
- Authors: Aleksandrov A.B.1, Peller V.V.2,3
-
Affiliations:
- St. Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences
- Michigan State University, Department of Mathematics
- Peoples' Friendship University of Russia
- Issue: Vol 84, No 4 (2020)
- Pages: 41-65
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/142291
- DOI: https://doi.org/10.4213/im8876
- ID: 142291
Cite item
Abstract
We consider functions $f(T,R)$ of pairs of noncommuting contractions on Hilbert space and study the problem as to which functions $f$ we have Lipschitz type estimates in Schatten–von Neumann norms. We prove that if $f$ belongs to the Besov class $(B_{\infty,1}^1)_+(\mathbb{T}^2)$ of analytic functions in the bidisc, thenwe have a Lipschitz type estimate for functions $f(T,R)$ of pairs of not necessarily commuting contractions $(T,R)$ in the Schatten–von Neumann norms $\mathbf{S}_p$ for $p\in[1,2]$. On the other hand, we show that for functions in $(B_{\infty,1}^1)_+(\mathbb{T}^2)$, there are no such Lipschitz type estimates for $p>2$, nor in the operator norm.
About the authors
Alexei Borisovich Aleksandrov
St. Petersburg Department of Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences
Email: alex@pdmi.ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
Vladimir Vsevolodovich Peller
Michigan State University, Department of Mathematics; Peoples' Friendship University of Russia
Email: peller@math.msu.edu
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
References
- В. В. Пеллер, “Операторы Ганкеля в теории возмущений унитарных и самосопряженных операторов”, Функц. анализ и его прил., 19:2 (1985), 37–51
- V. V. Peller, “For which $f$ does $A-Bin mathbf{S}_{p}$ imply that $f(A)-f(B)in mathbf{S}_{p}$?”, Operators in indefinite metric spaces, scattering theory and other topics (Bucharest, 1985), Oper. Theory Adv. Appl., 24, Birkhäuser, Basel, 1987, 289–294
- V. V. Peller, “Hankel operators in the perturbation theory of unbounded self-adjoint operators”, Analysis and partial differential equations, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 122, Dekker, New York, 1990, 529–544
- В. В. Пеллер, Операторы Ганкеля и их приложения, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2005, 1028 с.
- V. V. Peller, “Multiple operator integrals and higher operator derivatives”, J. Funct. Anal., 233:2 (2006), 515–544
- V. V. Peller, “Differentiability of functions of contractions”, Linear and complex analysis, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 226, Adv. Math. Sci., 63, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009, 109–131
- V. V. Peller, “Multiple operator integrals in perturbation theory”, Bull. Math. Sci., 6:1 (2016), 15–88
- V. V. Peller, “Functions of triples of noncommuting self-adjoint operators under perturbations of class $S_p$”, Proc. Amer. Math. Soc., 146:4 (2018), 1699–1711
- A. B. Aleksandrov, V. V. Peller, “Operator Hölder–Zygmund functions”, Adv. Math., 224:3 (2010), 910–966
- A. B. Aleksandrov, V. V. Peller, “Functions of operators under perturbations of class $mathbf{S}_p$”, J. Funct. Anal., 258:11 (2010), 3675–3724
- А. Б. Александров, В. В. Пеллер, “Функции от возмущенных диссипативных операторов”, Алгебра и анализ, 23:2 (2011), 9–51
- А. Б. Александров, В. В. Пеллер, “Операторно липшицевы функции”, УМН, 71:4(430) (2016), 3–106
- A. B. Aleksandrov, V. V. Peller, “Dissipative operators and operator Lipschitz functions”, Proc. Amer. Math. Soc., 147:5 (2019), 2081–2093
- A. B. Aleksandrov, V. V. Peller, D. S. Potapov, F. A. Sukochev, “Functions of normal operators under perturbations”, Adv. Math., 226:6 (2011), 5216–5251
- F. L. Nazarov, V. V. Peller, “Functions of perturbed $n$-tuples of commuting self-adjoint operators”, J. Funct. Anal., 266:8 (2014), 5398–5428
- A. B. Aleksandrov, F. L. Nazarov, V. V. Peller, “Functions of noncommuting self-adjoint operators under perturbation and estimates of triple operator integrals”, Adv. Math., 295 (2016), 1–52
- D. Potapov, F. Sukochev, “Operator-Lipschitz functions in Schatten–von Neumann classes”, Acta Math., 207:2 (2011), 375–389
- E. Kissin, D. Potapov, V. Shulman, F. Sukochev, “Operator smoothness in Schatten norms for functions of several variables: Lipschitz conditions, differentiability and unbounded derivations”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 105:4 (2012), 661–702
- Ю. Б. Фарфоровская, “О связи метрики Канторовича–Рубинштейна для спектральных разложений самосопряженных операторов с функциями от операторов”, Вестн. ЛГУ. Сер. матем., мех., астрон., 23:19 (1968), 94–97
- J. Peetre, New thoughts on Besov spaces, Duke Univ. Math. Ser., 1, Math. Department, Duke Univ., Durham, NC, 1976, vi+305 pp.
- Л. Н. Никольская, Ю. Б. Фарфоровская, “Операторная гeльдеровость функций Гeльдера”, Алгебра и анализ, 22:4 (2010), 198–213
- И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, Наука, М., 1965, 448 с.
- Ю. Л. Далецкий, С. Г. Крейн, “Интегрирование и дифференцирование функций эрмитовых операторов и приложения к теории возмущений”, Тр. сем. по функц. анализу, 1, ВГУ, Воронеж, 1956, 81–105
- М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, “Двойные операторные интегралы Стилтьеса”, Спектральная теория и волновые процесcы, Пробл. матем. физ., 1, ЛГУ, Л., 1966, 33–67
- М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, “Двойные операторные интегралы Стилтьеса. II”, Спектральная теория, проблемы дифракции, Пробл. матем. физ., 2, ЛГУ, Л., 1967, 26–60
- М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, “Двойные операторные интегралы Стилтьеса. III. Предельный переход под знаком интеграла”, Теория функций. Спектральная теория. Распространение волн, Пробл. матем. физ., 6, ЛГУ, Л., 1973, 27–53
- G. Pisier, Introduction to operator space theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 294, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2003, viii+478 pp.
- Б. Секефальви-Надь, Ч. Фояш, Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве, Мир, М., 1970, 431 с.
- K. Juschenko, I. G. Todorov, L. Turowska, “Multidimensional operator multipliers”, Trans. Amer. Math. Soc., 361:9 (2009), 4683–4720
- A. B. Aleksandrov, V. V. Peller, “Multiple operator integrals, Haagerup and Haagerup-like tensor products, and operator ideals”, Bull. Lond. Math. Soc., 49:3 (2017), 463–479
- V. V. Peller, “Functions of commuting contractions under perturbation”, Math. Nachr., 292:5 (2019), 1151–1160