The boundary behavior of $\mathcal Q_{p,q}$-homeomorphisms
- Authors: Vodopyanov S.K.1, Molchanova A.O.2
-
Affiliations:
- Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences
- University of Vienna
- Issue: Vol 87, No 4 (2023)
- Pages: 47-90
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133915
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9376
- ID: 133915
Cite item
Abstract
This article studies systematically the boundary correspondence problem for $\mathcal Q_{p,q}$-homeomorphisms. The presented example demonstrates a deformation of the Euclidean boundary with the weight function degenerating on the boundary.
About the authors
Sergei Konstantinovich Vodopyanov
Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences
Email: vodopis@math.nsc.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
Anastasia Olegovna Molchanova
University of Vienna
Email: a.molchanova@math.nsc.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status
References
- C. Caratheodory, “Über die Begrenzung einfach zusammenhängender Gebiete”, Math. Ann., 73:3 (1913), 323–370
- W. F. Osgood, E. H. Taylor, “Conformal transformations on the boundaries of their regions of definition”, Trans. Amer. Math. Soc., 14:2 (1913), 277–298
- Г. Д. Суворов, “Простые концы последовательности плоских областей, сходящейся к ядру”, Матем. сб., 33(75):1 (1953), 73–100
- D. B. A. Epstein, “Prime ends”, Proc. London Math. Soc. (3), 42:3 (1981), 385–414
- В. А. Зорич, “Соответствие границ при $Q$-квазиконформных отображениях шара”, Докл. АН СССР, 145:6 (1962), 1209–1212
- В. Зорич, “Определение граничных элементов посредством сечений”, Докл. АН СССР, 164:4 (1965), 736–739
- A. Björn, J. Björn, N. Shanmugalingam, “The {D}irichlet problem for $p$-harmonic functions with respect to the Mazurkiewicz boundary, and new capacities”, J. Differential Equations, 259:7 (2015), 3078–3114
- J. Milnor, Dynamics in one complex variable, Ann. of Math. Stud., 160, 3rd ed., Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2006, viii+304 pp.
- L. Rempe, “On prime ends and local connectivity”, Bull. Lond. Math. Soc., 40:5 (2008), 817–826
- Г. Д. Суворов, Простые концы и последовательности плоских отображений, Наукова думка, Киев, 1986, 160 с.
- T. Adamowicz, A. Björn, J. Björn, N. Shanmugalingam, “Prime ends for domains in metric spaces”, Adv. Math., 238 (2013), 459–505
- T. Adamowicz, “Prime ends in metric spaces and quasiconformal-type mappings”, Anal. Math. Phys., 9:4 (2019), 1941–1975
- Д. А. Ковтонюк, В. И. Рязанов, “Простые концы и классы Орлича–Соболева”, Алгебра и анализ, 27:5 (2015), 81–116
- T. Kuusalo, “Quasiconformal mappings without boundary extensions”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 10 (1985), 331–338
- E. C. Schlesinger, “Conformal invariants and prime ends”, Amer. J. Math., 80 (1958), 83–102
- R. Näkki, Boundary behavior of quasiconformal mappings in $n$-space, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I, 484, Suomalainen Tiedeakademia, Helsinki, 1970, 50 pp.
- R. Näkki, “Prime ends and quasiconformal mappings”, J. Anal. Math., 35 (1979), 13–40
- J. Väisälä, Lectures on $n$-dimensional quasiconformal mappings, Lecture Notes in Math., 229, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1971, xiv+144 pp.
- M. Vuorinen, Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in $n$-space, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. Dissertationes, 11, Suomalainen Tiedeakatemia, Helsinki, 1976, 44 pp.
- M. Vuorinen, “On the boundary behavior of locally $K$-quasiconformal mappings in space”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 5:1 (1980), 79–95
- O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Monogr. Math., Springer, New York, 2009, xii+367 pp.
- Е. А. Севостьянов, “О граничном продолжении и равностепенной непрерывности семейств отображений в терминах простых концов”, Алгебра и анализ, 30:6 (2018), 97–146
- M. Cristea, “Boundary behaviour of the mappings satisfying generalized inverse modular inequalities”, Complex Var. Elliptic Equ., 60:4 (2015), 437–469
- С. К. Водопьянов, “О граничном соответствии при квазиконформных отображениях пространственных областей”, Сиб. матем. журн., 16:3 (1975), 630–633
- В. М. Гольдштейн, С. К. Водопьянов, “Метрическое пополнение области при помощи конформной емкости, инвариантное при квазиконформных отображениях”, Докл. АН СССР, 238:5 (1978), 1040–1042
- С. К. Водопьянов, В. М. Гольдштейн, Ю. Г. Решетняк, “О геометрических свойствах функций с первыми обощенными производными”, УМН, 34:1(205) (1979), 17–65
- В. И. Кругликов, “Простые концы пространственных областей с переменными границами”, Докл. АН СССР, 297:5 (1987), 1047–1050
- С. K. Водопьянов, “О регулярности отображений, обратных к соболевским”, Матем. сб., 203:10 (2012), 3–32
- С. К. Водопьянов, “Операторы композиции весовых пространства Соболева и теория $mathscr Q_p$-гомеоморфизмов”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 494 (2020), 21–25
- С. К. Водопьянов, “Об аналитических и геометрических свойствах отображений в теории $mathscr Q_{q,p}$-гомеоморфизмов”, Матем. заметки, 108:6 (2020), 925–929
- С. К. Водопьянов, “О регулярности отображений, обратных к соболевским, и теория $mathscr Q_{q,p}$-гомеоморфизмов”, Сиб. матем. журн., 61:6 (2020), 1257–1299
- С. К. Водопьянов, А. О. Томилов, “Функциональные и аналитические свойства одного класса отображений квазиконформного анализа”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:5 (2021), 58–109
- С. К. Водопьянов, “Об эквивалентности двух подходов к задачам квазиконформного анализа”, Сиб. матем. журн., 62:6 (2021), 1252–1270
- С. К. Водопьянов, “О совпадении функций множества в квазиконформном анализе”, Матем. сб., 213:9 (2022), 3–33
- С. К. Водопьянов, “Основы квазиконформного анализа двухиндексной шкалы пространственных отображений”, Сиб. матем. журн., 59:5 (2018), 1020–1056
- С. К. Водопьянов, “О дифференцируемости отображений класса Соболева $W^1_{n-1}$ с условиями на функцию искажения”, Сиб. матем. журн., 59:6 (2018), 1240–1267
- А. Д. Ухлов, “Отображения, порождающие вложения пространств Соболева”, Сиб. матем. журн., 34:1 (1993), 185–192
- С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Пространства Соболева и $(P,Q)$-квазиконформные отображения групп Карно”, Сиб. матем. журн., 39:4 (1998), 776–795
- С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Операторы суперпозиции в пространствах Соболева”, Изв. вузов. Матем., 2002, № 10, 11–33
- С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1950, 255 с.
- В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1985, 416 с.
- Г. Д. Мостов, “Квазиконформные отображения в $n$-мерном пространстве и жесткость гиперболических пространственных форм”, Математика, 16:5 (1972), 105–157
- F. W. Gehring, “Lipschitz mappings and $p$-capacity of rings in $n$-space”, Advances in the theory of Riemann surfaces (Stony Brook, NY, 1969), Ann. of Math. Stud., 66, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1971, 175–193
- Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным искажением, Наука, Новосибирск, 1982, 286 с.
- F. W. Gehring, J. Väisälä, “The coefficients of quasiconformality of domains in space”, Acta Math., 114 (1965), 1–70
- H. M. Reimann, “Über harmonische Kapazität und quasikonforme Abbildungen im Raum”, Comment. Math. Helv., 44 (1969), 284–307
- J. Lelong-Ferrand, “Etude d'une classe d'applications liees à des homomorphismes d'algebres de fonctions, et generalisant les quasi-conformes”, Duke Math. J., 40 (1973), 163–186
- C. К. Водопьянов, “Допустимые замены переменных для функций классов Соболева на (суб)римановых многообразиях”, Матем. сб., 210:1 (2019), 63–112
- A. Molchanova, S. Vodopyanov, “Injectivity almost everywhere and mappings with finite distortion in nonlinear elasticity”, Calc. Var. Partial Differential Equations, 59:1 (2020), 17, 25 pp.
- J. Heinonen, T. Kilpeläinen, O. Martio, Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations, Oxford Math. Monogr., The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1993, vi+363 pp.
- T. Rado, P. V. Reichelderfer, Continuous transformations in analysis. With an introduction to algebraic topology, Grundlehren Math. Wiss., LXXV, Springer-Verlag, Berlin–Göttingen–Heidelberg, 1955, vii+442 pp.
- M. Гусман, Дифференцирование интегралов в $mathbb{R}^n$, Математика: новое в зарубежной науке, 9, Мир, М., 1978, 200 с.
- С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Функции множества и их приложения в теории пространств Лебега и Соболева. I”, Матем. тр., 6:2 (2003), 14–65
- S. K. Vodopyanov, “On Poletsky-type modulus inequalities for some classes of mappings”, Владикавк. матем. журн., 24:4 (2022), 58–69
- D. V. Isangulova, S. K. Vodopyanov, “Coercive estimates and integral representation formulas on Carnot groups”, Eurasian Math. J., 1:3 (2010), 58–96
- Ю. Г. Решетняк, “О понятии емкости в теории функций с обобщенными производными”, Сиб. матем. журн., 10:5 (1969), 1109–1138
- Г. Е. Шилов, Математический анализ. Специальный курс, Физматгиз, М., 1961, 436 с.
- F. Hausdorff, Set theory, Transl. from the German, 2nd ed., Chelsea Publishing Co., New York, 1962, 352 pp.
- R. R. Salimov, E. A. Sevost'yanov, “$ACL$ and differentiability of open discrete ring $(p, Q)$-mappings”, Mat. Stud., 35:1 (2011), 28–36
- В. И. Рязанов, Е. А. Севостьянов, “Равностепенная непрерывность квазиконформных в среднем отображений”, Сиб. матем. журн., 52:3 (2011), 665–679
- Р. Р. Салимов, “Абсолютная непрерывность на линиях и дифференцируемость одного обобщения квазиконформных отображений”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:5 (2008), 141–148
- R. Salimov, “$ACL$ and differentiability of $Q$-homeomorphisms”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 33:1 (2008), 295–301
- Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, “Теория кольцевых $Q$-отображений в геометрической теории функций”, Матем. сб., 201:6 (2010), 131–158
- E. Sevost'yanov, S. Skvortsov, On behavior of homeomorphisms with inverse modulus conditions, 2018
- Р. Р. Салимов, Е. А. Севостьянов, “О некоторых локальных свойствах пространственных обобщенных квазиизометрий”, Матем. заметки, 101:4 (2017), 594–610
- R. Salimov, “On $Q$-homeomorphisms with respect to $p$-modulus”, Ann. Univ. Buchar. Math. Ser., 2(LX):2 (2011), 207–213
- М. В. Трямкин, “Граничное соответствие для гомеоморфизмов с весовым ограниченным $(p,q)$-искажением”, Матем. заметки, 102:4 (2017), 632–636
- J. Hesse, “A $p$-extremal length and $p$-capacity equality”, Ark. Mat., 13:1-2 (1975), 131–144
- В. А. Шлык, “О равенстве $p$-емкости и $p$-модуля”, Сиб. матем. журн., 34:6 (1993), 216–221
- H. Aikawa, M. Ohtsuka, “Extremal length of vector measures”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 24:1 (1999), 61–88
- V. Gol'dshtein, A. Ukhlov, Boundary values of functions of Dirichlet spases $L^1_2$ on capacitary boundaries, 2014
- E. Afanas'eva, V. Ryazanov, R. Salimov, E. Sevost'yanov, “On boundary extension of Sobolev classes with critical exponent by prime ends”, Lobachevskii J. Math., 41:11 (2020), 2091–2102