On classification of Morse–Smale flows on projective-like manifolds
- Authors: Grines V.Z.1, Gurevich E.Y.1
-
Affiliations:
- HSE University
- Issue: Vol 86, No 5 (2022)
- Pages: 43-72
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133881
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9197
- ID: 133881
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
In this paper, the problem of topological classification of gradient-like flows without heteroclinic intersections, given on a four-dimensional projective-like manifold, is solved. We show that a complete topological invariant for such flows is a bi-color graph that describes the mutual arrangement of closures of three-dimensional invariant manifolds of saddle equilibrium states. The problem of construction of a canonical representative in each topological equivalence class is solved.
About the authors
Vyacheslav Zigmuntovich Grines
HSE UniversityDoctor of physico-mathematical sciences, Professor
Elena Yakovlevna Gurevich
HSE University
Email: elena_gurevich@list.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status
References
- S. Smale, “On gradient dynamical systems”, Ann. of Math. (2), 74:1 (1961), 199–206
- K. R. Meyer, “Energy functions for Morse Smale systems”, Amer. J. Math., 90:4 (1968), 1031–1040
- V. Z. Grines, T. V. Medvedev, O. V. Pochinka, Dynamical systems on 2- and 3-manifolds, Dev. Math., 46, Springer, Cham, 2016, xxvi+295 pp.
- В. В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, МЦНМО, М., 2004, 352 с.
- J. Eells, Jr., N. H. Kuiper, “Manifolds which are like projective planes”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 14 (1962), 5–6
- D. Pixton, “Wild unstable manifolds”, Topology, 16:2 (1977), 167–172
- C. Bonatti, V. Grines, “Knots as topological invariants for gradient-like diffeomorphisms of the sphere $S^3$”, J. Dynam. Control Systems, 6:4 (2000), 579–602
- C. Bonatti, V. Grines, O. Pochinka, “Topological classification of Morse–Smale diffeomorphisms on 3-manifolds”, Duke Math. J., 168:13 (2019), 2507–2558
- V. S. Medvedev, E. V. Zhuzhoma, “Morse–Smale systems with few non-wandering points”, Topology Appl., 160:3 (2013), 498–507
- Е. В. Жужома, В. С. Медведев, “Непрерывные потоки Морса–Смейла с тремя состояниями равновесия”, Матем. сб., 207:5 (2016), 69–92
- В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, О. В. Починка, “Комбинаторный инвариант для каскадов Морса–Смейла без гетероклинических пересечений на сфере $S^n$, $ngeq 4$”, Матем. заметки, 105:1 (2019), 136–141
- В. А. Рохлин, Д. Б. Фукс, Начальный курс топологии. Геометрические главы, Наука, М., 1977, 487 с.
- D. Rolfsen, Knots and links, AMS Chelsea Publishing, 346, Reprint with corr. of the 1976 original, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, ix+439 pp.
- C. McA. Gordon, J. Luecke, “Knots are determined by their complements”, J. Amer. Math. Soc., 2:2 (1989), 371–415
- М. Хирш, Дифференциальная топология, Мир, М., 1979, 279 с.
- В. З. Гринес, Е. В. Жужома, В. С. Медведев, “Новые соотношения для систем Морса–Смейла с тривиально вложенными одномерными сепаратрисами”, Матем. сб., 194:7 (2003), 25–56
- Дж. Милнор, Теория Морса, М., Мир, 1965, 184 с.
- С. Смейл, “Дифференцируемые динамические системы”, УМН, 25:1(151) (1970), 113–185
- M. Brown, “A proof of the generalized Schoenflies theorem”, Bull. Amer. Math. Soc., 66:2 (1960), 74–76
- M. Brown, “Locally flat imbeddings of topological manifolds”, Ann. of Math. (2), 75:2 (1962), 331–341
- Ж. Палис, В. Ди Мелу, Геометрическая теория динамических систем. Введение, Мир, М., 1986, 302 с.
- Д. М. Гробман, “Гомеоморфизм систем дифференциальных уравнений”, Докл. АН СССР, 128:5 (1959), 880–881
- P. Hartman, “A lemma in the theory of structural stability of differential equations”, Proc. Amer. Math. Soc., 11:4 (1960), 610–620
- V. Guillemin, A. Pollack, Differential topology, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1974, xvi+222 pp.
- Y. Matsumoto, An introduction to Morse theory, Transl. from the Japan., Transl. Math. Monogr., 208, Iwanami Series in Modern Mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, xiv+219 pp.
- В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, Е. В. Жужома, В. С. Медведев, “О топологии многообразий, допускающих градиентно-подобные потоки с заданным неблуждающим множеством”, Матем. тр., 21:2 (2018), 163–180
- В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, В. С. Медведев, “О реализации классов топологической сопряженности каскадов Морса–Смейла на сфере $S^n$”, Труды МИАН, 310, Избранные вопросы математики и механики (2020), 119–134
Supplementary files
