On classification of Morse–Smale flows on projective-like manifolds

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In this paper, the problem of topological classification of gradient-like flows without heteroclinic intersections, given on a four-dimensional projective-like manifold, is solved. We show that a complete topological invariant for such flows is a bi-color graph that describes the mutual arrangement of closures of three-dimensional invariant manifolds of saddle equilibrium states. The problem of construction of a canonical representative in each topological equivalence class is solved.

About the authors

Vyacheslav Zigmuntovich Grines

HSE University

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Elena Yakovlevna Gurevich

HSE University

Email: elena_gurevich@list.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. S. Smale, “On gradient dynamical systems”, Ann. of Math. (2), 74:1 (1961), 199–206
  2. K. R. Meyer, “Energy functions for Morse Smale systems”, Amer. J. Math., 90:4 (1968), 1031–1040
  3. V. Z. Grines, T. V. Medvedev, O. V. Pochinka, Dynamical systems on 2- and 3-manifolds, Dev. Math., 46, Springer, Cham, 2016, xxvi+295 pp.
  4. В. В. Прасолов, Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии, МЦНМО, М., 2004, 352 с.
  5. J. Eells, Jr., N. H. Kuiper, “Manifolds which are like projective planes”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 14 (1962), 5–6
  6. D. Pixton, “Wild unstable manifolds”, Topology, 16:2 (1977), 167–172
  7. C. Bonatti, V. Grines, “Knots as topological invariants for gradient-like diffeomorphisms of the sphere $S^3$”, J. Dynam. Control Systems, 6:4 (2000), 579–602
  8. C. Bonatti, V. Grines, O. Pochinka, “Topological classification of Morse–Smale diffeomorphisms on 3-manifolds”, Duke Math. J., 168:13 (2019), 2507–2558
  9. V. S. Medvedev, E. V. Zhuzhoma, “Morse–Smale systems with few non-wandering points”, Topology Appl., 160:3 (2013), 498–507
  10. Е. В. Жужома, В. С. Медведев, “Непрерывные потоки Морса–Смейла с тремя состояниями равновесия”, Матем. сб., 207:5 (2016), 69–92
  11. В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, О. В. Починка, “Комбинаторный инвариант для каскадов Морса–Смейла без гетероклинических пересечений на сфере $S^n$, $ngeq 4$”, Матем. заметки, 105:1 (2019), 136–141
  12. В. А. Рохлин, Д. Б. Фукс, Начальный курс топологии. Геометрические главы, Наука, М., 1977, 487 с.
  13. D. Rolfsen, Knots and links, AMS Chelsea Publishing, 346, Reprint with corr. of the 1976 original, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, ix+439 pp.
  14. C. McA. Gordon, J. Luecke, “Knots are determined by their complements”, J. Amer. Math. Soc., 2:2 (1989), 371–415
  15. М. Хирш, Дифференциальная топология, Мир, М., 1979, 279 с.
  16. В. З. Гринес, Е. В. Жужома, В. С. Медведев, “Новые соотношения для систем Морса–Смейла с тривиально вложенными одномерными сепаратрисами”, Матем. сб., 194:7 (2003), 25–56
  17. Дж. Милнор, Теория Морса, М., Мир, 1965, 184 с.
  18. С. Смейл, “Дифференцируемые динамические системы”, УМН, 25:1(151) (1970), 113–185
  19. M. Brown, “A proof of the generalized Schoenflies theorem”, Bull. Amer. Math. Soc., 66:2 (1960), 74–76
  20. M. Brown, “Locally flat imbeddings of topological manifolds”, Ann. of Math. (2), 75:2 (1962), 331–341
  21. Ж. Палис, В. Ди Мелу, Геометрическая теория динамических систем. Введение, Мир, М., 1986, 302 с.
  22. Д. М. Гробман, “Гомеоморфизм систем дифференциальных уравнений”, Докл. АН СССР, 128:5 (1959), 880–881
  23. P. Hartman, “A lemma in the theory of structural stability of differential equations”, Proc. Amer. Math. Soc., 11:4 (1960), 610–620
  24. V. Guillemin, A. Pollack, Differential topology, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1974, xvi+222 pp.
  25. Y. Matsumoto, An introduction to Morse theory, Transl. from the Japan., Transl. Math. Monogr., 208, Iwanami Series in Modern Mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, xiv+219 pp.
  26. В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, Е. В. Жужома, В. С. Медведев, “О топологии многообразий, допускающих градиентно-подобные потоки с заданным неблуждающим множеством”, Матем. тр., 21:2 (2018), 163–180
  27. В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, В. С. Медведев, “О реализации классов топологической сопряженности каскадов Морса–Смейла на сфере $S^n$”, Труды МИАН, 310, Избранные вопросы математики и механики (2020), 119–134

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Grines V.Z., Gurevich E.Y.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».