Finitely presented nilsemigroups: complexes with the property of uniform ellipticity
- Authors: Ivanov-Pogodaev I.A.1,2, Kanel-Belov A.Y.3
-
Affiliations:
- Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University)
- Bar-Ilan University, Department of Mathematics
- Shenzhen University
- Issue: Vol 85, No 6 (2021)
- Pages: 126-163
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133864
- DOI: https://doi.org/10.4213/im8978
- ID: 133864
Cite item
Abstract
This paper is the first in a series of three devoted to constructing a finitely presented infinite nilsemigroup satisfying the identity $x^9=0$. This solves a problem of Lev Shevrin and Mark Sapir.In this first part we obtain a sequence of complexes formed of squares ($4$-cycles) having the following geometric properties.1) Complexes are uniformly elliptic. A space is said to be uniformly elliptic if there is a constant $\lambda>0$ such that in the set of shortest paths of length $D$ connecting points $A$ and $B$ there are two paths such that the distance between them is at most $\lambda D$. In this case, the distance between paths with the same beginning and end is defined as the maximal distance between the corresponding points. 2) Complexes are nested.A complex of level $n+1$ is obtained from a complex of level $n$ by adding several vertices and edges according to certain rules.3) Paths admit local transformations. Assume that we can transform paths by replacing a path along two sides of a minimal square by the path along the other two sides. Two shortest paths with the same ends can be transformed into each other locally if these ends are vertices of a square in the embedded complex.The geometric properties of the sequence of complexes will be further used to define finitely presented semigroups.
About the authors
Ilya Anatolevich Ivanov-Pogodaev
Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University); Bar-Ilan University, Department of Mathematics
Email: ivanov-pogodaev@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Senior Researcher
Aleksei Yakovlevich Kanel-Belov
Shenzhen University
Email: kanelster@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
References
- E. I. Zelmanov, “On the nilpotency of nil algebras”, Algebra – some current trends (Varna, 1986), Lecture Notes in Math., 1352, Springer, Berlin, 1988, 227–240
- W. Burnside, “On an unsettled question in the theory of discontinuous groups”, Q. J. Pure Appl. Math., 33 (1902), 230–238
- И. Н. Санов, “Решение проблемы Бернсайда для показателя $4$”, Уч. зап. Ленингр. ун-та. Сер. матем., 10 (1940), 166–170
- M. Hall, Jr., “Solution of the Burnside problem for exponent $6$”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 43 (1957), 751–753
- Е. С. Голод, “О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых $p$-группах”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:2 (1964), 273–276
- Е. С. Голод, И. Р. Шафаревич, “О башне полей классов”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:2 (1964), 261–272
- П. С. Новиков, С. И. Адян, “О бесконечных периодических группах. I”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 32:1 (1968), 212–244
- С. И. Адян, Проблема Бернсайда и тождества в группах, Наука, М., 1975, 335 с.
- С. И. Адян, “Проблема Бернсайда и связанные с ней вопросы”, УМН, 65:5(395) (2010), 5–60
- С. И. Адян, “Новые оценки нечетных периодов бесконечных бернсайдовых групп”, Избранные вопросы математики и механики, Сборник статей. К 150-летию со дня рождения академика Владимира Андреевича Стеклова, Труды МИАН, 289, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2015, 41–82
- А. Ю. Ольшанский, “О теореме Новикова–Адяна”, Матем. сб., 118(160):2(6) (1982), 203–235
- А. Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих соотношений в группах, Современная алгебра, Наука, М., 1989, 448 с.
- И. Г. Лысeнок, “Бесконечность бернсайдовых групп периода $2^k$ при $k > 13$”, УМН, 47:2(284) (1992), 201–202
- И. Г. Лысeнок, “Бесконечные бернсайдовы группы четного периода”, Изв. РАН. Сер. матем., 60:3 (1996), 3–224
- S. V. Ivanov, “The free Burnside groups of sufficiently large exponents”, Internat. J. Algebra Comput., 4:1-2 (1994), 1–308
- S. V. Ivanov, “On the Burnside problem on periodic groups”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 27:2 (1992), 257–260
- А. И. Ширшов, “О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах”, Матем. сб., 41(83):3 (1957), 381–394
- А. И. Ширшов, “О кольцах с тождественными соотношениями”, Матем. сб., 43(85):2 (1957), 277–283
- A. Belov-Kanel, L. H. Rowen, “Perspectives on Shirshov's Height theorem”, Selected works of A. I. Shirshov, Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, 185–202
- A. R. Kemer, “Comments on Shirshov's Height theorem”, Selected works of A. I. Shirshov, Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, 223–229
- А. Я. Белов, “Проблемы бернсайдовского типа, теоремы о высоте и о независимости”, Фундамент. и прикл. матем., 13:5 (2007)
- А. Я. Белов, М. И. Харитонов, “Субэкспоненциальные оценки в теореме Ширшова о высоте”, Матем. сб., 203:4 (2012), 81–102
- А. И. Кострикин, Вокруг Бернсайда, Наука, М., 1986, 232 с.
- M. V. Sapir, Combinatorial algebra: syntax and semantics, With contributions by V. S. Guba, M. V. Volkov, Springer Monogr. Math., Springer, Cham, 2014, xvi+355 pp.
- A. Yu. Ol'shanskii, M. V. Sapir, “Non-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups”, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 96, no. 1, 2003, 43–169
- T. Gateva-Ivanova, V. Latyshev, “On recognizable properties of associative algebras”, [J. Symbolic Comput., 6:2-3 (1988), 371–388], Computational aspects of commutative algebras, Academic Press, London, 1988, 237–254
- Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей, 4-е изд., ред. В. Т. Филиппов, В. К. Харченко, И. П. Шестаков, ИМ СО РАН, Новосибирск, 1993, 74 с.
- G. Kukin, “The variety of all rings has Higman's property”, Algebra and analysis (Irkutsk, 1989), Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 163, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, 91–101
- В. Я. Беляев, “Вложимость рекурсивно определенных инверсных полугрупп в конечно определенные”, Сиб. матем. журн., 25:2 (1984), 50–54
- В. А. Уфнаровский, “О росте алгебр”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1978, № 4, 59–65
- В. В. Щиголев, “О ниль и нильпотентных конечноопределeнных алгебрах”, Фундамент. и прикл. матем., 6:4 (2000), 1239–1245
- Н. К. Иыуду, Стандартные базисы и распознаваемость свойств алгебр, заданных копредставлением, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, МГУ, М., 1996, 73 с.
- И. А. Иванов-Погодаев, “Алгебра с конечным базисом Грeбнера и неразрешимой проблемой делителей нуля”, Фундамент. и прикл. матем., 12:8 (2006), 79–96
- Д. И. Пионтковский, “Некоммутативные базисы Грeбнера, когерентность ассоциативных алгебр и делимость в полугруппах”, Фундамент. и прикл. матем., 7:2 (2001), 495–513
- Д. И. Пионтковский, “Базисы Грeбнера и когерентность мономиальной ассоциативной алгебры”, Фундамент. и прикл. матем., 2:2 (1996), 501–509
- В. А. Уфнаровский, “Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре”, Алгебра – 6, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 57, ВИНИТИ, М., 1990, 5–177
- А. Я. Белов, “Линейные рекуррентные уравнения на дереве”, Матем. заметки, 78:5 (2005), 643–651
- L. A. Bokut', G. P. Kukin, Algorithmic and combinatorial algebra, Math. Appl., 255, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1994, xvi+384 pp.
- M. V. Sapir, “Algorithmic problems for amalgams of finite semigroups”, J. Algebra, 229:2 (2000), 514–531
- Нерешенные задачи теории полугрупп, Свердловская тетрадь, № 3, Урал. гос. ун-т, Свердловск, 1989, 40 с.
- O. G. Kharlampovich, M. V. Sapir, “Algorithmic problems in varieties”, Internat. J. Algebra Comput., 5:4-5 (1995), 379–602
- A. Ya. Belov, I. A. Ivanov, “Construction of semigroups with some exotic properties”, Comm. Algebra, 31:2 (2003), 673–696
- A. Ya. Belov, I. A. Ivanov, “Construction of semigroups with some exotic properties”, Acta Appl. Math., 85:1-3 (2005), 49–56
- I. Ivanov-Pogodaev, S. Malev, “Finite Gröbner basis algebras with unsolvable nilpotency problem and zero divisors”, J. Algebra, 508 (2018), 575–588
- I. Ivanov-Pogodaev, S. Malev, O. Sapir, “A construction of a finitely presented semigroup containing an infinite square-free ideal with zero multiplication”, Internat. J. Algebra Comput., 28:8 (2018), 1565–1573
- И. А. Иванов-Погодаев, Машина Минского, свойства нильпотентности и размерность Гельфанда–Кириллова в конечно-определенных полугруппах, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, МГУ, М., 2006, 77 с.
- A. Belov, I. Ivanov-Pogodaev, “Construction of finitelly presented Nill but not nilpotent semigroup”, International conference on algebra and related topics (ICCA) (Guangzhou, 2009), The Center of Combinatorial Algebra, South China Normal Univ., 2009, 18
- A. Belov-Kanel, I. Ivanov-Pogodaev, Finitely presented nil-semigroups and aperiodic tilings, CIRM, SubTile 2013 Pavages: systèmes dynamiques, combinatoire, theorie des nombres, decidabilite, geometrie discrète, geometrie non-commutative (Marseille, 2013)
- A. Ya. Belov, I. A. Ivanov-Pogodaev, “Construction of finitely presented infinite nil-semigroup”, Classical aspects of ring theory and module theory. Abstracts (Bedlewo, 2013), Stefan Banach International Mathematical Center, 2013, 14
- И. А. Иванов-Погодаев, А. Я. Белов, “Построение конечно определенной ниль-полугруппы”, Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения (Тула, 2014), Тул. гос. пед. ун-т им. Л. Н. Толстого, Тула, 2014, 30
- A. Belov-Kanel, I. Ivanov-Pogodaev, “Construction of infinite finitely presented nilsemigroup”, Groups and rings, theory and applications, GRiTA2015 (Sofia, 2015), Institute of Mathematics and Informatics of the Bulgarian Academy of Sciences, Sofia, 2015, 10
- A. Belov-Kanel, I. Ivanov-Pogodaev, “Construction of infinite finitely presented nilsemigroup”, First joint international meeting of the Israel mathematical union and the Mexican mathematical society (Oaxaca, 2015), Instituto Tecnologico de Oaxaca, 2015, 13
- A. J. Belov, V. V. Borisenko, V. N. Latyshev, Monomial algebras, Plenum, New York, NY, 1998
- Н. К. Иыуду, “Алгоритмическая разрешимость проблемы распознавания делителей нуля в одном классе алгебр”, Фундамент. и прикл. матем., 1:2 (1995), 541–544
- R. Berger, The undecidability of the domino problem, Ph.D. thesis, Harvard Univ., 1964
- R. M. Robinson, “Undecidability and nonperiodicity for tilings of the plane”, Invent. Math., 12 (1971), 177–209
- C. Goodman-Strauss, “Matching rules and substitution tilings”, Ann. of Math. (2), 147:1 (1998), 181–223
- N. Bedaride, Th. Fernique, “When periodicities enforce aperiodicity”, Comm. Math. Phys., 335:3 (2015), 1099–1120
- Wang Hao, “Proving theorems by pattern recognition – II”, Bell System Tech. J., 40:1 (1961), 1–41
- T. Fernique, И. Иванов-Погодаев, А. Белов, И. Митрофанов, Апериодичные замощения [Aperiodic tilings], 25-я летняя конференция международного математического Турнира городов (Боровка, Беларусь, 2013), 2013
- J. H. Conway, J. C. Lagarias, “Tiling with polyominoes and combinatorial group theory”, J. Combin. Theory Ser. A, 53:2 (1990), 183–208
- А. Я. Белов-Канель, И. Иванов-Погодаев, А. Малистов, И. Митрофанов, М. Харитонов, Замощения, раскраски и плиточные группы, 21-я летняя конференция международного математического Турнира городов (Теберда, 2009), 2009