Конечно определенная нильполугруппа: комплексы с равномерной эллиптичностью

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Работа является первой в цикле, посвященном конструкции конечно определенной бесконечной нильполугруппы, удовлетворяющей тождеству $x^9=0$. Эта конструкция отвечает на проблему Л. Н. Шеврина и М. В. Сапира.В первой части цикла (настоящей работе) построена последовательность вложенных комплексов, состоящих из квадратов (4-циклов) со следующим набором геометрических свойств.1) Равномерная эллиптичность. Пространство называется равномерно-эллиптическим, если можно выбрать константу $\lambda>0$ такую, что в множестве кратчайших путей, соединяющих любые две точки $A$ и $B$, на расстоянии $D$ можно выбрать два пути, удаленных друг от друга на расстояние $\lambda D$. При этом расстояние между путями с общим началом и концом определяется как максимум расстояний между соответствующими точками. 2) Вложенность. Комплекс $n+1$ уровня получается на основе комплекса $n$ уровня добавлением нескольких вершин и ребер по определенным правилам.3) Локальная преобразуемость. Пусть разрешено преобразовывать пути, заменяя путь по двум сторонам минимального квадрата на путь по другим двум сторонам. Два кратчайших пути с общими концами локально преобразуются друг в друга, если концы путей принадлежат вершинам одного квадрата вложенного комплекса.Геометрические свойства построенной последовательности комплексов в дальнейшем используются для задания конечно определенных полугрупп.Библиография: 62 наименования.

Об авторах

Илья Анатольевич Иванов-Погодаев

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет); Университет имени Бар-Илана, отделение математики

Email: ivanov-pogodaev@mail.ru
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

Алексей Яковлевич Канель-Белов

Shenzhen University

Email: kanelster@gmail.com
доктор физико-математических наук, профессор

Список литературы

  1. E. I. Zelmanov, “On the nilpotency of nil algebras”, Algebra – some current trends (Varna, 1986), Lecture Notes in Math., 1352, Springer, Berlin, 1988, 227–240
  2. W. Burnside, “On an unsettled question in the theory of discontinuous groups”, Q. J. Pure Appl. Math., 33 (1902), 230–238
  3. И. Н. Санов, “Решение проблемы Бернсайда для показателя $4$”, Уч. зап. Ленингр. ун-та. Сер. матем., 10 (1940), 166–170
  4. M. Hall, Jr., “Solution of the Burnside problem for exponent $6$”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 43 (1957), 751–753
  5. Е. С. Голод, “О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых $p$-группах”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:2 (1964), 273–276
  6. Е. С. Голод, И. Р. Шафаревич, “О башне полей классов”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:2 (1964), 261–272
  7. П. С. Новиков, С. И. Адян, “О бесконечных периодических группах. I”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 32:1 (1968), 212–244
  8. С. И. Адян, Проблема Бернсайда и тождества в группах, Наука, М., 1975, 335 с.
  9. С. И. Адян, “Проблема Бернсайда и связанные с ней вопросы”, УМН, 65:5(395) (2010), 5–60
  10. С. И. Адян, “Новые оценки нечетных периодов бесконечных бернсайдовых групп”, Избранные вопросы математики и механики, Сборник статей. К 150-летию со дня рождения академика Владимира Андреевича Стеклова, Труды МИАН, 289, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2015, 41–82
  11. А. Ю. Ольшанский, “О теореме Новикова–Адяна”, Матем. сб., 118(160):2(6) (1982), 203–235
  12. А. Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих соотношений в группах, Современная алгебра, Наука, М., 1989, 448 с.
  13. И. Г. Лысeнок, “Бесконечность бернсайдовых групп периода $2^k$ при $k > 13$”, УМН, 47:2(284) (1992), 201–202
  14. И. Г. Лысeнок, “Бесконечные бернсайдовы группы четного периода”, Изв. РАН. Сер. матем., 60:3 (1996), 3–224
  15. S. V. Ivanov, “The free Burnside groups of sufficiently large exponents”, Internat. J. Algebra Comput., 4:1-2 (1994), 1–308
  16. S. V. Ivanov, “On the Burnside problem on periodic groups”, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 27:2 (1992), 257–260
  17. А. И. Ширшов, “О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах”, Матем. сб., 41(83):3 (1957), 381–394
  18. А. И. Ширшов, “О кольцах с тождественными соотношениями”, Матем. сб., 43(85):2 (1957), 277–283
  19. A. Belov-Kanel, L. H. Rowen, “Perspectives on Shirshov's Height theorem”, Selected works of A. I. Shirshov, Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, 185–202
  20. A. R. Kemer, “Comments on Shirshov's Height theorem”, Selected works of A. I. Shirshov, Contemp. Mathematicians, Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, 223–229
  21. А. Я. Белов, “Проблемы бернсайдовского типа, теоремы о высоте и о независимости”, Фундамент. и прикл. матем., 13:5 (2007)
  22. А. Я. Белов, М. И. Харитонов, “Субэкспоненциальные оценки в теореме Ширшова о высоте”, Матем. сб., 203:4 (2012), 81–102
  23. А. И. Кострикин, Вокруг Бернсайда, Наука, М., 1986, 232 с.
  24. M. V. Sapir, Combinatorial algebra: syntax and semantics, With contributions by V. S. Guba, M. V. Volkov, Springer Monogr. Math., Springer, Cham, 2014, xvi+355 pp.
  25. A. Yu. Ol'shanskii, M. V. Sapir, “Non-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groups”, Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci., 96, no. 1, 2003, 43–169
  26. T. Gateva-Ivanova, V. Latyshev, “On recognizable properties of associative algebras”, [J. Symbolic Comput., 6:2-3 (1988), 371–388], Computational aspects of commutative algebras, Academic Press, London, 1988, 237–254
  27. Днестровская тетрадь. Нерешенные проблемы теории колец и модулей, 4-е изд., ред. В. Т. Филиппов, В. К. Харченко, И. П. Шестаков, ИМ СО РАН, Новосибирск, 1993, 74 с.
  28. G. Kukin, “The variety of all rings has Higman's property”, Algebra and analysis (Irkutsk, 1989), Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 163, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, 91–101
  29. В. Я. Беляев, “Вложимость рекурсивно определенных инверсных полугрупп в конечно определенные”, Сиб. матем. журн., 25:2 (1984), 50–54
  30. В. А. Уфнаровский, “О росте алгебр”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1978, № 4, 59–65
  31. В. В. Щиголев, “О ниль и нильпотентных конечноопределeнных алгебрах”, Фундамент. и прикл. матем., 6:4 (2000), 1239–1245
  32. Н. К. Иыуду, Стандартные базисы и распознаваемость свойств алгебр, заданных копредставлением, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, МГУ, М., 1996, 73 с.
  33. И. А. Иванов-Погодаев, “Алгебра с конечным базисом Грeбнера и неразрешимой проблемой делителей нуля”, Фундамент. и прикл. матем., 12:8 (2006), 79–96
  34. Д. И. Пионтковский, “Некоммутативные базисы Грeбнера, когерентность ассоциативных алгебр и делимость в полугруппах”, Фундамент. и прикл. матем., 7:2 (2001), 495–513
  35. Д. И. Пионтковский, “Базисы Грeбнера и когерентность мономиальной ассоциативной алгебры”, Фундамент. и прикл. матем., 2:2 (1996), 501–509
  36. В. А. Уфнаровский, “Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре”, Алгебра – 6, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 57, ВИНИТИ, М., 1990, 5–177
  37. А. Я. Белов, “Линейные рекуррентные уравнения на дереве”, Матем. заметки, 78:5 (2005), 643–651
  38. L. A. Bokut', G. P. Kukin, Algorithmic and combinatorial algebra, Math. Appl., 255, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1994, xvi+384 pp.
  39. M. V. Sapir, “Algorithmic problems for amalgams of finite semigroups”, J. Algebra, 229:2 (2000), 514–531
  40. Нерешенные задачи теории полугрупп, Свердловская тетрадь, № 3, Урал. гос. ун-т, Свердловск, 1989, 40 с.
  41. O. G. Kharlampovich, M. V. Sapir, “Algorithmic problems in varieties”, Internat. J. Algebra Comput., 5:4-5 (1995), 379–602
  42. A. Ya. Belov, I. A. Ivanov, “Construction of semigroups with some exotic properties”, Comm. Algebra, 31:2 (2003), 673–696
  43. A. Ya. Belov, I. A. Ivanov, “Construction of semigroups with some exotic properties”, Acta Appl. Math., 85:1-3 (2005), 49–56
  44. I. Ivanov-Pogodaev, S. Malev, “Finite Gröbner basis algebras with unsolvable nilpotency problem and zero divisors”, J. Algebra, 508 (2018), 575–588
  45. I. Ivanov-Pogodaev, S. Malev, O. Sapir, “A construction of a finitely presented semigroup containing an infinite square-free ideal with zero multiplication”, Internat. J. Algebra Comput., 28:8 (2018), 1565–1573
  46. И. А. Иванов-Погодаев, Машина Минского, свойства нильпотентности и размерность Гельфанда–Кириллова в конечно-определенных полугруппах, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, МГУ, М., 2006, 77 с.
  47. A. Belov, I. Ivanov-Pogodaev, “Construction of finitelly presented Nill but not nilpotent semigroup”, International conference on algebra and related topics (ICCA) (Guangzhou, 2009), The Center of Combinatorial Algebra, South China Normal Univ., 2009, 18
  48. A. Belov-Kanel, I. Ivanov-Pogodaev, Finitely presented nil-semigroups and aperiodic tilings, CIRM, SubTile 2013 Pavages: systèmes dynamiques, combinatoire, theorie des nombres, decidabilite, geometrie discrète, geometrie non-commutative (Marseille, 2013)
  49. A. Ya. Belov, I. A. Ivanov-Pogodaev, “Construction of finitely presented infinite nil-semigroup”, Classical aspects of ring theory and module theory. Abstracts (Bedlewo, 2013), Stefan Banach International Mathematical Center, 2013, 14
  50. И. А. Иванов-Погодаев, А. Я. Белов, “Построение конечно определенной ниль-полугруппы”, Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения (Тула, 2014), Тул. гос. пед. ун-т им. Л. Н. Толстого, Тула, 2014, 30
  51. A. Belov-Kanel, I. Ivanov-Pogodaev, “Construction of infinite finitely presented nilsemigroup”, Groups and rings, theory and applications, GRiTA2015 (Sofia, 2015), Institute of Mathematics and Informatics of the Bulgarian Academy of Sciences, Sofia, 2015, 10
  52. A. Belov-Kanel, I. Ivanov-Pogodaev, “Construction of infinite finitely presented nilsemigroup”, First joint international meeting of the Israel mathematical union and the Mexican mathematical society (Oaxaca, 2015), Instituto Tecnologico de Oaxaca, 2015, 13
  53. A. J. Belov, V. V. Borisenko, V. N. Latyshev, Monomial algebras, Plenum, New York, NY, 1998
  54. Н. К. Иыуду, “Алгоритмическая разрешимость проблемы распознавания делителей нуля в одном классе алгебр”, Фундамент. и прикл. матем., 1:2 (1995), 541–544
  55. R. Berger, The undecidability of the domino problem, Ph.D. thesis, Harvard Univ., 1964
  56. R. M. Robinson, “Undecidability and nonperiodicity for tilings of the plane”, Invent. Math., 12 (1971), 177–209
  57. C. Goodman-Strauss, “Matching rules and substitution tilings”, Ann. of Math. (2), 147:1 (1998), 181–223
  58. N. Bedaride, Th. Fernique, “When periodicities enforce aperiodicity”, Comm. Math. Phys., 335:3 (2015), 1099–1120
  59. Wang Hao, “Proving theorems by pattern recognition – II”, Bell System Tech. J., 40:1 (1961), 1–41
  60. T. Fernique, И. Иванов-Погодаев, А. Белов, И. Митрофанов, Апериодичные замощения [Aperiodic tilings], 25-я летняя конференция международного математического Турнира городов (Боровка, Беларусь, 2013), 2013
  61. J. H. Conway, J. C. Lagarias, “Tiling with polyominoes and combinatorial group theory”, J. Combin. Theory Ser. A, 53:2 (1990), 183–208
  62. А. Я. Белов-Канель, И. Иванов-Погодаев, А. Малистов, И. Митрофанов, М. Харитонов, Замощения, раскраски и плиточные группы, 21-я летняя конференция международного математического Турнира городов (Теберда, 2009), 2009

© Иванов-Погодаев И.А., Канель-Белов А.Я., 2021

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах