Uniqueness theorems for one-dimensional and double Franklin series
- Authors: Gevorkyan G.G.1
-
Affiliations:
- Yerevan State University
- Issue: Vol 84, No 5 (2020)
- Pages: 3-19
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/1607-0046/article/view/133815
- DOI: https://doi.org/10.4213/im8889
- ID: 133815
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
The paper contains two main results. First we describe one-dimensional Franklin series converging everywhereexcept possibly on a finite set to an everywhere-finite integrable function. Second we establish a class of subsetsof $[0, 1]^2$ with the following property. If a double Franklin series converges everywhere except on this set to an everywhere-finite integrable function, then it is the Fourier–Franklin series of this function. In particular, all countablesets are in this class.
Keywords
About the authors
Gegham Grigor'evich Gevorkyan
Yerevan State University
Email: ggg@ysu.am
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
References
- G. Cantor, “Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen”, Math. Ann., 5:1 (1872), 123–132
- Н. К. Бари, Тригонометрические ряды, Физматгиз, М., 1961, 936 с.
- Л. Д. Гоголадзе, “К вопросу восстановления коэффициентов сходящихся кратных функциональных рядов”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:2 (2008), 83–90
- Ch. J. de la Vallee Poussin, “Sur l'unicite du developpement trigonometrique”, Bull. Acad. Roy. de Belg., 1912 (1912), 702–718
- А. А. Талалян, “Представление измеримых функций рядами”, УМН, 15:5(95) (1960), 77–141
- П. Л. Ульянов, “Решенные и нерешенные проблемы теории тригонометрических и ортогональных рядов”, УМН, 19:1(115) (1964), 3–69
- G. Kozma, A. Olevskiv{i}, Cantor uniqueness and multiplicity along subsequences, 2018
- В. Я. Козлов, “О полных системах ортогональных функций”, Матем. сб., 26(68):3 (1950), 351–364
- Н. К. Бари, “О всюду сходящихся к нулю подпоследовательностях частных сумм тригонометрического ряда”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 24:4 (1960), 531–548
- Ф. Г. Арутюнян, “О единственности рядов по системе Хаара”, Докл. АН Арм. ССР, 38:3 (1964), 129–134
- М. Б. Петровская, “О нуль-рядах по системе Хаара и множествах единственности”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:4 (1964), 773–798
- В. А. Скворцов, “Теорема типа Кантора для системы Хаара”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1 Матем. Мех., 1964, № 5, 3–6
- Ф. Г. Арутюнян, А. А. Талалян, “О единственности рядов по системам Хаара и Уолша”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 28:6 (1964), 1391–1408
- М. Г. Плотников, “$lambda$-Сходимость кратных рядов Уолша–Пэли и множества единственности”, Матем. заметки, 102:2 (2017), 292–301
- М. Г. Плотников, Ю. А. Плотникова, “Разложение двоичных мер и объединение замкнутых $mathscr{U}$-множеств для рядов по системе Хаара”, Матем. сб., 207:3 (2016), 137–152
- Г. Г. Геворкян, К. А. Навасардян, “Теоремы единственности для обобщенной системы Хаара”, Матем. заметки, 104:1 (2018), 11–24
- Г. Г. Геворкян, К. А. Навасардян, “Теоремы единственности для системы Виленкина”, Известия НАН РА. Математика, 53:2 (2018), 15–30
- Г. Г. Геворкян, “Теоремы единственности рядов Франклина, сходящихся к интегрируемым функциям”, Матем. сб., 209:6 (2018), 25–46
- Z. Ciesielski, “Properties of the orthonormal Franklin system. II”, Studia Math., 27 (1966), 289–323
- Г. Г. Геворкян, “О рядах по системе Франклина”, Anal. Math., 16:2 (1990), 87–114
- Г. Г. Геворкян, “Теоремы единственности для рядов Франклина”, Гармонический анализ, теория приближений и теория чисел, Сборник статей. К 60-летию со дня рождения академика Сергея Владимировича Конягина, Тр. МИАН, 303, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2018, 67–86
- Ph. Franklin, “A set of continuous orthogonal functions”, Math. Ann., 100:1 (1928), 522–529
- Б. С. Кашин, А. А. Саакян, Ортогональные ряды, 2-е изд., АФЦ, М., 1999, x+550 с.
- Z. Ciesielski, “Properties of the orthonormal Franklin system”, Studia Math., 23 (1963), 141–157
- Л. Д. Гоголадзе, “Об ограниченности сходящихся средних кратных функциональных рядов”, Матем. заметки, 34:6 (1983), 845–855
- Ш. Т. Тетунашвили, “О некоторых кратных функциональных рядах и решение проблемы единственности кратных тригонометрических рядов для сходимости по Прингсхейму”, Матем. сб., 182:8 (1991), 1158–1176
- В. Г. Челидзе, Некоторые методы суммирования двойных рядов и двойных интегралов, Изд-во Тбилисского ун-та, Тбилиси, 1977, 399 с.
