Completion of the classification of generic singularities of geodesicflows in two classes of metrics

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This is the final paper in a series devoted to generic singularitiesof geodesic flows for two-dimensional pseudo-Riemannian metrics of changingsignature and metrics induced from the Euclidean metric of the ambient spaceon surfaces with a cuspidal edge. We study the local phase portraitsand the properties of geodesics at degenerate points of a certain type.This completes the list of singularities in codimensions $1$ and $2$.

About the authors

Natalia Gennadievna Pavlova

Peoples' Friendship University of Russia; Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Email: natasharussia@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Alexey Olegovich Remizov

École Polytechnique, Centre de Mathématiques Appliquées; Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Email: alexey-remizov@yandex.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. А. О. Ремизов, “Геодезические на двумерных поверхностях с псевдоримановой метрикой: особенности смены сигнатуры”, Матем. сб., 200:3 (2009), 75–94
  2. А. О. Ремизов, “Особенности геодезического потока на поверхностях с ребром возврата”, Дифференциальные уравнения и топология. I, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Тр. МИАН, 268, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2010, 258–267
  3. R. Ghezzi, A. O. Remizov, “On a class of vector fields with discontinuities of divide-by-zero type and its applications to geodesics in singular metrics”, J. Dyn. Control Syst., 18:1 (2012), 135–158
  4. A. O. Remizov, “On the local and global properties of geodesics in pseudo-Riemannian metrics”, Differential Geom. Appl., 39 (2015), 36–58
  5. A. O. Remizov, F. Tari, “Singularities of the geodesic flow on surfaces with pseudo-Riemannian metrics”, Geom. Dedicata, 185:1 (2016), 131–153
  6. N. G. Pavlova, A. O. Remizov, “A brief survey on singularities of geodesic flows in smooth signature changing metrics on 2-surfaces”, Singularities and foliations. Geometry, topology and applications, Springer Proc. Math. Stat., 222, Springer, Cham, 2018, 135–155
  7. B. Kruglikov, “Point classification of second order ODEs: Tresse classification revisited and beyond”, Differential equations: geometry, symmetries and integrability, Abel Symp., 5, Springer, Berlin, 2009, 199–221
  8. V. A. Yumaguzhin, “Differential invariants of second order ODEs. I”, Acta Appl. Math., 109:1 (2010), 283–313
  9. F. Dumortier, S. Ibañez, “Nilpotent singularities in generic 4-parameter families of 3-dimensional vector fields”, J. Differential Equations, 127:2 (1996), 590–647
  10. В. И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Наука, М., 1978, 304 с.
  11. В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко, “Обыкновенные дифференциальные уравнения”, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140
  12. M. W. Hirsch, C. C. Pugh, M. Shub, Invariant manifolds, Lecture Notes in Math., 583, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1977, ii+149 pp.
  13. R. Roussarie, Modèles locaux de champs et de formes, Asterisque, 30, Soc. Math. France, Paris, 1975, 181 pp.
  14. В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь, “Симплектическая геометрия”, Динамические системы – 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направл., 4, ВИНИТИ, М., 1985, 5–135
  15. J. Martinet, “Sur les singularites des formes differentielles”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 20:1 (1970), 95–178
  16. А. О. Ремизов, “Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений”, Оптимальное управление, СМФН, 19, РУДН, М., 2006, 131–170
  17. F. Takens, “Partially hyperbolic fixed points”, Topology, 10:2 (1971), 133–147
  18. S. M. Voronin, “The Darboux–Whitney theorem and related questions”, Nonlinear Stokes phenomena, Adv. Soviet Math., 14, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993, 139–233
  19. С. М. Воронин, “Аналитическая классификация ростков голоморфных отображений с неизолированными неподвижными точками и постоянными мультипликаторами и ее приложения”, Вестн. Челябинского гос. ун-та. Cер. 3, 1999, № 2(5), 12–30
  20. J.-C. Yoccoz, “Linearisation des germes de diffeomorphismes holomorphes de $(mathbf C, 0)$”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 306:1 (1988), 55–58
  21. J. Sotomayor, M. Zhitomirskii, “Impasse singularities of differential systems of the form $A(x)x'=F(x)$”, J. Differential Equations, 169:2 (2001), 567–587
  22. Н. Г. Павлова, А. О. Ремизов, “Полная классификация типичных особенностей геодезических потоков на 2-поверхностях с псевдоримановыми метриками”, УМН, 72:3(435) (2017), 195–196
  23. М. Громов, Знак и геометрический смысл кривизны, Изд. дом “Удмуртский университет”, Ижевск, 1999, 120 с.
  24. В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов, Наука, М., 1982, 304 с.
  25. Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Мир, М., 1970, 720 с.
  26. J. W. Bruce, G. J. Fletcher, F. Tari, “Bifurcations of implicit differential equations”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 130:3 (2000), 485–506
  27. J. W. Bruce, D. L. Fidal, “On binary differential equations and umbilics”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 111:1-2 (1989), 147–168
  28. J. W. Bruce, F. Tari, “On binary differential equations”, Nonlinearity, 8:2 (1995), 255–271

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Pavlova N.G., Remizov A.O.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».