Spatial vibrations of power transmission conductors with ice deposits

1. Введение. Провода воздушных линий электропередачи в механическом отношении представляют собой сильно натянутые гибкие упругие стержни большого удлинения. Очевидная аналогия со струной качественно верно объясняет их склонность к колебаниям, возбуждаемым ветром, подвижностью подвески на опорах, колебаниями температуры. В соответствии с классификацией CIGRE (Conseil International des Grands Réseaux Électriques) – авторитетной научно-технической ассоциации специалистов-энергетиков всего мира, колебания проводов разделяют на три группы [1]. Одну из них образуют эоловы вибрации – поперечные колебания с амплитудой порядка диаметра провода и с частотой от 5 до 50 Гц, которые возбуждаются периодическим воздействием вихревой дорожки Кармана при поперечном обтекании провода ветровым потоком. Вторую группу образуют так называемые субколебания – нелинейные колебания проводов расщепленных (многопроводных) фаз с частотами от 0.5 до 5 Гц, вызываемые действием аэродинамического (спутного) следа. К третьей, наименее исследованной группе относятся колебания с низкими частотами от 0.2 до 3 Гц с амплитудами порядка нескольких метров. Это явление, называемое галопированием или пляской, наблюдается, как правило, при сочетании ветра и гололедных отложений на поверхности провода, которые придают сечению несимметричную форму и аэродинамическое качество. В результате между центрами крутильной жесткости и массы в сечении образуется эксцентриситет, возникает динамическая связь вертикальных, крутильных и “маятниковых” колебаний с выходом провода из вертикальной плоскости провисания. Феномен галопирования обычно связывают с понижением высоких частот крутильных мод при обледенении провода и с их сближением с низкими частотами поперечных колебаний. Однако изменение соотношения этих частот оказывается существенно более сложным. В совокупности перечисленные факторы считаются причиной развития автоколебаний по типу флаттера. Это представление является в мире энергетики доминирующим [2–6]. Однако известны случаи возникновения пляски совсем в иных условиях, необъяснимые с позиций данной концепции [7].

Как нормирование прочности и эксплуатационного ресурса, так и разработка технических средств парирования колебаний должны основываться на анализе особенностей колебаний проводов во всем актуальном диапазоне частот с учетом изменения динамических характеристик провода вследствие обледенения. Данная статья является продолжением исследований авторов, изложенных в работе [8], и содержит анализ собственных частот колебаний провода на основе модели, учитывающей взаимосвязь различных (парциальных) колебаний, обусловленную изменением динамических характеристик провода при его обледенении.

2. Физическая модель и исходные уравнения. Сталеалюминевый провод типа АС [9] рассматривается как однородный цилиндрический упругий стержень с длиной L и диаметром сечения d, с жесткостями на растяжение B и кручение D, лишенный изгибной жесткости. Определение жесткостей реальных проводов представляет собой самостоятельную сложную задачу, поэтому для крутильной жесткости используется аппроксимация: $D=2.7\cdot {10}^8{d}^4$, предложенная в [10, 11]. Для жесткости на растяжение принимается модель параллельного соединения отдельных проволок: $B=E_{Al}{F}_{Al}+E_{St}{F}_{St}$. Рассматривается практически важный случай слабо провисающего провода, когда можно считать его натяжение $T_S$ и кривизну осевой линии постоянными вдоль пролета, связанными со стрелой провисания $f$ соотношением: $k_S=mg/T_S=8f/L^2$ [3]. Материальная длина провода $L$ и расстояние между равновысокими точками подвеса в рамках технической теории считаются совпадающими. Упругость гололедной оболочки мала по сравнению c упругостью провода, поэтому центр крутильной жесткости $\tilde{O}$, принимаемый за полюс сечения, при обледенении остается на оси провода, а центр массы сечения С смещается относительно полюса на величину эксцентриситета $\Delta$. В исходном состоянии (отсутствие обледенения) погонная масса и радиус сечения провода равны $m_0,r_0=d/\sqrt{8}$, а ось провода располагается в вертикальной плоскости со стрелой провисания $f_0$, которой соответствует кривизна $k_{S0}=8f_0/L^2$. В конечном состоянии (при обледенении) эти параметры приобретают новые значения: $m=\mu m_0,r=\vartheta r_0,f=\varphi f_0,k_S=\varphi k_{S0}$, сечения поворачиваются относительно полюса $\tilde{O}$ на угол ${\phi }_S$, переменный по длине, а плоскость провисания отклоняется от вертикали на угол $\upsilon$.

С поперечным сечением провода связывается натуральный триэдр, образованный единичными векторами касательной $\tau$, нормали $n$ и бинормали $b=\tau \times n$ с центром в точке оси $\tilde{O}$. Соответственно направлениям осей триэдра вводится локальная (левая) система координат $\tilde{O}xyz$, движущаяся относительно глобальной координатной системы $OXYZ$, как показано на рис. 1. В качестве координаты используется длина дуги s осевой линии провода. Рассматриваются свободные колебания, при которых в пролете образуются стоячие продольные, крутильные и поперечные волны.

Рис. 1. Положительные направления осей координатных систем и углов поворота.

На практике представляет интерес влияние обледенения на собственные частоты колебаний. Изменение частот обусловлено как повышением инерционных характеристик провода, так и изменением стрелы провисания вследствие увеличения веса провода. Поэтому необходимо различать его конфигурации в начальном и конечном состояниях, которые определяются величинами стрел провисания.

Для определения связи между ними запишем условия равновесия провода в сравниваемых состояниях. В рамках технической теории эти условия имеют вид: $m_{0}g{L}^2=64B{f}_0\left(f_0^2-f_{nat}^2\right)/\left(3L^2\right)$ и $mg{L}^2=64Bf\left(f^2-f_{nat}^2\right)/\left(3L^2\right)$, где $f_{nat}$ – стрела в натуральном состоянии (при отсутствии деформаций). Исключая $f_{nat}$, придем к уравнению для определения коэффициента изменения стрелы провисания $\varphi =f/f_0$: ${\beta }_0{\varphi }^3+\varphi \left(1-{\beta }_0\right)-\mu =0$, где коэффициент ${\beta }_0=64Âf_0^3/\left(3m_{0}g{L}^4\right)$. Все дальнейшие построения относятся к конечному состоянию провода.

При колебаниях точки оси получают перемещение из положения равновесия $U=u(s)\tau +w(s)n+v(s)b$, а поперечные сечения, считающиеся недеформируемыми, поворачивается на малый угол $Ô=\phi (s)\tau +{\phi }_1(s)n+{\phi }_2(s)b$. Число степеней свободы сечения (шесть) уменьшается до четырех, если использовать обычные для теории стержней связи, состоящие в отсутствии поперечных сдвигов и выразить углы поворота через производные перемещений по s: ${\phi }_1=-v^{\prime }$, ${\phi }_2=w^{\prime }$. В этой модели деформации растяжения, кручение и соответствующие им продольное натяжение и крутящий момент равны

$\epsilon =u^{\prime }-k_{S}w+\frac{1}{2}\left({v^{\prime }}^2+{w^{\prime }}^2\right),\chi ={\phi }^{\prime }-k_S{v}^{\prime };T=B\epsilon ,H=D\chi$.

Здесь удержаны слагаемые второго порядка относительно поворотов, чтобы учесть влияние статического натяжения провода на его колебания, которые в дальнейшем считаются малыми.

Уравнения колебаний следуют из вариационного принципа Гамильтона–Остроградского: $\delta {\displaystyle \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}(K-Ï})dt=0$. Кинетическая энергия равна:

$K=\frac{m}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\left[{\dot{u}}^2+{\dot{v}}^2+{\dot{w}}^2+r^2{\dot{\phi }}^2-2\Delta \dot{\phi }\left(\dot{w}\cos {\phi }_S+\dot{v}\sin {\phi }_S\right)\right]ds}$.

Потенциальная энергия складывается из энергии деформации ${Ï}_1$ и приращения энергии ${Ï}_2$ в поле тяжести при изменении положения центра массы сечения за счет вертикального смещения w вместе с полюсом и поворота на угол ${\phi }_{\Sigma }=\phi -v{k}_S$:

${Ï}_1={\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\left[\frac{Â}{2}{\epsilon }^2+T_S\epsilon +\frac{D}{2}{\chi }^2+H_S\chi \right]}ds,{Ï}_2=mg{\displaystyle \underset{0}{\overset{L}{\int }}\left[w-\Delta {\phi }_{\Sigma }\cos ({\phi }_S+{\phi }_{\Sigma })\right]}ds$.

Стандартная процедура приводит к системе уравнений, в которой сохранены только линейные по $u,v,w,\phi ,$ слагаемые; величины $O\left(k_S^2\right)$ также считаются величинами второго порядка малости ввиду исходного предположения о пологости кривой провисания провода:

$\begin{array}{l}m\ddot{u}=T^{\prime }+\underset{¯}{{T^{\prime }}_S}\\ m\ddot{w}-m\Delta \cos {\phi }_S\ddot{\phi }=T_S{w}^{″}+k_{S}T+\underset{¯}{k_S{T}_S-mg}\\ m\ddot{v}-m\Delta \sin {\phi }_S\ddot{\phi }=T_S{v}^{″}-k_S{H}^{\prime }\underset{¯}{-k_S\left({H^{\prime }}_S+mg\Delta \cos {\phi }_S\right)}\\ m{r}^2\ddot{\phi }-m\Delta \left(\ddot{w}\cos {\phi }_S+\ddot{v}\sin {\phi }_S\right)=H^{\prime }-2mg\Delta \phi \sin {\phi }_S+\underset{¯}{{H^{\prime }}_S+mg\Delta \cos {\phi }_S}.\end{array}$ (2.1)

На краях предполагается отсутствие перемещений и поворота: $u=v=w=0$, $\phi =0$. Подчеркнутые слагаемые равны нулю в силу условий статики и дают уравнения для определения формы провисания и угла поворота сечения в положении равновесия $w_S(s),{\phi }_S(s)$. Пренебрегая вкладом перемещения $v_S$, запишем:

${w^{″}}_S=mg{L}^2/T_S$, ${{\phi }^{″}}_S+\kappa \cos {\phi }_S=0$.

Здесь дифференцирование ведется по безразмерной координате $x=s/L$. Параметр $\kappa =\mu m_{0}g\Delta L^2/D$ обобщенно характеризует упруго-инерционные характеристики провода и гололедной оболочки.

Решение первого уравнения дает известное соотношение технической теории гибкой нити малого провисания:

$w_S=f{\psi }_S(x),f=mg{L}^2/8T_S,{\psi }_S(x)=4x\left(1-x\right)$.

Второе уравнение имеет первый интеграл: ${{\phi }^{\prime }}_S=\sqrt{2\kappa \left(\sin {\phi }_m-\sin \phi \right)}$, где постоянная интегрирования ${\phi }_m$ – максимальный угол поворота сечения (в центре пролета). Второй интеграл:

 $x={\displaystyle \underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{dz}{\sqrt{2\kappa \left(\sin {\phi }_m-\sin z\right)}}}=F\left(\phi \right)$.

Величина ${\phi }_m$ определяется из условия, что угол поворота максимален при $x=1/2$; это приводит к уравнению $F\left({\phi }_m\right)=1/2$. Непосредственный расчет указывает на то, что достаточно точной является следующая аппроксимация решения:

 ${\phi }_S\left(x,\kappa \right)=\frac{\pi }{2}\left(1-e^{-0.075\kappa }\right){\psi }_S(x)$. (2.2)

Перейдем в уравнениях (2.1) к перемещениям:

 $\begin{array}{l}\ddot{u}-c_u^2{u}^{″}=-k_S{c}_u^2{w}^{\prime }\\ \ddot{w}-c_w^2{w}^{″}+k_S^2{c}_u^{2}w=k_S{c}_u^2{u}^{\prime }+\Delta \ddot{\phi }\cos {\phi }_S\\ \ddot{v}-c_v^2{v}^{″}=-k_S{r}^2{c}_{\phi }^2{\phi }^{″}+\Delta \ddot{\phi }\sin {\phi }_S\\ \ddot{\phi }-{ñ}_{\phi }^2{\phi }^{″}+2mg\Delta \phi \sin {\phi }_S=-k_S{c}_{\phi }^2{v}^{″}+\Delta r^{-2}\left(\ddot{w}\cos {\phi }_S+\ddot{v}\sin {\phi }_S\right).\end{array}$ (2.3)

Здесь величины

${ñ}_u=\sqrt{B/m}=\sqrt{B/\mu m_0}=c_u^0/\sqrt{\mu }$

$c_v=\sqrt{c_w^2+k_S^2{r}^2{c}_{\phi }^2}=c_w\sqrt{1+k_{S0}^2{r}_0^2{\left(c_{\phi }^0/c_w^0\right)}^2{\varphi }^3/\mu }$

$c_w=\sqrt{T_S/m}=\sqrt{g/k_S}=\sqrt{g/\left(\varphi k_{S0}\right)}={ñ}_w^0/\sqrt{\varphi }$

${ñ}_{\phi }=\sqrt{D/\left(m{r}^2\right)}=\sqrt{D/\left(m_0{r}_0^2\mu {\vartheta }^2\right)}={ñ}_{\phi }^0/\sqrt{\mu {\vartheta }^2}$

– фазовые скорости парциальных продольных, поперечных (в вертикальном и горизонтальном направлениях) и крутильных волн в конечном и исходном состояниях (последние отмечены верхним индексом “0”).

Левые части уравнений (2.3) представляют собой операторы, описывающие парциальные продольные, крутильные и поперечные волны в проводе. При отсутствии или равномерном распределении массы гололеда по сечению провода центр массы сечения лежит на оси провода $\left(\Delta =0\right)$, и система распадается на две независимые подсистемы, описывающие продольно-поперечные волны в вертикальной плоскости и поперечно-крутильные – в горизонтальном направлении.

Между перечисленными скоростями существуют соотношения, играющие важную роль в формировании собственных частот провода. Скорость продольных упругих волн $c_u^0\approx 5000м/с$ м/с. Характерная скорость поперечных волн при отсутствии гололеда $c_w^0\approx 100м/с$ м/с. Сопоставление аппроксимации крутильной жесткости, предложенной в работах [10, 11], с ее традиционной формой $D=G_{eq}\pi d^4/32=2.7\cdot {10}^8{d}^4$ приводит к эквивалентному модулю сдвига провода при кручении: $G_{eq}=2.75ГПа$ ГПа, что примерно на порядок меньше модуля сдвига алюминиевого сплава провода. Полагая: $G_{eq}\approx 3ГПа$ ГПа, ${\rho }_{eq}\approx 3000кг/м$ кг/м, оценим скорость крутильной волны: ${ñ}_{\phi }^0=\sqrt{G_{eq}/{\rho }_{eq}}\approx 1000м/с$ м/с.

При обледенении фазовые скорости уменьшаются, однако скорость продольной волны остается существенно больше скорости поперечной, так как $\varphi ,\mu =O(1)$, а деформация статического растяжения ${\epsilon }_S=T_S/B\approx {10}^{-3}$, откуда следует, что $\alpha ={ñ}_u/c_w=\sqrt{\varphi /\left(\mu {\epsilon }_S\right)}>>1$. Отношение $\gamma ={ñ}_{\phi }/c_w=\left({ñ}_{\phi }^0\sqrt{\varphi }\right)/\left(c_w^0\vartheta \sqrt{\mu }\right)$ не столь большое, если учесть, что ${ñ}_{\phi }^0/c_w^0<10$, а параметры $\varphi ,\mu ,\vartheta =Î\left(1\right)$. Тем не менее, для реальных проводов можно считать, что ${\gamma }^2>>1$. Так как кривизна провисающего провода $k_S<{10}^{-3}{\text{ì}}^{-1}$, а радиус инерции сечения $r<{10}^{-2}\text{ì}$, то $c_w^2>>k_S^2{r}^2{c}_{\phi }^2$ и $\beta =c_v/c_w\approx 1+k_S^2{r}^2{\gamma }^2/2=O\left(1\right)$. Таким образом, среди парциальных колебаний наиболее высокие частоты должны быть у продольных, а наименьшие – у поперечных, тогда как частоты крутильных занимают промежуточное положение.

Исключая время подстановкой $\left(u,v,w,\phi \right)\to \left(u,v,w,\phi \right)e^{i\omega t}$, перейдем к безразмерным параметрам: $\tilde{\omega }=\omega L/c_w$, $x=s/L$, $\left(\tilde{u},\tilde{v},\tilde{w}\right)=\left(u,v,w\right)/d$, и вместо (2.3) придем к однородной краевой задаче типа Штурма–Лиувилля с нулевыми граничными условиями (в дальнейшем значок тильды опускается):

 $\begin{array}{l}\zeta {\omega }^{2}u+{\alpha }^2{u}^{″}={\alpha }^2\eta w^{\prime }\\ \left({\omega }^2-{\alpha }^2{\eta }^2\right)w+w^{″}=-{\alpha }^2\eta u^{\prime }+{\omega }^2\delta \phi \cos {\phi }_S\\ {\omega }^{2}v+{\beta }^2{v}^{″}=\tau {\gamma }^2{\rho }^2{\phi }^{″}+{\omega }^2\delta \phi \sin {\phi }_S\\ \left({\omega }^2-2\kappa {\gamma }^2\sin {\phi }_S\right)\phi +{\gamma }^2{\phi }^{″}=\tau {\gamma }^2{v}^{″}+{\omega }^2\delta {\rho }^{-2}\left(v\sin {\phi }_S+w\cos {\phi }_S\right).\end{array}$ (2.4)

В первое уравнение системы (2.4) введен множитель $\zeta$, принимающий значения 1 или 0. При $\zeta =0$ не учитываются продольные силы инерции и сопутствующие им волны, малые в наиболее интересном частотном диапазоне. При этом эффект упругого растяжения провода сохраняется.

В уравнениях (2.4) в дополнение к ранее установленным соотношениям фазовых скоростей $\alpha ,\beta ,\gamma$ введены безразмерные величины:

$\tau =d{k}_S=d{k}_{S0}\varphi ,\eta =L{k}_S=L{k}_{S0}\varphi ,\delta =\Delta /d,\rho =r/d=\vartheta /\sqrt{8}$.

Оценим практически возможные диапазоны изменения безразмерных коэффициентов. Увеличение массы можно оценить исходя из того, что соотношение масс $\mu =m/m_0$ не может превышать соотношение предельно допустимого и эксплуатационного натяжения провода, которое примерно равно 5 [3], поэтому примем, что $1<\mu <5$. Из (2.2) следует, что верхняя граница актуального диапазона изменения коэффициента $\kappa$ составляет: ${\kappa }_{\max }\approx 50$. Для сечений гололеда, симметричных относительно линии центров ОС, имеет место неравенство $\Delta \le r$. Эксплуатационные характеристики проводов [9] позволяют оценить остальные параметры: $\tau <<{10}^{-4}$, $\eta \approx 0.2-0.3$. Наименее определенна величина $\rho$: можно считать $\rho =O\left(1\right)$, исходя из точной нижней границы ${\rho }_{\min }=1/\sqrt{8}$.

Учитывая, что ${\alpha }^2>>1$, для характерных пролетов длиной $L\approx 300\text{ì}$ и $c_w\approx 100\text{ì/ñ}$ в диапазоне частот до 5 Гц безразмерная частота лежит в интервале $0<\omega <100$. Приводимые в дальнейшем числовые оценки относятся к распространенному на практике пролету ВЛЭ с проводом АС 150/24 длиной 300 м при стреле провисания в исходном состоянии 10 м. Механические характеристики провода: погонная масса $m_0=0.6\text{êã}/\text{ì}$, диаметр $d=17\text{ ìì}$, жесткость на растяжение В = 15 МН, жесткость на кручение D = 23 МН·м². Для него (при выбранном масштабе частоты) значению $\omega =1$ соответствует частота, равная примерно 0.05Гц. Для параметров, характеризующих гололедную оболочку, условно принято: $\mu =\mathrm{2,}\vartheta =\mathrm{2,}\delta =0.1$.

Система уравнений (2.4) имеет переменные коэффициенты, связанные с изменением угла статического закручивания ${\phi }_S$ провода по длине пролета. Учитывая неизбежную неопределенность распределения гололедных отложений, заменим тригонометрические функции этого угла их средними по длине значениями:

$S(\kappa )={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\sin {\phi }_S(x,}\kappa )dx,C(\kappa )={\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}\cos {\phi }_S(x,}\kappa )dx$.

Полагая $\left(u,w,v,\phi \right)=\left(U,W,V,\Phi \right)e^{i\lambda x}$ и подставляя эти выражения в уравнения (2.4), придем к системе однородных уравнений относительно амплитуд $U,V,W,\Phi$ с постоянными коэффициентами:

 $M\left(\lambda ,\omega \right)\left(\begin{array}{c}U\\ W\\ V\\ \Phi \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{q}_{11}& q_{12}& 0& 0\\ q_{21}& q_{22}& 0& q_{24}\\ 0& 0& q_{33}& q_{34}\\ 0& q_{42}& q_{43}& q_{44}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}U\\ W\\ V\\ \Phi \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{D}_1& d_1\\ d_2& D_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}U\\ W\\ V\\ \Phi \end{array}\right)=0$, (2.5)

где обозначено:

$q_{11}=\zeta {\omega }^2-{\alpha }^2{\lambda }^2,q_{12}=-q_{21}=-i\lambda {\alpha }^2\eta ,q_{22}={\omega }^2-{\alpha }^2{\eta }^2-{\lambda }^2$

$q_{24}=-{\omega }^2\delta C,q_{33}={\omega }^2-{\beta }^2{\lambda }^2,q_{34}=\tau {\rho }^2{\gamma }^2-\delta {\omega }^{2}S,q_{42}=-\delta {\omega }^{2}C/{\rho }^2$ 

$q_{43}=\tau {\gamma }^2{\lambda }^2-\delta {\omega }^{2}S/{\rho }^2,q_{44}={\omega }^2-2\kappa {\gamma }^{2}S-{\gamma }^2{\lambda }^2$.

Диагональные элементы матрицы $q_{ii}$ определяют парциальные квазиструнные колебания, когда все виды волн, кроме одного. “заморожены”. Элементы $q_{12}$, $q_{21}$, образующие подматрицу $D_1$, связывают продольные и поперечные волны в вертикальном направлении. Элементы $q_{34}$, $q_{43}$, образующие подматрицу $D_2$, связывают крутильные и поперечные волны маятниковых колебаний в горизонтальном направлении. Элементы $q_{24},q_{42}$, пропорциональные эксцентриситету $\Delta$, определяют связь этих подматриц. При отсутствии гололеда или при его осесимметричном распределении по сечению провода эксцентриситет $\Delta =0$, матрица $M$ становится блочно-диагональной, а системы для определения форм $U,W$ и V, Ф независимыми. Раскрывая определитель матрицы системы (2.5), придем к уравнению, связывающему волновые числа $\lambda$ с частотой $\omega$:

 $D\left(\omega ,\lambda \right)=\left|\begin{array}{cc}{D}_1& d_1\\ d_2& D_2\end{array}\right|=\left|D_1\right|\left|D_2\right|-q_{11}{q}_{33}{\omega }^4{Ñ}^2{\delta }^2/{\rho }^2$. (2.6)

3. Парциальные колебания. Прежде чем перейти к общему случаю, рассмотрим выделенные группы парциальных колебаний.

3.1. Продольно-поперечные колебания в вертикальной плоскости. Прежде всего рассмотрим парциальную подсистему $D_1{\left(UW\right)}^T=0$, описывающую продольные и поперечные колебания в вертикальной плоскости. Обозначая: $z={\lambda }^2$ и сохраняя продольную силу инерции $\left(\zeta =1\right)$, запишем детерминант подматрицы $D_1$:

 $\left|D_1\right|={\alpha }^2\left[z^2-\left({\alpha }^{-2}+1\right){\omega }^{2}z+{\alpha }^{-2}{\omega }^2\left({\omega }^2-{\alpha }^2{\eta }^2\right)\right]=0$. (3.1)

Корни этого полинома вещественны, а их знаки различаются в условно низко- и высокочастотном диапазонах, разграниченных критическим значением ${\omega }_{cr}^{(1)}=\alpha \eta$; при $\omega >\alpha \eta$ они положительны, а при $\omega \le \alpha \eta$ имеют различные знаки. Применительно к распространенным типам проводов и длин пролетов эта величина составляет 0.3–1.0 Гц, то есть лежит в диапазоне частот, на которых регистрируются явления пляски проводов [2, 3]. Отметим, что если не учитывать растяжение провода, то рассматриваемая подсистема сведется к единственному уравнению $\left({\omega }^2-{\alpha }^2{\eta }^2\right)w+w^{″}=0$, которое в низкочастотной области не имеет колебательных решений, в результате чего часть низких частот окажется потерянной.

Не выписывая выражений для корней полинома, оценим их соотношение. Так как скорости продольных и поперечных волн сильно различаются и ${\alpha }^2>>1$, следует ожидать, что волновые числа и, следовательно, корни $z_{\mathrm{1,2}}$ также будут весьма различными. Из теоремы Виета следуют оценки: $z_1=O({\omega }^2)$, $z_2=O\left(\left|{(\omega /\alpha )}^2-{\eta }^2\right|\right)$ и соотношение: $z_1>>\left|z_2\right|$. Больший корень соответствует поперечным, а меньший – продольным волнам.

Общее решение подсистемы $D_1{\left(UW\right)}^T=0$ в общем случае имеет вид:

 $W_k={\displaystyle \sum _{k=1}^4{A}_k{e}^{i{\lambda }_{k}x}},U_k={\displaystyle \sum _{k=1}^{4}i{A}_k{\sigma }_k{e}^{i{\lambda }_{k}x}}={\displaystyle \sum _{k=1}^4{A}_k{\sigma }_k{e}^{i\left({\lambda }_{k}x+\pi /2\right)}}$, (3.2)

а из первого уравнения системы (2.5) для каждого ${\lambda }_k\left(k=\mathrm{1,...,4}\right)$ следуют соотношения: $U_k=-q_{12}\left({\lambda }_k\right)/q_{11}\left({\lambda }_k\right)=i{\sigma }_k{W}_k$, определяющие коэффициенты распределения амплитуд.

В высокочастотной области корни полинома (3.1) вещественны и положительны: $z_{\mathrm{1,2}}={\chi }_{\mathrm{1,2}}^2$ и волновые числа вещественны:

${\lambda }_{\mathrm{1,2}}=\pm {\chi }_1\approx \pm {\tilde{\chi }}_1=\pm \omega ,{\lambda }_{\mathrm{3,4}}=\pm {\chi }_2\approx \pm {\tilde{\chi }}_2=\pm \sqrt{\left|{(\omega /\alpha )}^2-{\eta }^2\right|}$.

Первая пара соответствует медленным, преимущественно поперечным, вторая – быстрым, преимущественно продольным волнам. Им соответствуют коэффициенты распределения:

${\sigma }_{\mathrm{1,2}}=\pm {\delta }_1,{\sigma }_{\mathrm{3,4}}=\pm {\delta }_2,{\delta }_1=\frac{\eta {\alpha }^2{\chi }_1}{{\omega }^2-{\alpha }^2{\chi }_1^2},{\delta }_2=\frac{\eta {\alpha }^2{\chi }_2}{{\omega }^2-{\alpha }^2{\chi }_2^2}$.

Общее решение (3.2) может быть записано в эквивалентной тригонометрической форме:

 $\begin{array}{l}W=C_1\cos {\chi }_{1}x+C_2\sin {\chi }_{1}x+C_3\cos {\chi }_{2}x+C_4\sin {\chi }_{2}x\\ U=-{\delta }_1{C}_1\sin {\chi }_{1}x+{\delta }_1{C}_2\cos {\chi }_{1}x-{\delta }_2{C}_3\sin {\chi }_{2}x+{\delta }_2{C}_4\cos {\chi }_{2}x.\end{array}$ (3.3)

В низкочастотной области один из корней полинома (3.1) $z_1={\chi }_1^2$ положителен, другой отрицателен: $z_2=-{\chi }_2^2$. Это дает пару вещественных волновых чисел: ${\lambda }_{\mathrm{1,2}}=\pm {\chi }_1$ и пару мнимых: ${\lambda }_{\mathrm{3,4}}=\pm i{\chi }_2$. Им соответствуют коэффициенты распределения: ${\sigma }_{\mathrm{1,2}}=\pm {\delta }_1$, ${\sigma }_{\mathrm{3,4}}=\pm i{\delta }_3$, где ${\delta }_3=\eta {\alpha }^2{\chi }_2/\left({\omega }^2+{\alpha }^2{\chi }_2^2\right)$, и общее решение:

 $\begin{array}{l}W=C_1\cos {\chi }_{1}x+C_2\sin {\chi }_{1}x+C_3\text{ch}{\chi }_{2}x+C_4\text{sh}{\chi }_{2}x\\ U=-{\delta }_1{C}_1\sin {\chi }_{1}x+{\delta }_1{C}_2\cos {\chi }_{1}x+{\delta }_3{C}_3\text{sh}{\chi }_{2}x+{\delta }_3{C}_4\text{ch}{\chi }_{2}x.\end{array}$ (3.4)

На рис. 2 показаны точные зависимости параметров ${\chi }_{\mathrm{1,2}}$ и их приближенных значений от частоты. Как видно, они близки практически во всем актуальном диапазоне частот, причем ${\chi }_1>>{\chi }_2$. В данном случае критическая частота ${\omega }_{cr}^{(1)}=9.91$.

Рис. 2. Зависимости модулей волновых чисел χ₁, χ₂ от частоты ω. Сплошные линии – точные значения, точечные – приближенные. Цифрами от 1 до 6 обозначены соответственно зависимости: χ₁(ω), χ₁ ~ (ω); –χ₂(ω), –χ₂ ~ (ω), χ₂(ω), χ₂ ~ (ω).

В дальнейшем используется раздельный анализ мод симметричных (S-мод) и антисимметричных (А-мод). Помещая начало координат в центре пролета, сохраним в (3.3) и (3.4) поочередно только симметричные (четные по $w$, нечетные по $u$ ) и антисимметричные (нечетные по $w$, четные по $u$ ) слагаемые. Например, симметричные моды в высокочастотной области согласно (3.3):

 $W=C_1\cos {\chi }_{1}x+C_3\cos {\chi }_{2}x,U=-{\delta }_1{C}_1\sin {\chi }_{1}x-{\delta }_3{C}_3\sin {\chi }_{2}x$. (3.5)

Подчиняя W, U однородным граничным условиям при x = ±1/2, получим частотное уравнение: $D_{1S}={\delta }_2\cos \left({\chi }_1/2\right)\cdot \sin \left({\chi }_2/2\right)-{\delta }_1\sin \left({\chi }_1/2\right)\cdot \cos \left({\chi }_2/2\right)=0.$ После определения спектра собственных частот ${\omega }_k$, для каждой из них, полагая ${Ñ}_{1k}=1$, из первого равенства (3.5) определим $C_{3k}=-\cos \left({\chi }_1({\omega }_k)/2\right)/\cos \left({\chi }_2({\omega }_k)/2\right)$ и соответствующие моды $W_k,U_k$. Аналогично для низкочастотной области, а также для А-мод. Результаты сведены в табл. 1, где строки соответствуют типам мод, а столбцы – частотным областям и использованы обозначения:

$\begin{array}{l}{\psi }_1=\frac{cos\left({\chi }_1/2\right)}{cos\left({\chi }_2/2\right)},{\psi }_2=\frac{\sin \left({\chi }_1/2\right)}{\sin \left({\chi }_2/2\right)},{\psi }_3=\frac{cos\left({\chi }_1/2\right)}{\text{ñh}\left({\chi }_2/2\right)},{\psi }_4=\frac{\sin \left({\chi }_1/2\right)}{\text{sh}\left({\chi }_2/2\right)}\\ {\psi }_5=\frac{cos\left({\chi }_1/2\right)}{cos\left(\omega /2\right)},{\psi }_6=\frac{\sin \left({\chi }_1/2\right)}{\sin \left(\omega /2\right)}.\end{array}$

Таблица 1. Уравнения и моды колебаний в вертикальной плоскости

На рис. 3 приведены значения первых шести частот и формы симметричных (a, b, c) и антисимметричных колебаний (d, e, f). Как видно, начиная примерно с четвертой частоты, между ними устанавливается практически постоянный интервал, что характерно для колебаний прямолинейной струны. Отметим существенное отличие первых мод от “струнных”, следующих закону синуса. Однако, начиная с четвертой-пятой частоты, форма колебаний приближается к синусоидальной.

Рис. 3. Зависимость частот от номера гармоники симметричных и антисимметричных колебаний (a, d); формы колебаний: поперечные (b, c) и продольные (e, f) компоненты. Цифрами обозначены номера гармоник.

3.2. Маятниково-крутильные колебания. Рассмотрим вторую парциальную подсистему $D_2{\left(V\Phi \right)}^T=0$, описывающую крутильные и поперечные (маятниковые) колебания в горизонтальной плоскости. Пренебрегая слагаемыми $O({\tau }^2)$ имеем:

 $\left|D_2\right|={\gamma }^2{\beta }^2\left[z^2-z\left(\frac{{\omega }^2}{{\gamma }^2}+\frac{{\omega }^2}{{\beta }^2}-2\kappa S-2\delta \epsilon S\frac{{\omega }^2}{{\beta }^2}\right)+\frac{{\omega }^4}{{\beta }^2{\gamma }^2}\left(1-\frac{{\delta }^2}{{\rho }^2}{S}^2\right)-2\kappa S\frac{{\omega }^2}{{\beta }^2}\right]=0$. (3.6)

Для этой подсистемы также существует критическая частота, разделяющая высоко- и низкочастотные диапазоны: ${\omega }_{cr}^{(2)}=\sqrt{2{\gamma }^2\kappa S/\left(1-{\delta }^2{S}^2/{\rho }^2\right)}\approx \gamma \sqrt{2\kappa S}$. Отметим, что при уменьшении угла статического закручивания ${\phi }_S$ инерционная связь поперечной и крутильной волн ослабевает, низкочастотная область сокращается и при $S=0$ (горизонтально ориентированная гололедная оболочка) полностью исчезает. Отмеченные ранее свойства корней полинома сохраняются, поэтому будем сохранять принятые обозначения волновых чисел, параметров ${\chi }_{\mathrm{1,2}}$ и коэффициентов ${\delta }_{\mathrm{1,2,3}}$, которые теперь рассчитываются на основе корней полинома (3.6). Отличие состоит в том, что соотношение амплитуд, определяемое из третьего уравнения системы (2.5), имеет вид ${\Phi }_k={\sigma }_k{V}_k$, где ${\sigma }_k=q_{33}\left({\lambda }_k\right)/q_{34}\left({\lambda }_k\right)$ и все коэффициенты распределения вещественны. Отметим, что последнее уравнение системы (2.4) для крутильной компоненты, взятое отдельно от поступательных компонент: $\ddot{\phi }-{ñ}_{\phi }^2{\phi }^{″}+2mg\Delta \phi \sin {\phi }_S=0$, ниже критической частоты ${\omega }_{cr}^{(2)}$ не имеет колебательного решения.

При условиях, выполняющихся для большинства проводов ВЛЭ ( ${\gamma }^2>>1$, $\tau <<1$, ${\delta }^2/{\rho }^2<<1$ ), оценка корней полинома дает:

 $z_1={\chi }_1^2\approx {\tilde{z}}_1={\omega }^2/{\beta }^2,\left|z_2\right|={\chi }_2^2\approx \left|{\tilde{z}}_2\right|=\left|{\omega }^2/{\gamma }^2-2\kappa S\right|$. (3.7)

Первый корень соответствует медленным маятниковым колебаниям, частоты которых близки к частотам поперечных вертикальных, а второй – относительно быстрым крутильным. Проверка показывает, что эта оценка так же, как и в случае колебаний первой группы, справедлива для типовых проводов ВЛЭ. Это видно из графиков на рис. 4,а, где приведены практически совпадающие зависимости точных $\left({\lambda }_{\mathrm{1,2}}=\sqrt{z_{\mathrm{1,2}}}\right)$ и приближенных $\left({\tilde{\lambda }}_{\mathrm{1,2}}=\sqrt{\left|{\tilde{z}}_{\mathrm{1,2}}\right|}\right)$ волновых чисел от частоты. Интересно отметить, что для крутильных колебаний эти зависимости в низкочастотной области (в данном случае ${\omega }_{cr}^{(2)}\approx 40$ ) имеют аномальный характер: волновое число не уменьшается с частотой, что характерно для чисто упругих крутильных колебаний жестких конструкций типа валов.

Рис. 4. а) – точные и приближенные зависимости волновых чисел от частоты; цифрами от 1 до 6 обозначены соответственно зависимости: λ₁(ω), λ₁ ~ (ω), –λ₂(ω), –λ₂ ~ (ω), λ₂(ω), λ₂ ~ (ω); b) – зависимости волновых чисел крутильных колебаний от частоты при различных значениях параметра к = 80, 40, 20, 5, 1, 0, характеризующего обледенение.

В случае относительно гибкого провода в выражении $\left|{\tilde{z}}_2\right|$ роль первого слагаемого, связанного с крутильной жесткостью, на низких частотах падает и основную роль играет второе – связанное с силами гравитации при несовпадении центров массы и жесткости в поперечном сечении провода.

Эту особенность крутильных колебаний иллюстрируют кривые на рис. 4,b, где приведены зависимости волновых чисел от частоты при различных значениях параметра $\kappa$, обобщенно характеризующего обледенение. Кривые соответствуют значениям $\kappa =80,40,20,5,\mathrm{1,}0$. Видно, что при уменьшении этого параметра аномалия смещается в область низких частот и исчезает при отсутствии гололеда, а дисперсионная зависимость восстанавливает нормальный вид $\lambda \text{~}\omega$. Эта особенность должна играть существенную роль при колебаниях проводов, в особенности при длинных пролетах ВЛЭ.

Общее решение подсистемы $D_2{\left(V\Phi \right)}^T=0$, таким образом, имеет вид:

$V_k={\displaystyle \sum _{k=1}^4{B}_k{e}^{i{\lambda }_{k}x}},{\Phi }_k={\displaystyle \sum _{k=1}^4{B}_k{\sigma }_k{e}^{i{\lambda }_{k}x}}$.

В высокочастотной области:

${\lambda }_{\mathrm{1,2}}=\pm {\chi }_1,{\lambda }_{\mathrm{3,4}}=\pm {\chi }_2;{\sigma }_{\mathrm{1,2}}=\frac{{\omega }^2-{\chi }_1^2{\beta }^2}{\delta {\omega }^{2}S-\tau {\gamma }^2{\rho }^2{\chi }_1^2}={\delta }_1,{\sigma }_{\mathrm{3,4}}=\frac{{\omega }^2-{\chi }_2^2{\beta }^2}{\delta {\omega }^{2}S-\tau {\gamma }^2{\rho }^2{\chi }_2^2}={\delta }_2$

$\begin{array}{l}V=C_1\cos {\chi }_{1}x+C_2\sin {\chi }_{1}x+C_3\cos {\chi }_{2}x+C_4\sin {\chi }_{2}x\\ \Phi ={\delta }_1{C}_1\cos {\chi }_{1}x+{\delta }_1{C}_2\sin {\chi }_{1}x+{\delta }_2{C}_3\cos {\chi }_{2}x+{\delta }_2{C}_4\sin {\chi }_{2}x.\end{array}$

В низкочастотной области:

${\lambda }_{\mathrm{1,2}}=\pm {\chi }_1,{\lambda }_{\mathrm{3,4}}=\pm i{\chi }_2;{\sigma }_{\mathrm{1,2}}={\delta }_1,{\sigma }_{\mathrm{3,4}}=\frac{{\omega }^2+{\chi }_2^2{\beta }^2}{\delta {\omega }^{2}S+\tau {\gamma }^2{\rho }^2{\chi }_2^2}={\delta }_3$

$\begin{array}{l}V=C_1\cos {\chi }_{1}x+C_2\sin {\chi }_{1}x+C_3\text{ch}{\chi }_{2}x+C_4\text{sh}{\chi }_{2}x\\ \Phi ={\delta }_1{C}_1\cos {\chi }_{1}x+{\delta }_1{C}_2\sin {\chi }_{1}x+{\delta }_3{C}_3\text{ch}{\chi }_{2}x+{\delta }_3{C}_4\text{sh}{\chi }_{2}x.\end{array}$

Разделяя моды на симметричные и антисимметричные, получим соответствующие частотные уравнения и собственные функции. В данном случае S-модам соответствуют четные, A-модам – нечетные слагаемые в обоих выражениях. Результаты приведены в табл. 2. В правых частях $D_{2S},D_{2A}$ опущены монотонные по частоте множители, не влияющие на положение их нулей. Отметим, что функции (3.5) сохраняют вид и в этом случае, но параметры ${\chi }_{\mathrm{1,2}}$, ${\delta }_{\mathrm{1,2,3}}$ – теперь функции корней полинома (3.6).

Таблица 2. Уравнения и моды маятниково-крутильных колебаний

Искомые частоты являются нулями функций $\cos {\chi }_{\mathrm{1,2}}$ и $\sin {\chi }_{\mathrm{1,2}}$. Поэтому обозначим: ${\Omega }_{Ñ1}$ – множество нулей функции $\cos \left({\chi }_1/2\right)$, ${\Omega }_{Ñ2}$ – множество нулей функции $\cos \left({\chi }_2/2\right)$ в высокочастотном диапазоне. Аналогично: ${\Omega }_{S1},{\Omega }_{S2}$ – для нулей функций $\sin \left({\chi }_1/2\right)$ и $\sin \left({\chi }_2/2\right)$. Используя приближенные выражения (3.2.2) для параметров ${\chi }_{\mathrm{1,2}}$, найдем элементы этих множеств:

${\Omega }_{Ñ1}=\left\{\left(2k+1\right)\beta \pi \right\},{\Omega }_{Ñ2}=\left\{\gamma \sqrt{2KS+{\pi }^2{\left(2k+1\right)}^2}>{\omega }_{cr}^{\left(2\right)}\right\}$

${\Omega }_{S1}=\left\{2k\beta \pi \right\},{\Omega }_{S2}=\left\{\gamma \sqrt{2KS+4{\text{k}}^2{\pi }^2}>{\omega }_{cr}^{\left(2\right)}\right\}$.

Спектры симметричных, антисимметричных мод и общий спектр формируются объединением этих множеств:

${\Omega }_S={\Omega }_{Ñ1}\cup {\Omega }_{Ñ2},{\Omega }_{À}={\Omega }_{S1}\cup {\Omega }_{S2},{\Omega }_{VÔ}={\Omega }_S\cup {\Omega }_{À}$.

Коэффициенты $k=\mathrm{0,1,2,...}$ – целые числа, при которых удовлетворяются условия $\cos {\chi }_{\mathrm{1,2}}=0$, $\sin {\chi }_{\mathrm{1,2}}=0$, поэтому их элементы, составляющие множества ${\Omega }_S$ и ${\Omega }_A$, “перемешаны”; для придания полученному набору принятой формы спектра необходимо упорядочить элементы в порядке возрастания. Результат расчета частот приведен на рис. 5.

Рис. 5. Парциальные частоты маятниково-крутильных колебаний: симметричные (заполненные кружки) и антисимметричные частоты (пустые кружки).

Формы колебаний в данном случае практически на всех частотах близки к “струнным” и не обнаруживают отмеченных ранее особенностей вертикально поляризованных низкочастотных мод.

4. Связанные колебания. Аналитическое решение. Рассмотрим теперь общую систему (2.5), описывающую связанные колебания, пренебрегая при этом тангенциальной силой инерции и положив в первом уравнении $\zeta =0$. В этом случае детерминант (2.6) примет вид:

 $D\left(\omega ,\lambda \right)={\alpha }^2{\beta }^2{\gamma }^{2}z\left(z-{\omega }^2\right)D_0\left(z\right)=0$ (4.1)

$D_0=z^2-z\left(\frac{{\omega }^2}{{\beta }^2}+\frac{{\omega }^2}{{\gamma }^2}-2\kappa S-2\delta \epsilon S\frac{{\omega }^2}{{\beta }^2}\right)+\frac{{\omega }^4}{{\gamma }^2{\beta }^2}\left(1-\frac{{\delta }^2}{{\rho }^2}\right)-2\kappa S\frac{{\omega }^2}{{\beta }^2}$.

Корни полинома $D_0\left(z\right)$ обладают тем же свойством, что и корни полиномов (3.1), (3.6), но к ним добавляется корень ${\chi }_3={\omega }^2$ и соответствующая ему пара новых волновых чисел: ${\lambda }_{\mathrm{5,6}}=\pm \sqrt{{\chi }_3}=\pm \omega$ вертикально поляризованных поперечных волн. Критическая частота в данном случае равна ${\omega }_{cr}^{\left(1\text{-}2\right)}=\sqrt{2{\gamma }^2\kappa S/\left(1-{\delta }^2/{\rho }^2\right)}\approx \gamma \sqrt{2\kappa S}$, что практически близко к ${\omega }_{cr}^{\left(2\right)}$. Таким образом, в высокочастотной области:

${\lambda }_{\mathrm{1,2}}=\pm {\chi }_1,{\lambda }_{\mathrm{3,4}}=\pm {\chi }_2,{\lambda }_{\mathrm{5,6}}=\pm \omega$,

в низкочастотной:

 ${\lambda }_{\mathrm{1,2}}=\pm {\chi }_1,{\lambda }_{\mathrm{3,4}}=\pm i{\chi }_2,{\lambda }_{\mathrm{5,6}}=\pm \omega$.

Нулевой корень – следствие пренебрежения продольной силой инерции; это, однако, не означает пренебрежения упругими тангенциальными смещениями $U$, которые сохраняются и квазистатически “отслеживают” поперечные смещения $W$, но сами по себе практического интереса обычно не представляют. В данном случае имеют место оценки:

 ${\chi }_1\approx \omega /\beta ,{\chi }_2\approx \sqrt{\left|{(\omega /\gamma )}^2-2\kappa S\right|}$.

Общее решение системы (2.5) и коэффициенты распределения имеют вид:

$W_k={\displaystyle \sum _{k=1}^6{B}_k{e}^{i{\lambda }_{k}x}},V_k={\displaystyle \sum _{k=1}^6{B}_k{\sigma }_k{e}^{i{\lambda }_{k}x}},{\Phi }_k={\displaystyle \sum _{k=1}^6{B}_k{\xi }_k{e}^{i{\lambda }_{k}x}}$

${\sigma }_k=q_{34}({\lambda }_k)q_{42}({\lambda }_k)/\left|D_2({\lambda }_k)\right|$, ${\xi }_k=q_{33}\left({\lambda }_k\right)q_{42}\left({\lambda }_k\right)/\left|D_2\left({\lambda }_k\right)\right|$.

Так как среди них есть попарно равные, обозначим:

${\sigma }_1={\sigma }_2={\delta }_1,{\sigma }_3={\sigma }_4={\delta }_2,{\sigma }_5={\sigma }_6={\delta }_3;{\xi }_1={\xi }_2={\delta }_4,{\xi }_3={\xi }_4={\delta }_5,{\xi }_5={\xi }_6={\delta }_6$ .

Не выписывая подробные выражения, заметим только, что они вычисляются на базе решений уравнения (4.1) с учетом различия выражений волновых чисел в низко- и высокочастотной областях. Окончательно решение в высокочастотной области имеет вид:

 $\begin{array}{c}W={Ñ}_1\cos {\chi }_{1}x+{Ñ}_2\sin {\chi }_{1}x+{Ñ}_3\cos {\chi }_{2}x+\\ +{Ñ}_4\sin {\chi }_{2}x+{Ñ}_5\cos \omega x+{Ñ}_6\sin \omega x\\ V={Ñ}_1{\delta }_1\cos {\chi }_{1}x+{Ñ}_2{\delta }_1\sin {\chi }_{1}x+{Ñ}_3{\delta }_2\cos {\chi }_{2}x+\\ +{Ñ}_4{\delta }_2\sin {\chi }_{2}x+{Ñ}_5{\delta }_3\cos \omega x+{Ñ}_6{\delta }_3\sin \omega x\\ \Phi ={Ñ}_1{\delta }_4\cos {\chi }_{1}x+{Ñ}_2{\delta }_4\sin {\chi }_{1}x+{Ñ}_3{\delta }_5\cos {\chi }_{2}x+\\ +{Ñ}_4{\delta }_5\sin {\chi }_{2}x+{Ñ}_5{\delta }_6\cos \omega x+{Ñ}_6{\delta }_6\sin \omega x.\end{array}$ (4.2)

Рассматривая симметричные моды и подставляя четные составляющие выражений (4.2) в однородные граничные условия при $x=1/2$, легко видеть, что соответствующие детерминанты (частотные уравнения) имеют вид: $D_S\text{~}\cos \left({\chi }_1/2\right)\cos \left({\chi }_2/2\right)\cos \left(\omega /2\right)$ в высокочастотной области и $D_S\text{~}\cos \left({\chi }_1/2\right)\cos \left(\omega /2\right)$ в низкочастотной (с точностью до монотонного множителя – функции коэффициентов распределения $f\left({\delta }_k\right)$, который может быть опущен). Следовательно, спектр собственных частот состоит из множества нулей этих функций:

${\omega }_k^{(1)}=2\pi k,{\omega }_k^{(2)}=2\pi k\beta ,{\omega }_k^{(3)}=\gamma \sqrt{2\kappa S+{\left(2\pi k\right)}^2}$.