Orientation of the localized damage zone in brittle solid under true triaxial compression

Full Text

1. Введение. Ориентация и величина главных напряжений существенно влияют на прочностные свойства и в целом деформационное поведение горных массивов в процессе подземного строительства и разработки полезных ископаемых. В естественных условиях залегания горные породы осадочной толщи и кристаллического фундамента находятся в трехмерном напряженно-деформированном состоянии под действием главных напряжений s₁ ≥ s₂ ≥ s₃, где s₁, s₂, s₃ – максимальное, промежуточное и минимальное главные напряжения. При решении практических задач, как правило, используют двумерные критерии прочности (например, критерий Кулона–Мора), предполагая равенство двух из трех главных напряжений, и, таким образом, игнорируя влияние на деформационное поведение горных пород промежуточного главного напряжения.

Условие нагружения s₁ > s₂ > s₃ в отечественной и зарубежной литературе носит название истинного трехосного сжатия и представляет особый интерес в геомеханике, так как именно истинное трехосное сжатие приводит к избирательному характеру активизации и развития трещиноватости в нагруженной породе, что, в свою очередь, приводит к существенным вариациям ее деформационного отклика [1–9]. Величина и ориентация главных напряжений при истинном трехосном сжатии может меняться как при вариациях регионального геодинамического режима, так и антропогенного воздействия, вызванного бурением, прокладкой туннелей и добычей полезных ископаемых [10–15]. В инженерной практике многие явления разрушения горных пород, такие как расслоение, скалывание, горные удары, зональная дезинтеграция, контролируются истинно трехосным напряжённым состоянием, действующим на породу [16–19].

Начиная с пионерских работ Моги [20, 21], усилия научных коллективов по всему миру направлены на теоретико-экспериментальные исследования поведения горных пород различных литотипов в условиях истинного трехосного сжатия. При этом можно выделить несколько магистральных направлений исследований: экспериментальное исследование влияния величины промежуточного главного напряжения s₂ на деформационное поведение горных пород [3, 6, 22, 23], разработка новых и обобщение известных критериев прочности пород на случай истинного трехосного сжатия [24–28], исследование влияния неравнокомпонентного трёхосного напряженного состояния на проницаемость, фильтрацию и ползучесть горных пород [29–31], определение условий проявления эффекта памяти (Кайзера) при циклическом непропорциональном трехосном сжатии горных пород [32–35]. Необходимо отметить, что вопросу ориентации плоскости разрушения (зоны локализованной поврежденности) в условиях истинного трехосного сжатия при различном соотношении главных напряжений уделяется недостаточно внимания [36]. Хотя именно информация о совокупности ориентации плоскостей сдвига/скола в полевых условиях может быть использована для оценки действующего регионального поля напряжений (наравне с моделями Кулона–Андерсона [37] и Риделя [38] для обстановок чистого и простого сдвига).

В случае традиционного трехосного сжатия согласно критерию Кулона–Мора, когда s₁ > s₂ = s₃, разрушение материала происходит вдоль плоскости, на которой действующее касательное напряжение превышает эффективное нормальное напряжение, складывающееся из сцепления C и произведения давления на коэффициент трения c:

$\left|\tau \right|=\chi {\sigma }_n+C.$ (1.1)

Сцепление C является собственной прочностью материала на сдвиг, а коэффициент трения определяется углом внутреннего трения j = tg^-1(c). Ориентация плоскости, по которой происходит разрушение материала, определяется максимумом кулоновских напряжений | t | - cs_n и задается углом Кулона–Мора относительно направления действия максимального главного сжимающего напряжения (рис. 1):

${\theta }_{\text{CM}}=\pm \left(\frac{\pi }{4}-\frac{\phi }{2}\right).$ (1.2)

 

Рис. 1. Ориентация зон локализованной поврежденности при традиционном трехосном сжатии (s₁ > s₂ = s₃).

 

Ранее в работе авторов [39] для случая традиционного трехосного сжатия было показано, что использование нелинейной реологической модели деформирования хрупкого материала позволяет получить оптимальный с точки зрения скорости роста поврежденности угол наклона зоны локализованного разрушения близкий к углу Кулона–Мора q_CM. При этом степень близости определяется величиной параметра поврежденности в зоне локализованного разрушения. Настоящая работа является продолжением этих исследований и посвящена теоретической оценки ориентации зоны локализованной поврежденности в хрупком теле при истинном трехосном сжатии при различных соотношениях между главными напряжениями.

2. Нелинейная реологическая модель деформирования хрупкого тела. Базовыми особенностями деформационного поведения хрупких материалов со структурными неоднородностями различного типа в поле приложенных напряжений являются зависимость упругих свойств от вида напряженного-деформированного состояния и взаимосвязь процессов сдвигового и объемного деформирования, приводящая, в частности, к дилатансии такого класса материалов в условиях сдвиговых нагрузок. Начиная с пионерской работы Ю.Н. Работновa [40], в которой была предложена модель упругой среды с модулями упругости, зависящими от напряжений, активно начали развиваться разномодульные модели деформирования материалов [41–50].

Данная работа базируется на неклассической модели нелинейной упругости, предложенной во второй половине прошлого века академиком РАН В.П. Мясниковым [51] и получившей свое развитие в работах отечественных и зарубежных ученых [52–55]. Согласно данной модели энергия упругой деформации имеет вид

$U=\frac{1}{\rho }\left(\frac{\lambda }{2}{I}_1^2+\mu I_2-\gamma I_1\sqrt{I_2}\right),$ (2.1)

где $\lambda , \mu$ – параметр Ламе, $\gamma$ – дополнительный упругий модуль, определяющий степень нелинейности материала, $I_1={\epsilon }_{ij}, I_2={\epsilon }_{ij} {\epsilon }_{ij}$ – первый и второй инварианты тензора деформации соответственно. В отличие от традиционных моделей нелинейной упругости, которые базируются на включении в выражение для упругой энергии слагаемых более высоких порядков по деформации [56], в этой модели дополнительное слагаемое имеет также второй порядок, как и гуковские члены.

Дифференцирование энергии упругой деформации (2.1) по компонентам тензора деформации приводит к определяющему соотношению

${\sigma }_{ij}=\left(\lambda -\frac{\gamma }{\xi }\right)I_1{\delta }_{ij}+2\left(\mu -\frac{\gamma \xi }{2} \right){\epsilon }_{ij}$ (2.2)

c упругими модулями $\lambda$_eff = $\lambda$ - $\gamma /\xi , {\mu }_{eff}=\mu - \gamma \xi /2$, зависящими от вида напряженно-деформированного состояния, определяемого параметром $\xi$= I₁/√—I₂. Параметр $\xi$ меняется от -√–3 для всестороннего сжатия до √–3 при всестороннем растяжении; $\xi$ = ±1 соответствует одноосному сжатию/растяжению, а $\xi$ = 0 – чистому сдвигу. Таким образом, дополнительное нелинейное слагаемое в выражении (2.1) позволяет описывать разномодульность, т.е. скачкообразное изменение упругих модулей при переходе от растяжения к сжатию и дилатансию материала при чистом сдвиге [46, 47].

В работах [53, 57] предложена линейная зависимость упругих свойств от скалярного параметра поврежденности $\alpha$, описывающего плотность микротрещин, в виде $\lambda$ = $\lambda$₀, $\mu ={\mu }_o+{\mu }_1\alpha , \gamma ={\gamma }_o\alpha , где {\mu }_1,{\gamma }_o$ – материальные параметры. С использованием принципов линейной термодинамики необратимых процессов получено кинетическое уравнение для роста поврежденности в виде

$\frac{d\alpha }{dt}=C_d{I}_2\left(\xi -{\xi }_0\right),$ (2.3)

где C_d > 0 описывает скорость роста поврежденности при заданном уровне деформации, ${\xi }_0$ – материальный параметр, контролирующий переход от залечивания микротрещин к их росту (критическая величина параметра вида напряженно-деформированного состояния). Условие $\xi ={\xi }_0$ является аналогом критерия Кулона–Мора в пространстве деформаций, величина параметра ${\xi }_o$ связана с упругими модулями и углом внутреннего трения соотношением:

${\xi }_0=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{9+2 {\left(\frac{\sin \phi }{1-\frac{\sin \phi }{3}}\right)}^2\left(2+3\frac{{\lambda }_0}{{\mu }_0}\right)}}$ (2.4)

и определяется по результатам традиционных испытаний материала по схеме Кармана (одноосное сжатие с боковым подпором). Необходимо отметить, что условие начала роста поврежденности $\xi ={\xi }_o$, следующее из (2.3), неоднократно подтверждалось в экспериментах по деформированию горных пород различных литотипов [58–60].

В отличие от традиционных моделей континуальной механики, согласно которым разрушение материала наступает при $\alpha$ = 1, в нелинейных моделях максимальная поврежденность, характеризующая макроразрушение материала, определяется условием выпуклости потенциала U. Из условия выпуклости потенциала также следует минимально допустимое значение дополнительного упругого модуля ${\gamma }_o$:

${\gamma }_0=\frac{{\xi }_0\left(({\xi }_0^2-6){\lambda }_0-2{\mu }_0\right)-\sqrt{{(6{\xi }_0{\lambda }_0-{\xi }_0^3{\lambda }_0+2{\xi }_0{\mu }_0)}^2\text{}-8{\mu }_0(3{\lambda }_0+2{\mu }_0)({\xi }_0^2-3)}}{2\left({\xi }_0^2-3\right)}.$ (2.5)

Вывод необходимых и достаточных условий локальной строгой выпуклости потенциала (2.1), а также зависимости максимального возможного значения параметра поврежденности от параметра вида напряженно-деформированного состояния представлены в работе [61]. В следующем разделе кинетическое уравнение (2.3) будет использовано для определения оптимальной ориентации зоны локализованной поврежденности в хрупком материале в условиях истинного трехосного сжатия.

3. Ориентация зоны локализованной поврежденности при истинном трехосном сжатии. 3.1. Постановка задачи. Рассмотрим представительный объем хрупкого материала c зоной локализованной поврежденности, находящийся в общем случае в условиях истинного трехосного сжатия с $({\sigma }_{zz}={\sigma }_1)>({\sigma }_{yy}={\sigma }_2)>>({\sigma }_{xx}={\sigma }_3)$. Ориентация зоны локализованной поврежденности определяется двумя углами: углом $\theta$ между зоной и направлением действия максимального главного напряжения ${\sigma }_1$, и углом $\beta$ между зоной и направлением действия промежуточного главного напряжения ${\sigma }_2$ (рис. 2).

 

Рис. 2. Геометрия представительного объема с зоной локализованной поврежденности в условиях истинного трехосного сжатия (XYZ – глобальная система координат, X*Y*Z* – система координат зоны локализованной поврежденности).

 

В случае упругого изотропного неповрежденного тела компоненты тензора деформации определяются согласно закону Гука для линейно-упругого материала как

${\epsilon }_{zz}={\epsilon }_1= \frac{1}{2{\mu }_0}\left[{\sigma }_1-\frac{{\lambda }_0}{3{\lambda }_0+2{\mu }_0}\left({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3\right)\right],$

${\epsilon }_{yy}={\epsilon }_2= \frac{1}{2{\mu }_0}\left[{\sigma }_2-\frac{{\lambda }_0}{3{\lambda }_0+2{\mu }_0}\left({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3\right)\right],$ (3.1)

${\epsilon }_{xx}={\epsilon }_3= \frac{1}{2{\mu }_0}\left[{\sigma }_3-\frac{{\lambda }_0}{3{\lambda }_0+2{\mu }_0}\left({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3\right)\right].$

Зона представляет собой сплошной материал с заниженными из-за поврежденности упругими свойствами. В приближении тонкого слоя, условие непрерывности перемещений и усилий на границах зоны приводит к следующей системе равенств для напряжений:

$\begin{array}{l}{\sigma }_{zz}^{*}\left(\alpha \right)={\sigma }_{zz}^{*el},\\ {\sigma }_{xz}^{*}\left(\alpha \right)={\sigma }_{xz}^{*el},\\ {\sigma }_{yz}^{*}\left(\alpha \right)={\sigma }_{yz}^{*el},\\ {\sigma }_{xx}^{*}={\sigma }_{xx}^{*el},\\ {\sigma }_{yy}^{*}={\sigma }_{yy}^{*el},\\ {\sigma }_{xy}^{*}={\sigma }_{xy}^{*el},\end{array}$ (3.2)

где ${\sigma }_{jj}^{*}$ – компоненты тензора напряжений в зоне локализованной поврежденности, ${\sigma }_{ij}^{*el}$ – компоненты тензора напряжений в окружающем зону неповрежденном материале в системе координат зоны. С использование трех первых равенств в (3.2) для заданного уровня поврежденности $\alpha$ будем искать ${\epsilon }_{zz}^{*}, {\epsilon }_{xz}^{*}, {\epsilon }_{xz}^{*}$, остальные компоненты тензора деформации совпадают с компонентами для окружающего неповрежденного материала.

Оптимальный с точки зрения эффективности диссипации энергии угол наклона зоны локализованной поврежденности определяется в результате решения задачи максимизации функционала $f(k, \theta , \beta )$

$\begin{array}{c}f\left(k,\theta ,\beta \right)=I_2\left(\xi -{\xi }_0\right)\to \max ,\\ -\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}, 0\le \beta \le 2\pi ,\end{array}$ (3.3)

представляющего собой правую часть кинетического уравнения для параметра поврежденности $\alpha$.

3.2. Результаты решения задачи оптимизации. Зафиксируем величину минимального главного напряжения ${\sigma }_3$, а величину промежуточного главного напряжения будем искать как ${\sigma }_2={\sigma }_3+k({\sigma }_1-{\sigma }_3)$. Таким образом, параметр k определяет степень отличия действующего напряженного состояния от традиционного одноосного сжатия с боковым подпором. При k = 0 представительный объем подвергается одноосному сжатию с боковым подпором (${\sigma }_1>{\sigma }_2={\sigma }_3$, схема Кармана), при k = 1 – обобщенному трехосному сжатию (${\sigma }_1={\sigma }_2>{\sigma }_3$, схема Беккера), при k ∈ (0, 1) – непропорциональному трехосному сжатию.

В табл. 1 представлены материальные параметры и параметры нагружения, использованные для расчета деформаций и решения задачи оптимизации (3.3). Критический параметр ${\xi }_o$, отвечающий за рост поврежденности, для заданного угла внутреннего трения и упругих свойств в соответствии с (2.4) равен ${\xi }_o$ = -0.87. Будем искать оптимальные углы наклона зоны локализованной поврежденности для минимального главного напряжения ${\xi }_o$ = 50 МПа, а максимальное главное напряжение ${\sigma }_1$ для фиксированной величины параметра k найдем из условия начала роста поврежденности $\xi ={\xi }_o$. Для принятых материальных параметров угол Кулона–Мора, определяющий ориентацию зоны локализованной поврежденности в случае k = 0, составляет $\theta$_СМ = ±27°.

 

Таблица 1. Материальные параметры и параметры нагружения

Упругие модули, ГПа			Угол внутреннего трения, град.	Критический параметр	Минимальное главное напряжение, МПа
$\lambda$0	$\mu$0	$\gamma$0	$\phi$	$\xi$0	$\sigma$3
30.0	30.0	33.95	36	–0.87	–50

 

На рис. 3 представлены зависимости функционала $f(k, \theta , \beta )$ от углов ориентации зоны локализованной поврежденности $\theta$, $\beta$ при $\alpha$ = 0.1 для различных значений параметра k. Приведенные зависимости нормированы на свое максимальное значение, так как нас интересует положение локальных максимумов на плоскости $(\theta , \beta )$, а не их абсолютная величина.

 

Рис. 3. Зависимость функционала $f(k, \theta , \beta )$ от углов ориентации зоны локализованной поврежденности $\theta$, $\beta$ для параметра k = 0 (а), k = 0.5 (b), k = 1 (c).

 

Видно, что в случае традиционного трехосного сжатия (k = 0) величина функционала $f(k, \theta , \beta )$ в общем, и его максимальное значение в частности, не зависят от угла $\beta$ (рис. 3, а). Этот результат закономерен и вызван цилиндрической симметрией приложенных к представительному объему напряжений. При k > 0 имеет место периодическое изменение величины $f(k, \theta , \beta )$ с ростом угла $\beta$(рис. 3, b, c). Для всех значений k > 0 период составляет $\pi n, n$ = 0, 1, ... . Таким образом, в случае истинного трехосного сжатия зона локализованной поврежденности ориентирована квазинормально к направлению действия минимального главного напряжения ${\sigma }_3$. Необходимо отметить, что для любой величины параметра k функционал $f(k, \theta , \beta )$ имеет локальные максимумы, расположенные симметрично относительно линии $\theta$ = 0 (соответствующей плоскости нормальной к направлению действия минимального главного напряжения ${\sigma }_3$). Поэтому далее будем рассматривать только интервал $\theta$ ∈ [0, $\pi$/2], подразумевая наличие симметричного решения.

Ориентация зоны локализованной поврежденности в плоскости XZ определяется углом $\theta$, который при k = 0 близок в углу Кулона–Мора, а при k > 0 смещается в сторону вертикально ориентированной зоны ($\theta$ = 0°). Это тенденция отчетливо видна на зависимости нормированного на свое максимальное значение функционала $f(k, \theta , 0)$ при $\beta$ = 0° от угла q для различных значений параметра k (рис. 4). Если для кривой k = 0.5 смещение максимума зависимости относительно кривой k = 0 незначительное, то для кривой k = 0 угол $\theta$, доставляющий функционалу $f(k, \theta , 0)$ максимальное значение, почти в 2 раза меньше угла $\theta$ для кривой k = 0.

 

Рис. 4. Зависимость нормированного функционала $f(k, \theta , \beta )$ при $\beta$ = 0°от угла $\theta$ для различных значений параметра k.

 

На рис. 5 представлены зависимости угла $\theta$, доставляющего максимальное значение функционалу $f(k, \theta , 0)$, от параметра k для различного уровня поврежденности в зоне. При $\alpha$ = 0.1 в случае k = 0, как было указано ранее, оптимальный угол наклона $\theta$ зоны локализованной поврежденности в плоскости XZ, совпадает c углом Кулона–Мора и уменьшается с ростом параметра k вплоть до 15° (55% от угла Кулона–Мора).

 

Рис. 5. Зависимость угла $\theta$_max, доставляющего максимальное значение функционалу$f(k, \theta , 0)$, от параметра k для двух значений параметра поврежденности $\alpha$ (черная линия соответствует углу Кулона–Мора).

 

С уменьшением величины поврежденности в тонком слое наблюдается смещение при k = 0 оптимального угла его наклона $\theta$_max в область меньших значений и более существенная (по сравнению с a = 0.1) его деградация с ростом параметра k. Так при $\alpha$ = 0.025 в случае одноосного сжатия с боковым подпором (k = 0) оптимальный угол $\theta$_max доставляющий максимум функционалу $f(k, \theta , 0)$ равен 25.5°, а при k = 1 эта величина равна $\theta$_max = 10°.

3.3. Обсуждение результатов. В результате решения задачи максимизации (3.3) найдены оптимальные углы $\theta и \beta$ наклона зоны локализованной поврежденности для различных значений параметра k, определяющих вариацию промежуточного главного напряжения от минимального до максимального главного напряжения. Важно отметить, что значения функционала $f(k, \theta , \beta )$ близкие к его максимуму имеют место для некоторого интервала изменения каждого из углов. С точки зрения максимальной скорости поврежденности это означает, что в лабораторных экспериментах по деформированию горных пород может наблюдаться вариация в некоторых пределах ориентации зоны локализованной поврежденности. При этом конкретная ориентация зоны разрушения будет определяться, помимо соотношений главных напряжений, минеральным строением и имеющимися в образцах дефектами сплошности.

Для учета этого обстоятельства примем за возможные оптимальные углы ориентации зоны локализованной поврежденности интервалы их изменения, для которых значение функционала $f(k, \theta , \beta )$ варьируется относительно глобального максимума в пределах ±1%. Оптимальное решение для двух предельных случаев ${\sigma }_2={\sigma }_3 и {\sigma }_1={\sigma }_2$ представлено на рис. 6. В случае одноосного сжатия с боковым подпором (k = 0) зона локализованной поврежденности ориентирована в плоскости XZ (относительно направления действия максимального главного напряжения) под углом Кулона–Мора $\theta$_CM ± 5° и произвольным углом ориентации $\beta$ относительно направления действия промежуточного главного напряжения (ввиду цилиндрической симметрии) (рис. 6, а). В случае, когда максимальное и промежуточное главные напряжения совпадают (k = 1) оптимальными ориентациями зоны локализованной поврежденности являются $\theta$ ∈ [0°, 25°] и $\beta$ = 0° ± 20°. Необходимо отметить, что полученное для k > 1 решение для углов $\theta и \beta$ соответствует экспериментально наблюдаемым данным. Так в экспериментах по истинному трехосному сжатию песчаника Darley Dale было показано, что в процессе деформирования происходит формирование зоны повышенной трещиноватости, ориентированной перпендикулярно направлению оси минимального главного напряжения (угол $\beta$) с отклонением не более ±18° [8].

 

Рис. 6. Схематичное изображение оптимальных углов ориентации зоны локализованной поврежденности для случая k = 0, ${\sigma }_2={\sigma }_3$ (а), k = 1, ${\sigma }_1={\sigma }_2$ (b).

 

В результате решения задачи поиска оптимальной ориентации зоны поврежденности в хрупком твердом теле при истинном трехосном сжатии показано, что с ростом величины промежуточного напряжения ${\sigma }_2$ наблюдается уменьшение угла ее наклона относительно направления действия максимального главного напряжения (рис. 5). Другими словами, с ростом промежуточного главного напряжения зона локализованной поврежденности стремится к вертикальной ориентации, субнормальной к направлению действия минимального главного напряжения. При этом амплитуда изменения угла $\theta$_max при вариации промежуточного напряжения ${\sigma }_2$ от ${\sigma }_3$ к ${\sigma }_1$ зависит от величины поврежденности в зоне, но не превышает 15°–20°. Данные результаты качественно и количественно совпадают с результатами экспериментов по истинному трехосному сжатию горных пород. Так, в работе [62] при испытаниях кубических образцов гранита при различных вариациях величины промежуточного главного напряжения показано, что разброс значений между минимальным и максимальным углом разрушения не превышает 22°, при его уменьшении с ростом величины ${\sigma }_2$.

Соотношение сдвиговых компонент тензора напряжений в плоскости зоны локализованной поврежденности определяет направление действия сдвигового усилия, что в свою очередь позволяет определить направление возможной сдвиговой подвижки и охарактеризовать кинематический тип этой зоны. Для выбранной геометрии направление сдвига будет определяться значением и знаком компонент $\sigma$_xz и $\sigma$_yz. На рис. 7 представлены карты направлений сдвига в плоскости зоны локализованной поврежденности в диапазоне допустимых углов ориентации $\theta и \beta$ для двух значений параметра k. Видно, что для большого диапазона изменения углов $\theta и \beta$ зона локализованной поврежденности характеризуется сбросовым характером смещения блоков рассматриваемого представительного объема, которые она разделяет. Для больших значений угла $\beta$ возможна реализация горизонтального сдвига блоков, и сбросо-сдвиговых смещений, как промежуточного режима сдвига блоков относительно друг друга. При этом интервал изменения углов $\theta и \beta$, соответствующих горизонтальному сдвигу, с ростом величины k также увеличивается (рис. 7, а, b).

 

Рис. 7. Карты направления сдвига (I – сдвиг, II – сбросо-сдвиг, III – сброс) в плоскости зоны локализованной поврежденности для различных углов ее ориентации при k = 0.5 (a) и k = 1 (b) (точками указаны рассматриваемые случаи ориентаций зоны локализованной поврежденности).

 

На рис. 8 представлены схемы смещений блоков для предельного случая равенства максимального и промежуточного главных напряжений (k = 1) для трех пар углов $\theta и \beta$, отмеченных на рис. 7 как A₁, A₂ и A₃.

 

Рис. 8. Схемы сдвиговых смещений блоков среды по плоскости зоны локализованной поврежденности для случая A₁ (сброс), A₂ (сбросо-сдвиг) и A₃ (горизонтальный сдвиг).

 

Направление подвижки в этом случае зависит от соотношения величины углов $\theta и \beta$. Так при $\beta$ < 0.94q + 0.106 имеет место сбросовый режим смещения блоков по плоскости зоны локализованной поврежденности, характеризующийся вертикальным сдвигом одного блока относительно другого (рис. 8, A₁). В случае $\beta$ ≈ 0.94q + 0.106, характеризующимся, с одной стороны, малыми значениями угла $\theta$ (квазивертикальная ориентация зоны в плоскости XZ), а с другой стороны, большими значениями угла $\beta$ (выход зоны из плоскости YZ), будет наблюдаться горизонтальный сдвиг одного блока относительного другого (рис. 8, A₃). В свою очередь, при $\beta$ ≈ 0.94q + 0.106 будет иметь место промежуточный смешанный сбросово-сдвиговой режим смещения блоков относительно друг друга (рис. 8, A₂). В случаях A₂ и A₃ направление горизонтального сдвига (правый или левый сдвиг) будет определяться взаимной ориентацией зоны локализованной поврежденности и направлением действия промежуточного главного напряжения ${\sigma }_2$ ($\beta$ > 0 – левый сдвиг, $\beta$ < 0 – правый сдвиг). Соответственно, на рис. 8 (случай A₃) представлен левый сдвиг.

4. Заключение. В работе представлено решение задачи определения оптимальной ориентации зоны локализованной поврежденности в хрупком твердом теле при истинном трехосном сжатии. Близость промежуточного главного напряжения к максимальному главному напряжению определяется скалярным параметром k, меняющимся от 0 (схема Кармана, минимальное и промежуточные главные напряжения равны) до 1 (схема Беккера, промежуточное и максимальное главные напряжения равны). Предполагается, что зона локализованной поврежденности представляет собой тонкий слой ослабленного материала, деградация упругих свойств которого описывается скалярным параметром поврежденности. Напряженно-деформированное состояние ослабленной зоны описывается моделью нелинейной упругости академика РАН В.П. Мясникова с модулями упругости, линейно зависящими от скалярного параметра поврежденности, тогда как окружающий зону материал принимается линейно-упругим изотропным.

Согласно модели В.П. Мясникова упругие свойства ослабленной зоны зависят от вида напряженно-деформированного состояния, а рост параметра поврежденности контролируется параметром вида напряженно-деформированного состояния, представляющего собой отношение двух инвариантов тензора деформации. Ориентация зоны локализованной поврежденности описывается двумя углами: между зоной и направлением действия максимального главного напряжения, между зоной и направлением действия промежуточного главного напряжения. Под оптимальной ориентацией зоны локализованной поврежденности понимается пара углов, доставляющая локальный максимум правой части кинетического уравнения для параметра поврежденности. Решение задачи максимизации осуществлялось при варьировании управляющих параметров: параметра k, характеризующего близость промежуточного главного напряжения к максимальному главному напряжению, величины поврежденности в ослабленной зоне.

В результате решения поставленной задачи установлено, что, с одной стороны, в независимости от величины k решение симметрично относительно линии, соответствующей плоскости нормальной к направлению действия минимального главного напряжения. С другой стороны, при k > 0 локальные максимумы имеют периодическое по второму углу расположение с периодом $\pi$n, n = 0, 1, ... . При k = 0 зона локализованной поврежденности ориентирована в плоскости XZ под углом близким к углу Кулона–Мора. Степень близости определяется величиной параметра поврежденности. При этом в плоскости XY ее ориентация может быть произвольной в виду цилиндрической симметрии приложенных напряжений. С ростом параметра k зона локализованной поврежденности стремится к вертикальному положению, ортогональному к направлению действия минимального главного напряжения.

Принимая во внимание обстоятельство, что в природе конкретная ориентация зоны разрушения хрупкого материала будет определяться, помимо соотношений главных напряжений, минеральным строением и имеющимися априори дефектами сплошности, были определены интервалы изменения углов ориентации зоны, обеспечивающих близкую (отличие не превосходит 1%) максимальную скорость роста поврежденности. На основе анализа соотношения величин сдвиговых компонент тензора напряжений в плоскости зоны локализованной поврежденности показано, что в зависимости от величины параметра k, и соотношения углов ориентации зоны, может быть реализован один из трех типов смещений: сброс, горизонтальный сдвиг и сбросо-сдвиг. Полученные теоретические решения качественно и количественно совпадают с результатами экспериментов по истинному трехосному сжатию горных пород, опубликованных в российской и зарубежной литературе.

Благодарности. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского научного фонда в рамках научного проекта (№19-77-30008).

About the authors

I. A. Panteleev

Institute of Continuous media Mechanics UR RAS

Author for correspondence.
Email: pia@icmm.ru
Russian Federation, Perm

D. V. Lozhkin

Institute of Continuous media Mechanics UR RAS

Email: lozhkin.d@icmm.ru
Russian Federation, Perm

V. A. Lyakhovsky

Geological Survey of Israel

Email: vladimir.lyakhovsky@gmail.com
Israel, Jerusalem

References

Supplementary files