On nonstationary contact problems for anisotropic composites in nonclassical areas

Мұқаба

Дәйексөз келтіру

Толық мәтін

Аннотация

For the first time, an exact solution is given to the contact problem of the non-stationary action of a wedge-shaped, right-angled stamp occupying the first quadrant, which act on a deformable multilayer base. The base, which is affected by a rigid stamp in the shape of a quarter plane, can be a multilayer anisotropic composite material. It is assumed that it is possible to construct a Green’s function for it, which makes it possible to construct an integral equation of the contact problem. The geometric Cartesian coordinates of the first quadrant and the time parameter, which varies along the entire axis, are taken as parameters describing the integral equation. It is assumed that time in the boundary value problem under consideration follows from negative infinity, crosses the origin and grows to infinity, covering the entire time interval. Thus, there is no requirement in the formulation of the Cochet problem when it is necessary to set initial conditions. In this formulation, the problem is reduced to solving the three-dimensional Wiener-Hopf integral equation. The authors are not aware of any attempts to solve this problem analytically or numerically. The investigation and solution of the contact problem was carried out using block elements in a variant applicable to integral equations. It is proved that the constructed solution exactly satisfies the integral equation. The properties of the constructed solution are studied. In particular, it is shown that the solution of the non-stationary contact problem has a higher concentration of contact stresses at the edges of the stamps and at the angular point of the stamp, compared with a static case. This corresponds to the observed in practice more effective non-stationary effect of rigid bodies on deformable media, for their destruction, compared with static. The results may be useful in engineering practice, seismology, in assessing the impact of incoming waves on foundations, in the areas of using Wiener-Hopf integral equations in probability theory and statistics, and other areas.

Толық мәтін

Введение. Смешанные задачи, в том числе, контактные задачи, играют важную роль в самых разных областях практики. Они возникают в проблемах прочности и разрушения [1], распространения волн в упругих телах [2], акустике [3], неразрушающих методах контроля [4], теории рассеивания электро-магнитных волн и создании элементной базы электроники [5], теории волн в жидкости [6, 7], геофизике [8]. Работы [9–21] посвящены исследованиям смешанных, контактных задач теории упругости для неклассических областей, как для изотропных сред, так и для анизотропных материалов. Применяемые в этих работах методы включают разнообразие аналитических и численных подходов. Ряд этих подходов, опирающихся на метод интегральных уравнений, требует достаточно детального анализа свойств ядер интегральных уравнений. В то же время разработки и внедрение в инженерную практику новых анизотропных композитов, делает ряд перечисленных подходов не эффективными, что показано ниже. Развитый в [22] метод точного решения двумерного интегрального уравнения Винера–Хопфа для изотропной слоистой среды существенно опирался на глубокие знания свойств символа ядра интегрального уравнения, функцию K(a,β) преобразования Фурье ядра, который, в случае слоистой среды, является мероморфным. Покажем, что в случае анизотропной среды, такой метод не применим в связи с непреодолимыми сложностями, возникающими при попытке применения метода изотропного случая [22]. В качестве примера приводится случай анизотропной контактной задачи для термоэлектроупругого слоя [14].

Уравнения состояния имеют вид

σy=cyklE,θskleykθEkλyEθ,di=eiklθskl+εys,θEj+ρiSθ,η=λijEsy+ρiSEi+αθ.

Здесь σ – тензор напряжений; cijklE,θ – тензор упругих постоянных; Sij – тензор деформаций упругой среды; Ei – компоненты вектора напряженности электрического поля; θ=TT0;θ,TиT0 – соответственно относительная, абсолютная и начальная температура; η – плотность энтропии; di – компоненты вектора электрической индукции; ekijθ – тензор пьезомодулей; εijS,θ – тензор диэлектрических проницаемостей; PiS – пироэлектрические коэффициенты; α=ρcεET01;CεE – удельная теплоемкость при постоянной деформации; P – плотность материала.

Исключая из приведенных соотношений все переменные, кроме Wi,Ψ,θ, получаем систему динамических анизотропных уравнений в частных производных вида

cijkl2wkõiõi+ekij2ψõkõjλijθõj+Fi=ρ2wi ​t2,eik2wkõiõiεik2ψõkõi+ρiθõi=0,i,   j,   k,   =1,  2,  3,kij2θõiõi+W=T0tλijwiõjρiψõi+αθ.

Вид функции Грина приведен в [14] и совершенно не доступен для построения разложения символа интегрального уравнения Винера–Хопфа K(a,β), в форме, использованной в [22].

Тем не менее разработанные в [22] методы решения двумерных интегральных уравнений Винера–Хопфа для изотропного случая подсказали вид и способ построения решения трехмерного интегрального уравнения Винера-Хопфа для анизотропных композитов. В связи с этим был разработан подход, который обходит необходимость детального изучения символа K(a,β) интегрального уравнений. Он использует блочные элементы и метод факторизации применительно к интегральным уравнениям.

Область действия штампа описывается осями x, y первого квадранта декартовой системы координат, а параметр времени, изменяющейся на всей бесконечной оси, описывается координатой t, которая, в дальнейшем, для удобства обозначений системы координат, будет переобозначена на z. Таким образом, область действия штампа описывается геометрической и временной областью Ω(0x,0y,0t).

...Ниже приводится аналитическое представление решения интегрального уравнения Винера–Хопфа в трехмерной геометрико-временной постановке в области Ω(0x,0y,0t).  Здесь рассмотрен случай произвольного во времени воздействия штампа на анизотропный композит в первом квадранте на основе нового подхода.

  1. Постановка задачи. Рассматривается трехмерное интегральное уравнение Винера-Хопфа, заданное в первом квадранте [22]. Оно имеет вид

Κq=000k(xξ,yη,zζ)q(ξ,η,ζ)dξdηdζ=f(x,y,z),k(x,y,z)=18π3Γ1Γ2Γ3K(α,β,γ)ei(αx+βy+γz)dαdβdγ,0x,0y,0z,zt,Q(α,β,γ)=000q(ξ,η,ζ)ei(αξ+βη+γζ)dξdηdζ,F(α,β,γ)=000f(ξ,η,ζ)ei(αξ+βη+γζ)dξdηdζ. (1.1)

ФункцияK(a,β,γ), в общем случае комплекснозначная, порождается решением анизотропной граничной задачи в многослойной среде, является непрерывной и суммируемой на осях по трем аргументам, с поведением на бесконечности вида.

K(α,β,γ)=O(α1),  β= const,  γ= const,  K(α,β,γ)=O(β1),  α= const,  γ= const.K(α,β,γ)=O(γ1),  α= const,  β= const,  α,β,γ.(1.2)

Примеры материалов, имеющих анизотропную структуру, в том числе, композитных, приведены во многих работах, в частности в [9–21].

Для интегрального уравнения (1.1) справедливы теоремы единственности [14].

Теорема 1. Пусть вещественная или мнимая составляющие функции K(a,β,γ) знакопостоянные на вещественных осях (a,β,γ). Тогда интегральное уравнение (1.1) имеет единственное решение.

Для случая динамических контактных задач справедлива приведенная ниже теорема единственности [14]

Теорема 2. Пусть вещественные полюсы функции K(a,β,γ) последовательно чередуются с нулями при движении по контурам Г1, Г2, Г3. Тогда интегральное уравнение (1.1) имеет единственное решение.

Доказана.

Теорема 3. В условиях единственности, решение интегрального уравнения (1.1) для произвольной с непрерывной и суммируемой на осях первой производной функции f (x,y,z) дается формулой

q(x,y,z)=18π3Q(α,β,γ)ei(αx+βy+γz)dαdβdγ. (1.3)

Здесь приняты обозначения [14]

Q1(a,b,g)=K-1F-K+a-1{K-a-1F}-a-K+a+b-1{K+a-b-1{K-a-1F}+a}-b-    (1.4)

-K+a+b+g-1{K+a+b-g-1{K+a-b-1{K-a-1F}+a}+b}-g,

Q2(a,b,g)=K-1F-K+b-1{K-b-1F}-b-K+b+g-1{K+b-g-1{K-b-1F}+b}-g-

-K+b+g+a-1{K+b+g-a-1{K+b-g-1{K-b-1F}+b}+g}-a,

Q3(a,b,g)=K-1F-K+g-1{K-g-1F}-g-K+g+a-1{K+g-a-1{K-g-1F}+g}-a-

-K+g+a+b-1{K+g+a-b-1{K+g-a-1{K-g-1F}+g}+a}-b,

Q(a,b,g)=13Q1(a,b,g)+Q2(a,b,g)+Q3(a,b,g).

Операторы в фигурных скобках имеют вид

G(α,β,γ)+α=12πiΓ1G(ξ,β,γ)ξαdξ,αΠα+,   (1.5)

G(α,β,γ)α=12πiΓ1G(ξ,β,γ)ξαdξ,αΠα,

G(α,β,γ)+β=12πiΓ2G(α,η,γ)ηβdη,  βΠβ+,  

G(α,β,γ)β=12πiΓ2G(α,η,γ)ηβdη,  βΠβ,

G(α,β,γ)+γ=12πiΓ3G(α,β,ζ)ζγdζ,  γΠγ+,  

G(α,β,γ)γ=12πiΓ3G(α,β,ζ)ζγdζ,  γΠγ,

K+α(α,β,γ)=exp12πiΓ1lnK(ξ,β,γ)ξαdξ,  αΠα+,

Kα(α,β,γ)=exp12πiΓ1lnK(ξ,β,γ)ξαdξ,  αΠα,

K+β(α,β,γ)=exp12πiΓ2lnK(α,η,γ)ηβdη,  βΠβ+,

K-β(α,β,γ)=exp12πiΓ2lnK(α,η,γ)ηβdη,  βΠβ,

K+γ(α,β,γ)=exp12πiΓ3lnK(α,β,ζ)ζγdζ,  γΠγ+,

Здесь Па+,Па- – комплексные области выше, плюс, и ниже, минус, контура Г1,Пβ+,Пβ- – области выше, плюс, и ниже, минус, контура Г2,Пγ+,Пγ- – области выше, плюс, и ниже, минус, контура Г3.

Удовлетворение построенного решения (1.3) интегральному уравнению (1.1) осуществляется достаточно просто подстановкой его в интегральное уравнение и учета свойств факторизованных функций (1.4) в интеграле Фурье.

  1. Свойства решения (1.3) интегрального уравнения (1.1). 1. Покажем, что интегральное уравнение (1.1) точно удовлетворяется функцией (1.3), (1.4).

Внесем функцию q(x, y, z) в интегральное уравнение (1.1), представленное в виде

Kq=18π3000K(α,β,γ)ei[α(xξ)+β(yη)+γ(zζ)]q(ξ,η,ζ)dξdηdζdαdβdγ=f(x,y,z).

После использования обозначений (1.1) получим представление

Kq=18π3K(α,β,γ)Q(α,β,γ)ei(αx+βy+γz)dαdβdγ=f(x,y,z).

Внесем в эту формулу Q(α,β,γ) из (1.4) и исследуем интеграл слева. В результате не сложного анализа исключения членов, обращающих интеграл в ноль, убеждаемся, что получается соотношение

Kq=18π3F(α,β,γ)ei(αx+βy+γz)dαdβdγ=f(x,y,z).

Применение метода факторизации и блочного элемента доказывает, что носителем решения является первый квадрант.

  1. Покажем, что полученное решение (1.3) переходит в точное решение интегрального уравнения (1.1) для случая, когда уравнение (1.1) распадается на одномерные уравнения, решаемые традиционным одномерным методом уравнений Винера–Хопфа [5]. Это происходит, когда в ядре интегрального уравнения (1.1) имеет место разделение переменных, то есть k(x, y, z) = = k1(x)2(y)k3(z). Оно случается при наличии у преобразования Фурье ядра K(α,β,γ), называемого символом интегрального уравнения, со свойством K(α,β,γ)=K1(α)K2(β)K3(γ). Выполняя над символом требуемые формулой (1.4) вычисления, находим, что все двойные операции над K1(α)K2(β) и K3(γ) обращаются в ноль. Остаются решения одномерных интегральных уравнений Винера–Хопфа по каждой координате.
  2. Исследуем концентрации контактных напряжений на разных множествах границы штампа, даваемых полученным решением.

1) В решениях, представленных формулой (1.4), первые справа члены формируют вырожденную составляющую решения, описывающую его в зоне, дальней от границ четверть плоскости. Поэтому оно не содержит концентраций напряжений. Заметим, что вырожденная составляющая формируется поровну каждой из осей.

2) Вторые члены содержат граничные концентрации напряжений, свойственные одномерным интегральным уравнениям Винера–Хопфа [14].

Подобно одномерному случаю [14], они дают на прямолинейных границах штампа особенности вида x -1/2, y -1/2 и z -1/2.

3) Третьи члены описывают концентрацию напряжений в угловой точке штампа, которая свойственна статической двумерной контактной задаче, без нестационарного воздействия. Она формируется в результате оценки интеграла

q0(x,y,z)=18π3[K+α+β1{K+αβ1{Kα1F}+α}β]ei(αx+βy+γz)dαdβdγ (2.1)

при одновременном предельном переходе x → 0, y → 0, z → 0.

В качестве примера покажем правило формирования первого члена подынтегральной функции для случая, когда взят простейший анизотропный символ K(α,β,γ), обладающий свойством (1.2), имеющий вид

K(α,β,γ)=(α2+s1β2+s2γ2+A2)12,  A>0,s1,s2=const.

Для общего случая его оказывается достаточно, так как он содержит такие же предельные поведения (1.2) на бесконечности. При осуществлении факторизации по какому-нибудь параметру, остальные находятся на вещественной оси. Факторизовав функцию K(α,β,γ) по параметру a на верхнюю полуплоскость, получаем

K+α(α,β,γ)=[α+i(s1β2+s2γ2+A2)12]12=O(α12)A>0.

Факторизацию функции K+α(α,β,γ) по параметру β на правую комплексную полуплоскость можно выполнить точно, в интегральном виде, нормализовав K+α(α,β,γ) по β на бесконечности. Для этого рассмотрим функцию, стремящуюся к единице при β. Имеем

G(α,β,γ)=i(β2+c2)14K+α(α,β,γ)1,β,c=s11(s2γ2+A2),

отсюда по формуле факторизации из (1.5)

K+α+β(α,β,γ)=(β+ic)14exp12πiΓ2lnG(α,η)ηβdη,βΠβ+.

В результате получаем оценку

K+α+β(α,β,γ)C(β+ic)14=O(β14),β.

Совершенно аналогично оцениваются другие члены со второй факторизацией. Внося эти оценки в (2.1), получим, в результате несложного анализа

q0(x,y,z)=O(r34),r=x2+y2+z2.

Заметим, что этот результат близок к вычисленному приближенным методом в работе [17].

4) Поведение четвертых членов в (1.4) изучается подобно третьим, но уже осуществляется третья факторизация по не тронутому параметру, в частность, по параметру γ. В результате таких же вычислений, получаем

K+α+β+γ(α,β,γ)=O(γ18).

Аналогично для других членов с тройной факторизацией. Суммировав особенности по всем трем осям, сходящимся в угловой точке штампа, в результате получаем описание концентрации контактных напряжений в вершине штампа, которая имеет вид

q(x,y,z)=O(r78),r=x2+y2+z20.

Сопоставляя варианты 3) и 4) заключаем, что наличие не стационарного воздействия на штамп – увеличивает величину концентрацию контактных напряжений в вершине штампа до уровня r -7/8, в сравнении с r -3/4 и, тем самым, усиливает его разрушительное воздействие на слой.

Последнее наблюдается на практике: подвижным ножом легче разрезать деформируемую среду, чем при статическом давлении на нож.

Выводы. Полученное решение трехмерного интегрального уравнения Винера–Хопфа, имеет приложение в сейсмологии. Выявлен наиболее опасный участок граница литосферной плиты – угловые множества, а также наиболее уязвимые зоны фундаментов – они в углах его площади. Кроме этого, полученный результат может найти применения в довольно многочисленных примерах приложений одномерного интегрального уравнения Винера–Хопфа, приведенных во введении к настоящей статье, в частности, при конструировании объектов из анизотропных композитов, где возникают такие контактные задачи. Возможно, результат окажется полезным и в других областях.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда и Кубанского научного фонда, региональный проект 24-11-20006.

×

Авторлар туралы

V. Babeshko

Kuban State University

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: babeshko41@mail.ru
Ресей, Krasnodar, 350040

O. Evdokimova

Southern Scientific Center, Russian Academy of Sciences

Email: babeshko41@mail.ru
Ресей, Rostov-on-Don, 344006

S. Uafa

Kuban State University

Email: babeshko41@mail.ru
Ресей, Krasnodar, 350040

V. Evdokimov

Kuban State University

Email: babeshko41@mail.ru
Ресей, Krasnodar, 350040

O. Babeshko

Kuban State University

Email: babeshko41@mail.ru
Ресей, Krasnodar, 350040

Әдебиет тізімі

  1. Freund L.B. Dynamic Fracture Mechanics. Cambridge, UK. Cambridge University Press. 1998. p. 520
  2. Achenbach J.D. Wave propagation in Elastic Solids. North-Holland Series in Applied Mathematics and Mechanics. Amsterdam: North-Holland. 1973. p. 480
  3. Abrahams I.D. & Wickham G.R. General Wiener-Hopf factorization matrix kernels with exponential phase factors // Journal of Applied Mathematics. 1990. 50. P. 819–838.
  4. Norris A.N. & Achenbach J.D. // Elastic wave diffraction by a semi infinite crack in a transversely isotropic material // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1984. 37. P. 565–580.
  5. Noble B. Metod Vinera-Hopfa [The Wiener-Hopf method]. M.: Ill. 1962. 280 p.
  6. Tkacheva L.A.Ploskaa zadacha o vibrasii plavaushei uprugoi plastini pod deistviem periodicheskoi vneshnei nagruzki [The planar problem of vibrations of a floating elastic plate under the action of periodic external load] // Applied mechanics and technical physics. 2004. Vol. 45. No. 5 (273). pp. 136–145. (In Russian)
  7. Chakrabarti A., George A.J. Solution of a singular integral equation involving two intervals arising in the theory of water waves // Applied Mathematics Letters. 1994. 7. P. 43–47.
  8. Davis A.M.J. Continental shelf wave scattering by a semi-infinite coastline // Geophysics, Astrophysics, Fluid Dynamics. 1987. 39. P. 25–55.
  9. Goryacheva I.G. Mehanika friksionnogo vzaimodeistvia [Mechanics of frictional interaction]. – M.: Nauka, 2001. – 478 p. (In Russian)
  10. Goryacheva I.G., Meshcheryakova A.R. Modelirovanie nakoplenia kontaktno-ustalostni povrejdenii I isnashivania v kontakte ne idealno gladkih poverhnostei [Modeling of accumulation of contact fatigue damage and wear in contact of imperfectly smooth surfaces]. // Physical mesomechanics. 2022. Vol. 25. No. 4. pp. 44–53. (In Russian).
  11. Bazhenov V.G., Igumnov L.A. Metodi granichnih integralnih uravneni I granichnih elementov [Methods of boundary integral equations and boundary elements.] M.: Physical education, 2008. 352 p. (In Russian).
  12. Kalinchuk V.V., Belyankova T.I. Dinamika poverhnosti neodnorodnogo [Dynamics of the surface of inhomogeneous media.] Fizmatlit, 2009. 312 p. (In Russian).
  13. Kalinchuk V.V., Belyankovat I. Dinamicheskie kontaktnie zadachi v prednapragennih telah [Dynamic contact problems for prestressed bodies]. Fizmatlit, 2002. – 240 p. (In Russian).
  14. Vorovich I.I., Babeshko V.A., Pryakhina O.D. Dinamika massivnih tel I resonansnie iavlenia v deformiruemih sredah [Dynamics of massive bodies and resonant phenomena in deformable media] / M., Nauka 1999. 246 p. (In Russian).
  15. Vatulyan A.O. Kontaktnie zadachi so ssepleniem dla anisotropnogo sloia [Contact problems with coupling for an anisotropic layer.] // Applied Mathematics and Mechanics. 1977. Vol. 41. v. 4. C. 727–734. (In Russian).
  16. Kolesnikov V.I., Belyak O.A. Matematicheskoe modelirovanie I exsperementalnie issledovania-osnovadla poluchenia heterogennih antifriksionnih materialov [Mathematical models and experimental studies – the basis for the design of heterogeneous antifriction materials]. M.: Fizmatlit, 2021. 265 p. (In Russian).
  17. Babeshko V.A., Glushkov E.V., Zinchenko J.F. Dinamika neodnorodnoi lineino uprugoi sredi [Dynamics of inhomogeneous linear elastic media]. M.: Nauka, 1989. 344 p. (In Russian).
  18. Christensen R. Vvedenie v mehaniku kompozitov [Introduction to the mechanics of composites]. Moscow: Mir. 1982. 335 p. (In Russian).
  19. Kushch V.I. Micromechanics of composites: multipole expansion approach. – Oxford; Waltham: Elsevier Butterworth-Heinemann. 2013. 489 p.
  20. McLaughlin R. A study of the differential scheme for composite Materials // International Journal of Engineering Science. 1977. Vol. 15. P. 237–244.
  21. Garces G., Bruno G., Wanner A. Load transfer in short fibre reinforced metal matrix composites // Acta Materialia. 2007. Vol. 55. P. 5389–5400.
  22. Babeshko V.A., Evdokimova O.V., Babeshko O.M. Tochnoe reshenie universalnim metodom modelirovania kontaktnoi zadachi v chetverti ploskosti mnogosloinoi sredi [The exact solution by a universal method of modeling a contact problem in a quarter plane of a multilayer medium.] // Applied Mathematics and Mechanics. 2022. Vol. 86. № 5. P. 628–637. https://doi.org/10.31857/S0032823522050046 (In Russian)

Қосымша файлдар

Қосымша файлдар
Әрекет
1. JATS XML

© Russian Academy of Sciences, 2024

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».