О нестационарных контактных задачах для анизотропных композитов в неклассических областях

Полный текст

Введение. Смешанные задачи, в том числе, контактные задачи, играют важную роль в самых разных областях практики. Они возникают в проблемах прочности и разрушения [1], распространения волн в упругих телах [2], акустике [3], неразрушающих методах контроля [4], теории рассеивания электро-магнитных волн и создании элементной базы электроники [5], теории волн в жидкости [6, 7], геофизике [8]. Работы [9–21] посвящены исследованиям смешанных, контактных задач теории упругости для неклассических областей, как для изотропных сред, так и для анизотропных материалов. Применяемые в этих работах методы включают разнообразие аналитических и численных подходов. Ряд этих подходов, опирающихся на метод интегральных уравнений, требует достаточно детального анализа свойств ядер интегральных уравнений. В то же время разработки и внедрение в инженерную практику новых анизотропных композитов, делает ряд перечисленных подходов не эффективными, что показано ниже. Развитый в [22] метод точного решения двумерного интегрального уравнения Винера–Хопфа для изотропной слоистой среды существенно опирался на глубокие знания свойств символа ядра интегрального уравнения, функцию $K(a,\beta )$ преобразования Фурье ядра, который, в случае слоистой среды, является мероморфным. Покажем, что в случае анизотропной среды, такой метод не применим в связи с непреодолимыми сложностями, возникающими при попытке применения метода изотропного случая [22]. В качестве примера приводится случай анизотропной контактной задачи для термоэлектроупругого слоя [14].

Уравнения состояния имеют вид

$\begin{array}{c}{\sigma }_y=c_{ykl}^{E,\theta }{s}_{kl}-e_{yk}^{\theta }{E}_k-{\lambda }_y^E\theta ,\\ d_i=e_{ikl}^{\theta }{s}_{kl}+{\epsilon }_y^{s,\theta }{E}_j^{}+{\rho }_i^S\theta ,\\ \eta ={\lambda }_{ij}^E{s}_y+{\rho }_i^S{E}_i+\alpha \theta .\end{array}$

Здесь $\sigma$ – тензор напряжений; $c_{ijkl}^{E,\theta }$ – тензор упругих постоянных; $S_{ij}^{}$ – тензор деформаций упругой среды; E_i – компоненты вектора напряженности электрического поля; $\theta =T–T_0;\theta ,TиT_0$ – соответственно относительная, абсолютная и начальная температура; $\eta$ – плотность энтропии; d_i – компоненты вектора электрической индукции; $e_{kij}^{\theta }$ – тензор пьезомодулей; ${\epsilon }_{ij}^{S,\theta }$ – тензор диэлектрических проницаемостей; $P_i^S$ – пироэлектрические коэффициенты; $\alpha =\rho c_{\epsilon }^E{T}_0^{-1};C_{\epsilon }^E$ – удельная теплоемкость при постоянной деформации; P – плотность материала.

Исключая из приведенных соотношений все переменные, кроме $W_i,\Psi ,\theta ,$ получаем систему динамических анизотропных уравнений в частных производных вида

$\begin{array}{c}{c}_{ijkl}\frac{{\partial }^2{w}_k}{\partial {õ}_i\partial {õ}_i}+e_{kij}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {õ}_k\partial {õ}_j}-{\lambda }_{ij}\frac{\partial \theta }{\partial {õ}_j}+F_i=\rho \frac{{\partial }^2{w}_i}{\partial \text{\hspace{0.05em}}{t}^2},\\ e_{ik}\frac{{\partial }^2{w}_k}{\partial {õ}_i\partial {õ}_i}-{\epsilon }_{ik}\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {õ}_k\partial {õ}_i}+{\rho }_i\frac{\partial \theta }{\partial {õ}_i}=\mathrm{0,}i,j,k,=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\\ k_{ij}\frac{{\partial }^2\theta }{\partial {õ}_i\partial {õ}_i}+W=T_0\frac{\partial }{\partial t}\left({\lambda }_{ij}\frac{\partial w_i}{\partial {õ}_j}-{\rho }_i\frac{\partial \psi }{\partial {õ}_i}+\alpha \theta \right).\end{array}$

Вид функции Грина приведен в [14] и совершенно не доступен для построения разложения символа интегрального уравнения Винера–Хопфа $K(a,\beta )$, в форме, использованной в [22].

Тем не менее разработанные в [22] методы решения двумерных интегральных уравнений Винера–Хопфа для изотропного случая подсказали вид и способ построения решения трехмерного интегрального уравнения Винера-Хопфа для анизотропных композитов. В связи с этим был разработан подход, который обходит необходимость детального изучения символа $K(a,\beta )$ интегрального уравнений. Он использует блочные элементы и метод факторизации применительно к интегральным уравнениям.

Область действия штампа описывается осями x, y первого квадранта декартовой системы координат, а параметр времени, изменяющейся на всей бесконечной оси, описывается координатой t, которая, в дальнейшем, для удобства обозначений системы координат, будет переобозначена на z. Таким образом, область действия штампа описывается геометрической и временной областью $\Omega (0\le x,0\le y,0\le t).$

...Ниже приводится аналитическое представление решения интегрального уравнения Винера–Хопфа в трехмерной геометрико-временной постановке в области $\Omega (0\le x,0\le y,0\le t).$  Здесь рассмотрен случай произвольного во времени воздействия штампа на анизотропный композит в первом квадранте на основе нового подхода.

1. Постановка задачи. Рассматривается трехмерное интегральное уравнение Винера-Хопфа, заданное в первом квадранте [22]. Оно имеет вид

$\begin{array}{c}{\rm K}q=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}k(x-\xi ,y-\eta ,z-\zeta )q(\xi ,\eta ,\zeta )d\xi d\eta d\zeta =f(x,y,z),\\ k(x,y,z)=\frac{1}{8{\pi }^3}\underset{{\Gamma }_1}{\overset{}{\int }}\underset{{\Gamma }_2}{\overset{}{\int }}\underset{{\Gamma }_3}{\overset{}{\int }}K(\alpha ,\beta ,\gamma )e^{-i(\alpha x+\beta y+\gamma z)}d\alpha d\beta d\gamma ,\\ 0\le x\le \infty ,0\le y\le \infty ,0\le z\le \infty ,z\equiv t,\\ Q(\alpha ,\beta ,\gamma )=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}q(\xi ,\eta ,\zeta )e^{i(\alpha \xi +\beta \eta +\gamma \zeta )}d\xi d\eta d\zeta ,\\ F(\alpha ,\beta ,\gamma )=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f(\xi ,\eta ,\zeta )e^{i(\alpha \xi +\beta \eta +\gamma \zeta )}d\xi d\eta d\zeta .\end{array}$ (1.1)

Функция$K(a,\beta ,\gamma )$, в общем случае комплекснозначная, порождается решением анизотропной граничной задачи в многослойной среде, является непрерывной и суммируемой на осях по трем аргументам, с поведением на бесконечности вида.

$\begin{array}{c}K(\alpha ,\beta ,\gamma )=O\left({\alpha }^{-1}\right),\beta =\text{\hspace{0.33em}const},\gamma =\text{\hspace{0.33em}const},\\ K(\alpha ,\beta ,\gamma )=O\left({\beta }^{-1}\right),\alpha =\text{\hspace{0.33em}const},\gamma =\text{\hspace{0.33em}const}.\\ K(\alpha ,\beta ,\gamma )=O\left({\gamma }^{-1}\right),\alpha =\text{\hspace{0.33em}const},\beta =\text{\hspace{0.33em}const},\left|\alpha \right|,\left|\beta \right|,\left|\gamma \right|\to \infty .\end{array}$(1.2)

Примеры материалов, имеющих анизотропную структуру, в том числе, композитных, приведены во многих работах, в частности в [9–21].

Для интегрального уравнения (1.1) справедливы теоремы единственности [14].

Теорема 1. Пусть вещественная или мнимая составляющие функции $K(a,\beta ,\gamma )$ знакопостоянные на вещественных осях $(a,\beta ,\gamma )$. Тогда интегральное уравнение (1.1) имеет единственное решение.

Для случая динамических контактных задач справедлива приведенная ниже теорема единственности [14]

Теорема 2. Пусть вещественные полюсы функции $K(a,\beta ,\gamma )$ последовательно чередуются с нулями при движении по контурам Г₁, Г₂, Г₃. Тогда интегральное уравнение (1.1) имеет единственное решение.

Доказана.

Теорема 3. В условиях единственности, решение интегрального уравнения (1.1) для произвольной с непрерывной и суммируемой на осях первой производной функции f $(x,y,z)$ дается формулой

$q(x,y,z)=\frac{1}{8{\pi }^3}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}Q(\alpha ,\beta ,\gamma )e^{-i(\alpha x+\beta y+\gamma z)}d\alpha d\beta d\gamma .$ (1.3)

Здесь приняты обозначения [14]

$Q_1(a,b,g)=K^{-1}F-K_{+a}^{-1}{\left\{K_{-a}^{-1}F\right\}}_{-a}-K_{+a+b}^{-1}\{K_{+a-b}^{-1}{\left\{K_{-a}^{-1}F\right\}}_{+a}{\}}_{-b}-$    (1.4)

$-K_{+a+b+g}^{-1}\left\{K_{+a+b-g}^{-1}\right\{K_{+a-b}^{-1}\{K_{-a}^{-1}F{\}}_{+a}{\}}_{+b}{\}}_{-g},$

$Q_2(a,b,g)=K^{-1}F-K_{+b}^{-1}\{K_{-b}^{-1}F{\}}_{-b}-K_{+b+g}^{-1}\{K_{+b-g}^{-1}\{K_{-b}^{-1}F{\}}_{+b}{\}}_{-g}-$

$-K_{+b+g+a}^{-1}\left\{K_{+b+g-a}^{-1}\right\{K_{+b-g}^{-1}\{K_{-b}^{-1}F{\}}_{+b}{\}}_{+g}{\}}_{-a},$

$Q_3(a,b,g)=K^{-1}F-K_{+g}^{-1}\{K_{-g}^{-1}F{\}}_{-g}-K_{+g+a}^{-1}\{K_{+g-a}^{-1}\{K_{-g}^{-1}F{\}}_{+g}{\}}_{-a}-$

$-K_{+g+a+b}^{-1}\left\{K_{+g+a-b}^{-1}\right\{K_{+g-a}^{-1}\{K_{-g}^{-1}F{\}}_{+g}{\}}_{+a}{\}}_{-b},$

$Q(a,b,g)=\frac{1}{3}\left[Q_1(a,b,g)+Q_2(a,b,g)+Q_3(a,b,g)\right].$

Операторы в фигурных скобках имеют вид

${\left\{G(\alpha ,\beta ,\gamma )\right\}}_{+\alpha }=\frac{1}{2\pi i}\underset{{\Gamma }_1}{\int }\frac{G(\xi ,\beta ,\gamma )}{\xi -\alpha }d\xi ,\alpha \in {\Pi }_{\alpha }^{+},$   (1.5)

${\left\{G(\alpha ,\beta ,\gamma )\right\}}_{-\alpha }=-\frac{1}{2\pi i}\underset{{\Gamma }_1}{\int }\frac{G(\xi ,\beta ,\gamma )}{\xi -\alpha }d\xi ,\alpha \in {\Pi }_{\alpha }^{-},$

${\left\{G(\alpha ,\beta ,\gamma )\right\}}_{+\beta }=\frac{1}{2\pi i}\underset{{\Gamma }_2}{\int }\frac{G(\alpha ,\eta ,\gamma )}{\eta -\beta }d\eta ,\beta \in {\Pi }_{\beta }^{+},$

${\left\{G(\alpha ,\beta ,\gamma )\right\}}_{-\beta }=-\frac{1}{2\pi i}\underset{{\Gamma }_2}{\int }\frac{G(\alpha ,\eta ,\gamma )}{\eta -\beta }d\eta ,\beta \in {\Pi }_{\beta }^{-},$

${\left\{G(\alpha ,\beta ,\gamma )\right\}}_{+\gamma }=\frac{1}{2\pi i}\underset{{\Gamma }_3}{\int }\frac{G(\alpha ,\beta ,\zeta )}{\zeta -\gamma }d\zeta ,\gamma \in {\Pi }_{\gamma }^{+},$  

${\left\{G(\alpha ,\beta ,\gamma )\right\}}_{-\gamma }=-\frac{1}{2\pi i}\underset{{\Gamma }_3}{\int }\frac{G(\alpha ,\beta ,\zeta )}{\zeta -\gamma }d\zeta ,\gamma \in {\Pi }_{\gamma }^{-},$

$K_{+\alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\exp \frac{1}{2\pi i}\underset{{\Gamma }_1}{\int }\frac{\ln K(\xi ,\beta ,\gamma )}{\xi -\alpha }d\xi ,\alpha \in {\Pi }_{\alpha }^{+},$

$K_{-\alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\exp \left(-\frac{1}{2\pi i}\underset{{\Gamma }_1}{\int }\frac{\ln K(\xi ,\beta ,\gamma )}{\xi -\alpha }d\xi \right),\alpha \in {\Pi }_{\alpha }^{-},$

$K_{+\beta }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\exp \frac{1}{2\pi i}\underset{{\Gamma }_2}{\int }\frac{\ln K(\alpha ,\eta ,\gamma )}{\eta -\beta }d\eta ,\beta \in {\Pi }_{\beta }^{+},$

$K_{-\beta }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\exp \left(-\frac{1}{2\pi i}\underset{{\Gamma }_2}{\int }\frac{\ln K(\alpha ,\eta ,\gamma )}{\eta -\beta }d\eta \right),\beta \in {\Pi }_{\beta }^{-},$

$K_{+\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\exp \frac{1}{2\pi i}\underset{{\Gamma }_3}{\int }\frac{\ln K(\alpha ,\beta ,\zeta )}{\zeta -\gamma }d\zeta ,\gamma \in {\Pi }_{\gamma }^{+},$

Здесь ${П}_{а}^{+},{П}_{а}^{-}$ – комплексные области выше, плюс, и ниже, минус, контура ${Г}_1,{П}_{\beta }^{+},{П}_{\beta }^{-}$ – области выше, плюс, и ниже, минус, контура ${Г}_2,{П}_{\gamma }^{+},{П}_{\gamma }^{-}$ – области выше, плюс, и ниже, минус, контура Г₃.

Удовлетворение построенного решения (1.3) интегральному уравнению (1.1) осуществляется достаточно просто подстановкой его в интегральное уравнение и учета свойств факторизованных функций (1.4) в интеграле Фурье.

2. Свойства решения (1.3) интегрального уравнения (1.1). 1. Покажем, что интегральное уравнение (1.1) точно удовлетворяется функцией (1.3), (1.4).

Внесем функцию q(x, y, z) в интегральное уравнение (1.1), представленное в виде

$\begin{array}{c}Kq=\frac{1}{8{\pi }^3}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}K(\alpha ,\beta ,\gamma )e^{-i\left[\alpha \right(x-\xi )+\beta (y-\eta )+\gamma (z-\zeta \left)\right]}q(\xi ,\eta ,\zeta )d\xi d\eta d\zeta d\alpha d\beta d\gamma =f(x,y,z).\\ \end{array}$

После использования обозначений (1.1) получим представление

$Kq=\frac{1}{8{\pi }^3}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}K(\alpha ,\beta ,\gamma )Q(\alpha ,\beta ,\gamma )e^{-i(\alpha x+\beta y+\gamma z)}d\alpha d\beta d\gamma =f(x,y,z).$

Внесем в эту формулу $Q(\alpha ,\beta ,\gamma )$ из (1.4) и исследуем интеграл слева. В результате не сложного анализа исключения членов, обращающих интеграл в ноль, убеждаемся, что получается соотношение

$Kq=\frac{1}{8{\pi }^3}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}F(\alpha ,\beta ,\gamma )e^{-i(\alpha x+\beta y+\gamma z)}d\alpha d\beta d\gamma =f(x,y,z).$

Применение метода факторизации и блочного элемента доказывает, что носителем решения является первый квадрант.

2. Покажем, что полученное решение (1.3) переходит в точное решение интегрального уравнения (1.1) для случая, когда уравнение (1.1) распадается на одномерные уравнения, решаемые традиционным одномерным методом уравнений Винера–Хопфа [5]. Это происходит, когда в ядре интегрального уравнения (1.1) имеет место разделение переменных, то есть k(x, y, z) = = k₁(x)₂(y)k₃(z). Оно случается при наличии у преобразования Фурье ядра $K(\alpha ,\beta ,\gamma )$, называемого символом интегрального уравнения, со свойством $K(\alpha ,\beta ,\gamma )=K_1\left(\alpha \right)K_2\left(\beta \right)K_3\left(\gamma \right).$ Выполняя над символом требуемые формулой (1.4) вычисления, находим, что все двойные операции над $K_1\left(\alpha \right)K_2\left(\beta \right) и K_3\left(\gamma \right)$ обращаются в ноль. Остаются решения одномерных интегральных уравнений Винера–Хопфа по каждой координате.
3. Исследуем концентрации контактных напряжений на разных множествах границы штампа, даваемых полученным решением.

1) В решениях, представленных формулой (1.4), первые справа члены формируют вырожденную составляющую решения, описывающую его в зоне, дальней от границ четверть плоскости. Поэтому оно не содержит концентраций напряжений. Заметим, что вырожденная составляющая формируется поровну каждой из осей.

2) Вторые члены содержат граничные концентрации напряжений, свойственные одномерным интегральным уравнениям Винера–Хопфа [14].

Подобно одномерному случаю [14], они дают на прямолинейных границах штампа особенности вида x ^-1/2, y ^-1/2 и z ^-1/2.

3) Третьи члены описывают концентрацию напряжений в угловой точке штампа, которая свойственна статической двумерной контактной задаче, без нестационарного воздействия. Она формируется в результате оценки интеграла

$q_0(x,y,z)=\frac{1}{8{\pi }^3}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\left[K_{+\alpha +\beta }^{-1}{\left\{K_{+\alpha -\beta }^{-1}{\left\{K_{-\alpha }^{-1}F\right\}}_{+\alpha }\right\}}_{-\beta }\right]e^{-i(\alpha x+\beta y+\gamma z)}d\alpha d\beta d\gamma$ (2.1)

при одновременном предельном переходе x → 0, y → 0, z → 0.

В качестве примера покажем правило формирования первого члена подынтегральной функции для случая, когда взят простейший анизотропный символ $K(\alpha ,\beta ,\gamma )$, обладающий свойством (1.2), имеющий вид

$K(\alpha ,\beta ,\gamma )={({\alpha }^2+s_1{\beta }^2+s_2{\gamma }^2+A^2)}^{-\frac{1}{2}},A>\mathrm{0,}{s}_1,s_2=\text{const}.$

Для общего случая его оказывается достаточно, так как он содержит такие же предельные поведения (1.2) на бесконечности. При осуществлении факторизации по какому-нибудь параметру, остальные находятся на вещественной оси. Факторизовав функцию $K(\alpha ,\beta ,\gamma )$ по параметру a на верхнюю полуплоскость, получаем

$K_{+\alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma )={[\alpha +i{(s_1{\beta }^2+s_2{\gamma }^2+A^2)}^{\frac{1}{2}}]}^{-\frac{1}{2}}=O\left({\alpha }^{-\frac{1}{2}}\right)A>0.$

Факторизацию функции $K_{+\alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma )$ по параметру $\beta$ на правую комплексную полуплоскость можно выполнить точно, в интегральном виде, нормализовав $K_{+\alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma )$ по $\beta$ на бесконечности. Для этого рассмотрим функцию, стремящуюся к единице при $\left|\beta \right|\to \infty$. Имеем

$G(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sqrt{i}{({\beta }^2+c^2)}^{\frac{1}{4}}{K}_{+\alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma )\to \mathrm{1,}\left|\beta \right|\to \infty ,c=s_1^{-1}(s_2{\gamma }^2+A^2),$

отсюда по формуле факторизации из (1.5)

$K_{+\alpha +\beta }(\alpha ,\beta ,\gamma )={(\beta +ic)}^{-\frac{1}{4}}\exp \frac{1}{2\pi i}\underset{{\Gamma }_2}{\int }\frac{\ln G(\alpha ,\eta )}{\eta -\beta }d\eta ,\beta \in {\Pi }_{\beta }^{+}.$

В результате получаем оценку

$K_{+\alpha +\beta }(\alpha ,\beta ,\gamma )\to C{(\beta +ic)}^{-\frac{1}{4}}=O\left({\beta }^{-\frac{1}{4}}\right),\left|\beta \right|\to \infty .$

Совершенно аналогично оцениваются другие члены со второй факторизацией. Внося эти оценки в (2.1), получим, в результате несложного анализа

$q_0(x,y,z)=O\left(r^{-\frac{3}{4}}\right),r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.$

Заметим, что этот результат близок к вычисленному приближенным методом в работе [17].

4) Поведение четвертых членов в (1.4) изучается подобно третьим, но уже осуществляется третья факторизация по не тронутому параметру, в частность, по параметру $\gamma$. В результате таких же вычислений, получаем

$K_{+\alpha +\beta +\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma )=O\left({\gamma }^{-\frac{1}{8}}\right).$

Аналогично для других членов с тройной факторизацией. Суммировав особенности по всем трем осям, сходящимся в угловой точке штампа, в результате получаем описание концентрации контактных напряжений в вершине штампа, которая имеет вид

$q(x,y,z)=O\left(r^{-\frac{7}{8}}\right),r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\to 0.$

Сопоставляя варианты 3) и 4) заключаем, что наличие не стационарного воздействия на штамп – увеличивает величину концентрацию контактных напряжений в вершине штампа до уровня r ^-7/8, в сравнении с r ^-3/4 и, тем самым, усиливает его разрушительное воздействие на слой.

Последнее наблюдается на практике: подвижным ножом легче разрезать деформируемую среду, чем при статическом давлении на нож.

Выводы. Полученное решение трехмерного интегрального уравнения Винера–Хопфа, имеет приложение в сейсмологии. Выявлен наиболее опасный участок граница литосферной плиты – угловые множества, а также наиболее уязвимые зоны фундаментов – они в углах его площади. Кроме этого, полученный результат может найти применения в довольно многочисленных примерах приложений одномерного интегрального уравнения Винера–Хопфа, приведенных во введении к настоящей статье, в частности, при конструировании объектов из анизотропных композитов, где возникают такие контактные задачи. Возможно, результат окажется полезным и в других областях.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда и Кубанского научного фонда, региональный проект 24-11-20006.

Об авторах

В. А. Бабешко

Кубанский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: babeshko41@mail.ru
Россия, 350040, Краснодар

О. В. Евдокимова

Южный научный центр РАН

Email: babeshko41@mail.ru
Россия, 344006, Ростов-на-Дону

С. Б. Уафа

Кубанский государственный университет

Email: babeshko41@mail.ru
Россия, 350040, Краснодар

В. С. Евдокимов

Кубанский государственный университет

Email: babeshko41@mail.ru
Россия, 350040, Краснодар

О. М. Бабешко

Кубанский государственный университет

Email: babeshko41@mail.ru
Россия, 350040, Краснодар

Список литературы

Дополнительные файлы