On the Equilibria of a Heavy Hoop Suspended on a Nail

Full Text

1. Введение. Задачи о движении подвешенных объектов представляют собой классический предмет исследования теоретической механики. Речь идет об объектах, размерами которых можно пренебречь (материальных точек), так и о трехмерных объектах. Особый класс составляют задачи, когда материальную точку (бусинку) подвешивают на невесомой нерастяжимой нити, концы которой закреплены. В случае, когда предполагается, что бусинка тяжелая, такая задача рассматривалась, например, в учебниках П. Аппеля [1], раздел 128¹ и Т. Леви-Чивита и У. Амальди [3]². Новый импульс к дальнейшему изучению такого рода систем положили исследования материальных точек, стесненных так называемой леерной связью [5–8] (см. также [9]) в задачах о движении орбитальных тросовых систем.

Представляет интерес и задача, в определенном смысле двойственная к упомянутой выше: точка (“гвоздь” в используемой ниже терминологии) предполагается неподвижной, а на нее подвешено тело либо с помощью отверстия, либо с помощью тонкой нерастяжимой невесомой нити, прикрепленной к телу двумя концами. В случае плоской задачи, когда отверстие имеет эллиптический профиль, задачи оказываются эквивалентными в силу известного геометрического свойства эллипса. Особый интерес представляет случай, когда нить оказывается шероховатой: между ней и гвоздем действует сила сухого трения. В этом случае именно геометрическая аналогия позволяет разобраться с касательной и нормальной составляющими реакции имеющей место неидеальной связи. Надо заметить, что в упомянутых работах, касающихся леерной связи, наличие сухого трения не предполагается. Это же относится и к недавней публикации [10], в которой исследована плоская задача о существовании и устойчивости равновесий твердого тела, подвешенного на веревке, перекинутой через гвоздь, в предположении об отсутствии трения.

В настоящей работе рассматривается задача о равновесиях в простейшем случае, когда тело – не что иное как тяжелый тонкий однородный эллиптический обруч. В предположении о наличии сухого трения для него исследуется зависимость от параметров свойств семейств неизолированных равновесий. Обсуждается и эквивалентная задача, когда такого рода односторонняя связь реализуется с помощью невесомой нерастяжимой шероховатой нити, к концам которой прикреплено твердое тело.

2. Постановка задачи. На вбитый в вертикальную гладкую стену гвоздь накинут тяжелый однородный обруч, выполненный в форме эллипса. Найти положения равновесия обруча, если его большая и малая полуоси равны a и b (a ≥ b), а коэффициент трения обруча о гвоздь равен μ. Толщина обруча, равно как и толщина гвоздя, предполагаются пренебрежимо малыми по сравнению с размерами обруча.
3. Решение. Пусть O – геометрический центр обруча, P – гвоздь. В силу симметрии обруча относительно двух взаимно перпендикулярных осей и однородности распределения его массы точка O является центром масс обруча. Условие “накинутости” обруча на гвоздь следует трактовать как наличие односторонней связи, такой, что гвоздь может находится либо внутри обруча, либо на нем самом. Условие наличия гладкой стены определяет ограничение на постановку задачу – рассматривается ее плоский случай.

Принимая во внимание выше сказанное, обруч будет находиться в равновесии относительно стены, если сумма моментов сил, вычисленных относительно точки подвеса, равен нулю. Из этого следует, что точки O и P располагаются на одной вертикали, причем физически реализуем лишь случай, когда точка O располагается ниже точки P. Если указанное требование выполнено, то остается, вообще говоря, определить условие, при котором сила тяжести попадает в угол трения (см., например, [4, 11–13]) с вершиной в точке P, углом раствора $2{\alpha }_{\star }:tg{\alpha }_{\star }=\mu$ и биссектрисой, параллельной нормали к эллипсу в точке P. Однако требуемые условия можно вывести и из уравнений равновесия.

Пусть Oxy – связанная с обручем система координат, оси Oy и Ox которой направлены, соответственно, по большой и малой полуосям эллипса (рис. 1). В этих осях уравнение обруча имеет вид

$f\left(x,y\right)=\mathrm{0,} f\left(x,y\right)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1$. (3.1)

 

Рис. 1. Тяжелый однородный шероховатый обруч в форме эллипса с полуосями a и b, подвешенный на гвозде P

 

Если (x, y) – координаты гвоздя P в этих осях, то этот гвоздь находится внутри обруча или на нем самом при выполнении условия

$f\left(x\mathrm{,}y\right)\le 0$.

Пусть обруч касается гвоздя. Единичный вектор, направленный из начала координат в точку касания, записывается как

$e=r^{-1}\left(x,y\right), r={\left(x^2+y^2\right)}^{\frac{1}{2}}$. (3.2)

Единичный вектор нормаль и единичная касательная к обручу в этой точке записываются как

$\begin{array}{c}n={\rho }^{-1}\left(\frac{x}{a^2},\frac{y}{b^2}\right), \tau ={\rho }^{-1}\left(-\frac{y}{b^2},\frac{x}{a^2}\right)\\ \rho ={\left(\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}\right)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$ (3.3)

соответственно.

Обруч находится под действием трех сил: силы тяжести, нормальной реакции и касательной реакции, именуемой силой трения:

$mg+N+F=0\iff -mge+Nn+F\tau =0$, (3.4)

здесь m – масса обруча, g =– ge – вектор ускорения свободного падения, записанный в системе координат Oxy.

Домножая скалярно равенство (3.4) на n и τ соответственно, имеем

$N=mg\left(e,n\right), F=mg\left(e,\tau \right)$. (3.5)

Подставляя найденные величины (3.5) в условие равновесия, определяемое законом Кулона–Амонтона

$\left|F\right|\le \mu \left|N\right|$,

после сокращения на mg имеем

$\left|e,\tau \right|\le \mu \left|e,n\right|$. (3.6)

С помощью соотношений (3.2), (3.3) неравенство (3.6) может быть записано в виде

$\left|xy\left(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}\right)\right|\le \mu \iff \left|xy\right|\le {\mu }_{\star }\equiv \mu \frac{a^2{b}^2}{a^2-b^2}$. (3.7)

Параметр  положителен и неограниченно возрастает по мере сближения значений a и b.

Задаваемая неравенством (3.7) область на плоскости (x, y) ограничена парой гипербол. Ее пересечение с задающим обруч эллипсом (3.1) всегда непусто: даже при μ = 0, т. е. когда трение отсутствует, имеют место равновесия на которых обруч подвешен за концы своих полуосей (рис. 2).

 

Рис. 2. Частные случаи равновесий при μ = 0

 

Это равновесия можно рассматривать как порождающие для семейств неизолированных равновесий, существующих при μ > 0.

Анализ взаимного расположения эллипса (3.1) и области (3.7) показывает, что при выполнении условия

$2{\mu }_{\star }<ab\iff 2\mu ab<a^2-b^2$ (3.8)

обруч может быть подвешен как за точки, прилегающие к короткой оси, для которых выполнено неравенство

$y^2\ge \frac{b^2\left(a^2-b^2+\sqrt{{(a^2-b^2)}^2-4{\mu }^2{a}^2{b}^2}\right)}{2\left(a^2-b^2\right)}$, (3.9)

так и за точки, прилегающие к длинной оси, для которых выполнено неравенство

$y^2\le \frac{b^2\left(a^2-b^2-\sqrt{{(a^2-b^2)}^2-4{\mu }^2{a}^2{b}^2}\right)}{2\left(a^2-b^2\right)}$. (3.10)

Этим точкам отвечают семейства неизолированных равновесий. На рис. 3 соответствующие точки эллипса изображены серым. Между этими областями имеются точки, за которые обруч не может быть подвешен так, чтобы оставаться в равновесии.

 

Рис. 3. Семейства неизолированных равновесий (серый цвет)

 

При выполнении условия

$2{\mu }_{\star }\ge ab\iff 2\mu ab\ge a^2-b^2$ (3.11)

обруч может быть подвешен за любую свою точку.

Введем безразмерный параметр

$p=\frac{b}{a}$.

Согласно предположениям, этот параметр изменяется между нулем (предельный случай: “сдвоенный отрезок, соединенный в концевых точках”) и единицей (“окружность”). Тогда неравенства (3.8) и (3.11) примут вид

$2\mu p<1-p^2\iff \mu <\frac{1}{2}\left(\frac{1}{p}-p\right)$

и

$2\mu p\ge 1-p^2\iff \mu \ge \frac{1}{2}\left(\frac{1}{p}-p\right)$

соответственно.

Задаваемые этими неравенствами области изображены на рис. 4. Для значений параметров из закрашенной области обруч может быть подвешен за любую его точку. Для остальных значений параметров обруч может быть подвешен только за те точки, для которых выполняются неравенства (3.9) и (3.10).

 

Рис. 4. Темной области на плоскости параметров (p, μ) отвечают точки, для значений которых обруч будет находиться в равновесии при подвешивании за любую его точку

 

4. Иная интерпретация полученных результатов. Полученные выше результаты допускают применение к следующей задаче, навеянной высказываниями о театральной жизни³.

На вбитый в гладкую вертикальную стену гвоздь повесили за ремень охотничье ружье. Найти положения равновесия ружья, если точки крепления ремня на ружье F'' и F' удалены друг от друга на расстояние 2c центр масс ружья – точка O – находится между этими точками посередине, длина ремня равна 2a, a ≥ c, а коэффициент трения ремня о гвоздь равен μ. Толщина ремня и толщина гвоздя предполагаются пренебрежимо малыми по сравнению с размерами ружья. Ремень предполагается абсолютно гибким, невесомым и нерастяжимым.

5. Решение. Прежде всего заметим, что в случае, когда ружье находится в подвешенном состоянии, ремень претерпевает излом в точке подвеса, и обе его части между точками крепления и точкой подвеса представляют собой отрезки прямых. При этом в силу нерастяжимости ремня сумма длин этих отрезков не зависит от возможного положения точки подвеса и равна длине этого ремня. Таким образом, опираясь на геометрическое определение эллипса (см., например, [14]), делаем вывод о том, что в системе отсчета, связанном с ружьем, множество точек, в которых может находиться гвоздь в положении равновесия, представляет собой эллипс с фокусами в точках крепления ремня.

В системе координат, связанной с ружьем, при условии натянутости ремня множество возможных положений гвоздя представляет собой эллипс с центром в точке O с фокусами в точках F'' и F', с большой полуосью, равной a, и с малой полуосью $b=\sqrt{a^2-c^2}$. Тогда решение задачи сводится к решению задачи, разобранному выше после подстановки в него указанного значения величины малой полуоси b. Ответ таков:

Во введенной по аналогии с предыдущей задачей системе координат при выполнении условия

$\mu <\frac{c^2}{2a\sqrt{a^2-c^2}}$ (5.1)

охотничье ружье может быть подвешено как за те точки ремня, для которых выполнено неравенство

$y^2\ge \frac{\left(a^2-c^2\right)\left(c^2+\sqrt{c^4-4{\mu }^2{a}^2\left(a^2-c^2\right)}\right)}{2c^2}$, (5.2)

так и за точки, для которых

$y^2\le \frac{\left(a^2-c^2\right)\left(c^2-\sqrt{c^4-4{\mu }^2{a}^2\left(a^2-c^2\right)}\right)}{2c^2}$. (5.3)

При выполнении условия

$\mu \ge \frac{c^2}{2a\sqrt{a^2-c^2}}$ (5.4)

ружье может быть подвешено за любую точку ремня.

Введем несколько иным способом безразмерный параметр q: положим

$q=\frac{c}{a}$.

Согласно предположениям, этот параметр изменяется между нулем (“точки крепления ремня совпадают”) и единицей (“ремень вытянут вдоль ружья”). Тогда если

$Q\left(q\right)=\frac{q^2}{2\sqrt{1-q^2}}$,

то неравенства (5.1) и (5.4) примут вид

$\mu <Q\left(q\right), \mu \ge Q\left(q\right)$

соответственно.

Задаваемые этими неравенствами области на плоскости (q, μ) изображены на рис. 5. Для значений параметров из закрашенной области ружье может быть подвешено за любую точку ремня. Для остальных значений параметров ружье может быть подвешено только за те точки ремня, для которых выполняются неравенства (5.2) и (5.3).

 

Рис. 5. Темной области на плоскости параметров (q, μ) отвечают точки, для значений которых ружье будет находиться в равновесии при подвешивании за любую ремня

 

6. Механическая интерпретация. Представляет некоторый интерес механическая интерпретация найденных решений. Обозначим a' и a'' длины частей ремня от точки подвеса до точек F'' и F' соответственно, a' + a'' = 2a (рис. 6). Расстояние от точки подвеса до центра масс O обозначим . Ружье удерживается за счет сил натяжения ремня T и T', “противодействующих” силе тяжести mg. Условие равновесия записывается как

$mg+T\text{'}+T\text{'}\text{'}=0$,

 

Рис. 6. Иллюстрация механической системы: ружье, подвешенное на ремне и расположенное в вертикальной плоскости (слева). Схема сил и реакций связи (справа)

 

т.е. эти три вектора составляют треугольник сил. Этот треугольник подобен изображенному на рис. 6 треугольнику с вертикальной стороной, равной 2r и двумя другими сторонами, равными a'' и a' соответственно. Из теоремы косинусов

$\begin{array}{l}{a^{\text{'}}}^2{r}^2-2rc\text{cos}\alpha +c^2\\ a{\text{'}\text{'}}^2{r}^2+2rc\text{cos}\alpha +c^2\end{array}$

откуда

$r=\sqrt{\frac{1}{2}\left({a^{\text{'}}}^2+{{a^{\text{'}}}^{\text{'}}}^2\right)-c^2}, \cos \alpha =\frac{1}{4rc}\left({{a^{\text{'}}}^{\text{'}}}^2-{a^{\text{'}}}^2\right)$. (6.1)

Из подобия треугольников получается пропорция

$\frac{T^{\text{'}}}{a^{\text{'}}}=\frac{T{\text{'}}^{\text{'}}}{a{\text{'}}^{\text{'}}}=\frac{mg}{2r}$.

Тогда

$T^{\text{'}}=mg\frac{a^{\text{'}}}{2r}, T{\text{'}}^{\text{'}}=mg\frac{a{\text{'}}^{\text{'}}}{2r}$,

где величина  определяется из соотношений (6.1).

Замечание. Благодаря наличию трения значения натяжения ремня слева и справа от гвоздя вообще говоря различны.

7. Возможные обобщения. Если отказаться от принятой в настоящем исследовании идеализация, в рамках которой диаметр гвоздя предполагается пренебрежимо малым, то в случае, когда речь идет об обруче, получится естественное обобщение маятника Фроуда с отверстием эллиптического профиля. Различным аспектам динамики маятника Фроуда посвящены многочисленные публикации (см., например, [15–19], а также [20, 21]). Заметим при этом, что в таком случае центр масс тела, вообще говоря, не совпадает с центром обруча. Как показали исследования, выполненные в [10], даже в отсутствие трения зависимость равновесий от параметров становится сложнее.

Если же считать, что в случае гвоздя конечного диаметра, связь реализована с помощью нерастяжимой шероховатой нити, то касание окажется неточечным: область контакта нити и гвоздя будет представлять собой некоторый отрезок. В этом случае при исследовании надо принимать дополнительные предположения, например, восходящую к Эйлеру гипотезу о распределении натяжения нити вдоль ее длины в области контакта (см., в частности, [1, 2], раздел 194).

Наконец, представляют несомненный интерес задачи динамики, в частности, задача о возникновении проскальзывания в точке (области) контакта при раскачивании тела, как маятника (ср. [22]).

¹ Раздел 140 в оригинале [2].

² С. 411 в оригинале [5].

³ “Если в начале пьесы на стене висит ружье, то (к концу пьесы) оно должно выстрелить”. Известная интерпретация высказывания из письма Антона Павловича Чехова (1860–1904) к литератору Александру Лазареву-Грузинскому от 1 ноября 1889 г.

About the authors

A. A. Burov

Federal Research Center “Computer Science and Control” of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: jtm@narod.ru
Russian Federation, Moscow, 119333

V. I. Nikonov

Federal Research Center “Computer Science and Control” of the Russian Academy of Sciences

Email: nikon_v@list.ru
Russian Federation, Moscow, 119333

References

Supplementary files