Structural Model of Spatially and Plane Reinforced Medium from Rigid-Plastic Anisotropic Materials with Different Yield Limits under Tension and Compression

Full Text

1. Введение. В современной инженерной практике активно используются композитные материалы (КМ) с пространственными структурами армирования [1–3] (рис. 1). Такой тип армирования позволяет устранить основной недостаток плоско-перекрестно армированных композитов со слабым связующим (угле-, боро- и стеклопластики) – их расслоение в силу слабого сопротивления поперечному сдвигу и отрыву [1, 3]. Поэтому проблема моделирования механического поведения пространственно-армированных КМ актуальна.

Волокнистые композиции с жестким связующим (металлокомпозиты, КМ с керамическим связующим) успешно сопротивляются поперечному сдвигу и отрыву. Следовательно, при использовании таких композиций тонкостенные конструкции типа пластин и оболочек целесообразно армировать традиционным плоско-перекрестным способом, так как такие структуры технологически реализуются проще, чем пространственные.

Современные КМ-изделия могут находиться под действием высокоинтенсивных нагрузок [1, 4, 5], при которых компоненты композиции деформируются пластически. Поэтому проблема изучения пластического деформирования КМ также является актуальной. Однако исследования, посвященные математическому моделированию этой проблемы, немногочисленны [4–10].

При проведении расчетов, связанных с теоретическим исследованием несущей способности КМ-изделий, предварительно необходимо определить поверхность текучести соответствующей композиции. Краткий обзор публикаций по этой проблеме, не претендующий на полноту, приведен в [11–13]. Из этого обзора следует, что до настоящего времени механическое поведение пространственно-армированных КМ в основном моделировалось при учете линейно-упругого деформирования компонентов композиции. Жесткопластическое поведение плоско-перекрестно армированных тонкостенных КМ-конструкций теоретически исследовалось на базе структурной модели с одномерным напряженным состоянием в волокнах (МОНСВ) [14–16], при этом в арматуре учитывается только продольное нормальное напряжение. Структурные модели, разработанные в [14–16], и кривые текучести (прочности), рассчитанные на их основе, до сих пор активно используются для теоретического определения предельных состояний волокнистых пластин и оболочек [17–19].

В работах [11, 12] впервые были разработаны структурные модели жесткопластического деформирования плоско-перекрестно армированных слоев при учете плоского напряженного состояния (ПНС) во всех компонентах композиции, а в [13] – аналогичная модель для пространственно армированного КМ при учете трехмерного (сложного) напряженного состояния во всех материалах композиции. В [11–13] учитывалось возможное разное сопротивление компонентов композиции при растяжении и сжатии, но материалы этих компонентов предполагались изотропными. Однако анализ справочных данных показывает, что армирующие волокна часто имеют разные физико-механические характеристики в продольном и поперечном направлениях, например волокна кевлар-49 [20]. Кроме того, сами армирующие волокна могут представлять собой КМ. Так, волокна бора получают осаждением паров бора на вольфрамовые или углеродные нити [20]. Следовательно, волокна бора также должны обладать анизотропией. С другой стороны, при изготовлении металлических проволок [21] используют технологию волочения, что связано с их предварительным пластическим деформированием и, согласно эффекту Баушингера, приводит к разносопротивляемости таких волокон при их растяжении и сжатии, а также возникновению текстуры в материале арматуры, которая порождает анизотропию физико-механических свойств [22–24]. Аналогично, деформационная анизотропия связующего материала и его разносопротивляемость при растяжении и сжатии могут возникнуть в процессе технологической вытяжки, например, криволинейной КМ-панели из КМ-пластины в условиях ползучести [22] или пластической штамповки [25, 26]. Следовательно, актуальна проблема математического моделирования пластического деформирования КМ из анизотропных компонентов композиции, которые по разному сопротивляются растяжению и сжатию [27–34].

Так как в рамках МОНСВ не учитываются нормальные и касательные напряжения в поперечном направлении волокон, то, используя эту структурную модель, вообще нельзя учесть анизотропию в арматуре. Поэтому для адекватного математического моделирования жесткопластического деформирования перекрестно армированных КМ из анизотропных компонентов композиции необходимо учитывать трехмерное напряженное состояние в них.

Настоящая работа посвящена разработке структурной модели, позволяющей рассчитывать поверхность текучести КМ при произвольном пространственном (см. рис. 1) или плоско-перекрестном армировании. Компоненты композиции предполагаются анизотропными жесткопластическими материалами, имеющими разные пределы текучести при растяжении и сжатии. В них учитывается трехмерное напряженное состояние, а пластическое течение описывается квадратичными критериями текучести общего вида.

Рис. 1. Пространственные волокнистые структуры армирования [1]: (a) – ортогональное армирование в трех направлениях; (b) – армирование в пяти направлениях.

2. Формулировка задачи и основные предположения. В глобальной декартовой прямоугольной системе координат $O{\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3$ рассмотрим КМ регулярной структуры, пространственно армированный K (K = 1,2,3,...) семействами непрерывных прямолинейных волокон с произвольной формой поперечного сечения. На рис. 1,а изображен случай $K=3$ (ортогональное армирование в трех направлениях), а на рис. 1,b изображен случай $K=5$. В общем случае волокна разных семейств изготовлены из разных материалов. Такие КМ принято называть гибридными композитами.

Пусть ${\omega }_k$ – относительное объемное содержание материала k-го компонента композиции в представительном элементе КМ ($0\le k\le K$). Индекс $k=0$ соответствует связующей матрице, $k\ge 1$ – волокнам k-го семейства. Для ${\omega }_k$ справедливо

$\sum _{k=0}^K{\omega }_k=1$. (2.1)

С каждым k-м семейством волокон свяжем локальную ортогональную систему координат $O{x}_1^{\left(k\right)}{x}_2^{\left(k\right)}{x}_3^{\left(k\right)}$ так, чтобы ось $O{x}_1^{\left(k\right)}$ совпадала с направлением армирования, а оси $O{x}_2^{\left(k\right)}$ и $O{x}_3^{\left(k\right)}$ были перпендикулярны этому направлению. Направление армирования волокнами k-го семейства задано углами сферической системы координат: ${\theta }_k$ и ${\phi }_k$ (рис. 2). В глобальной системе $O{\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3$направляющие косинусы ${\overline{l}}_{ij}^{\left(k\right)}$ оси $O{x}_i^{\left(k\right)}$ ($i,j=\overline{\mathrm{1,3}}$) равны

$\begin{array}{c}{\overline{l}}_{11}^{\left(k\right)}=\sin {\theta }_k\cos {\phi }_k,{\overline{l}}_{12}^{\left(k\right)}=\sin {\theta }_k\sin {\phi }_k,{\overline{l}}_{13}^{\left(k\right)}=\cos {\theta }_k\\ {\overline{l}}_{21}^{\left(k\right)}=-\sin {\phi }_k,{\overline{l}}_{22}^{\left(k\right)}=\cos {\phi }_k,{\overline{l}}_{23}^{\left(k\right)}=\mathrm{0,}{\overline{l}}_{31}^{\left(k\right)}=-\cos {\theta }_k\cos {\phi }_k\\ {\overline{l}}_{32}^{\left(k\right)}=-\cos {\theta }_k\sin {\phi }_k,{\overline{l}}_{33}^{\left(k\right)}=\sin {\theta }_k,1\le k\le K.\end{array}$ (2.2)

Рис. 2. Локальная система координат, связанная с волокном k-го семейства: (a) – пространственное армирование, (b) – армирование в плоскости $\mathit{O}{\overline{\mathbf{x}}}_{\mathbf{1}}{\overline{\mathbf{x}}}_{\mathbf{2}}$ (${\mathit{\theta }}_{\mathbf{k}}\mathbf{=}\mathit{\pi }\mathbf{/}\mathbf{2}$).

Здесь и далее чертой сверху обозначены величины, определенные в глобальной системе $O{\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3$.

Для связующего материала ($k=0$) также формально введем свою локальную систему координат $O{x}_1^{\left(0\right)}{x}_2^{\left(0\right)}{x}_3^{\left(0\right)}$, которую для удобства примем совпадающей с глобальной системой $O{\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3$, поэтому по аналогии с (2.2) при формальном задании ${\theta }_0=\pi /2$ и ${\phi }_0=0$ получаем

${\overline{l}}_{ij}^{\left(0\right)}={\delta }_{ij}(O{x}_i^{\left(0\right)}=O{\overline{x}}_i),i,j=\overline{\mathrm{1,}3}$, (2.3)

где ${\delta }_{ij}$ – символ Кронекера.

Рассчитать реальное распределение напряжений в КМ, в котором связующее имеет многочисленные цилиндрические включения, – сложная задача даже в случае однонаправленно армированной линейно-упругой среды [35–37]. Еще труднее это сделать в рассматриваемом случае жесткопластического деформирования материалов компонентов композиции при произвольном перекрестном пространственном армировании среды (см. рис. 1). Построение удобной для инженерных приложений структурной модели жесткопластического поведения КМ выполним на основе исходных предположений, аналогичных принятым ранее [11–13, 37].

На макроуровне армированный материал является сплошным однородным анизотропным телом. При достаточно густом и равномерном наполнении связующей матрицы тонкими армирующими волокнами такое допущение вполне возможно. К этому выводу приходят все исследователи, изучающие механические свойства дисперсно-армированных сред [1, 3, 35–38].

Между арматурой и связующим материалом реализуется идеальный механический контакт (идеальная адгезия).

В пределах представительного элемента, выделенного из КМ на миниуровне, напряжения и скорости деформаций во всех компонентах и в композиции являются кусочно-постоянными. Эффекты высших порядков, связанные с изменением полей напряжений и скоростей деформаций на микроуровне в малых окрестностях границ контакта волокон и связующего, не учитываются. Подробное обоснование допустимости принятия этой гипотезы дано в конце работы [39].

Усредненные поля напряжений и скоростей деформаций в композиции получены усреднением по объему представительного элемента [35, 36], т. е. в силу допущения 3 – пропорционально величинам ${\omega }_k$ (0 ≤ k ≤ K).

Материалы компонентов композиции однородны и анизотропны, а их механическое поведение определяется ассоциированным законом течения для жесткопластического тела с квадратичным критерием текучести общего вида [37, 40, 41]:

$f_k\left({\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}\right)\equiv a_{\alpha \beta \gamma \delta }^{\left(k\right)}{\sigma }_{\alpha \beta }^{\left(k\right)}{\sigma }_{\gamma \delta }^{\left(k\right)}+b_{\alpha \beta }^{\left(k\right)}{\sigma }_{\alpha \beta }^{\left(k\right)}-1=\mathrm{0,}0\le k\le K$, (2.4)

где $f_k$ – функция текучести (пластичности); ${\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}$ – напряжения в k-м компоненте композиции; $a_{ijlm}^{\left(k\right)}$, $b_{ij}^{\left(k\right)}$ – известные константы этого материала, заданные в системе координат $O{x}_1^{\left(k\right)}{x}_2^{\left(k\right)}{x}_3^{\left(k\right)}$ ($0\le k\le K$), причем выполняются условия симметрии

$a_{ijlm}^{\left(k\right)}=a_{lmij}^{\left(k\right)}=a_{jilm}^{\left(k\right)}=a_{ijml}^{\left(k\right)},b_{ij}^{\left(k\right)}=b_{ji}^{\left(k\right)},i,j,l,m=\overline{\mathrm{1,}3},0\le k\le K$. (2.5)

В формуле (2.4) и далее по повторяющимся греческим индексам производится суммирование от 1 до 3.

В силу выполнения равенств (2.3) в выражении (2.4) при $k=0$ можно сделать формальные замены: $a_{ijlm}^{\left(0\right)}\to {\overline{a}}_{ijlm}^{\left(0\right)}$, $b_{ij}^{\left(0\right)}\to {\overline{b}}_{ij}^{\left(0\right)}$ и ${\sigma }_{ij}^{\left(0\right)}\to {\overline{\sigma }}_{ij}^{\left(0\right)}$ ($i,j,l,m=\overline{\mathrm{1,}3}$). Согласно постулату Друккера [41, 42], коэффициенты $a_{ijlm}^{\left(k\right)}$ и $b_{ij}^{\left(k\right)}$ в соотношении (2.4) должны удовлетворять условию положительной определенности квадратичной формы $a_{\alpha \beta \gamma \delta }^{\left(k\right)}{\sigma }_{\alpha \beta }^{\left(k\right)}{\sigma }_{\gamma \delta }^{\left(k\right)}+b_{\alpha \beta }^{\left(k\right)}{\sigma }_{\alpha \beta }^{\left(k\right)}$ ($0\le k\le K$) .

Если в (2.4) $b_{ij}^{\left(k\right)}=0$ ($i,j=\overline{\mathrm{1,3}}$), то условие текучести (2.4) редуцируется в критерий текучести Хилла [40]. При этом материал k-го компонента композиции одинаково сопротивляется растяжению и сжатию. Если материал k-го компонента композиции является ортотропным и главные оси анизотропии совпадают с осями $O{x}_i^{\left(k\right)}$, то выражение (2.4) при учете соотношений (2.5) принимает вид:

$f_k\left({\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}\right)\equiv a_{\alpha \alpha \beta \beta }^{\left(k\right)}{\sigma }_{\alpha \alpha }^{\left(k\right)}{\sigma }_{\beta \beta }^{\left(k\right)}+2a_{\gamma \delta \gamma \delta }^{\left(k\right)}{\sigma }_{\gamma \delta }^{\left(k\right)}{\sigma }_{\gamma \delta }^{\left(k\right)}+b_{\alpha \alpha }^{\left(k\right)}{\sigma }_{\alpha \alpha }^{\left(k\right)}-1=\mathrm{0,}\gamma \ne \delta ,0\le k\le K$. (2.6)

Пусть $y_{i+}^{\left(k\right)}$, $y_{i-}^{\left(k\right)}$ и ${\tau }_{ij}^{\left(k\right)}$ – известные из эксперимента пределы текучести k-го ортотропного материала композиции при растяжении (+) и сжатии (–) в направлении осей $O{x}_i^{\left(k\right)}$ ($y_{i\pm }^{\left(k\right)}>0$) и при чистом сдвиге в плоскости $O{x}_i^{\left(k\right)}{x}_j^{\left(k\right)}$ ($i\ne j$, $i,j=\overline{\mathrm{1,}3}$); $y_{ij}^{\left(k\right)}$ – известные значения предельных главных напряжений ${\sigma }_i^{\left(k\right)}$ и ${\sigma }_j^{\left(k\right)}$ (их направления совпадают с направлениями осей $O{x}_i^{\left(k\right)}$ и $O{x}_j^{\left(k\right)}$), приводящих к пластическому течению при чистом сдвиге, когда оси локальной системы координат $O{x}_i^{\left(k\right)}$ и $O{x}_j^{\left(k\right)}$ повернуты вокруг оси $O{x}_l^{\left(k\right)}$ на угол $\pi /4$, т. е.

${\sigma }_i^{\left(k\right)}=-{\sigma }_j^{\left(k\right)}=y_{ij}^{\left(k\right)}>\mathrm{0,}i\ne j\ne l\ne i,i,j,l=\overline{\mathrm{1,}3},0\le k\le K$. (2.7)

Тогда коэффициенты в соотношении (2.6) при учете (2.5), (2.7) выражаются так [37]:

$\begin{array}{l}{a}_{iiii}^{\left(k\right)}=\frac{1}{y_{i+}^{\left(k\right)}{y}_{i-}^{\left(k\right)}},b_{ii}^{\left(k\right)}=\frac{1}{y_{i+}^{\left(k\right)}}-\frac{1}{y_{i-}^{\left(k\right)}},2a_{ijij}^{\left(k\right)}=2a_{jiji}^{\left(k\right)}=\frac{1}{2{{\tau }_{ij}^{\left(k\right)}}^2}\\ a_{iijj}^{\left(k\right)}=\frac{1}{2}\left(a_{iiii}^{\left(k\right)}+a_{jjjj}^{\left(k\right)}+\frac{b_{ii}^{\left(k\right)}}{y_{ij}^{\left(k\right)}}-\frac{b_{jj}^{\left(k\right)}}{y_{ij}^{\left(k\right)}}-\frac{1}{{y_{ij}^{\left(k\right)}}^2}\right),i\ne j,i,j=\overline{\mathrm{1,}3},0\le k\le K\end{array}$. (2.8)

Если материал k-го компонента композиции одинаково сопротивляется растяжению и сжатию ($y_{i+}^{\left(k\right)}=y_{i-}^{\left(k\right)}$), то согласно (2.8) получаем $i=\overline{1.3}$ $b_{ii}^{\left(k\right)}=0$ и соотношение (2.6) редуцируется в критерий текучести Хилла для ортотропного материала. Если материал k-го компонента композиции является изотропным, но по разному сопротивляется растяжению и сжатию ($y_{i+}^{\left(k\right)}\ne y_{i-}^{\left(k\right)}$, $y_{i+}^{\left(k\right)}=y_{j+}^{\left(k\right)}$, $y_{i-}^{\left(k\right)}=y_{j-}^{\left(k\right)}$), то для него имеем ${\tau }_{ij}^{\left(k\right)}=y_{ij}^{\left(k\right)}=\sqrt{y_{i+}^{\left(k\right)}{y}_{i-}^{\left(k\right)}/3},$ $i\ne j$, $i,j=\overline{\mathrm{1,}3},$ $0\le k\le K.$ В этом случае условие текучести (2.6) при учете (2.7) и (2.8) вырождается в критерий текучести Баландина [43]. Если же материал является изотропным и одинаково сопротивляется растяжению и сжатию ($y_{i+}^{\left(k\right)}=y_{i-}^{\left(k\right)}=y_{j+}^{\left(k\right)}=y_{j-}^{\left(k\right)}$), то ${\tau }_{ij}^{\left(k\right)}=y_{ij}^{\left(k\right)}=y_{i+}^{\left(k\right)}/\sqrt{3}$ ($i\ne j,$ $i,j=\overline{\mathrm{1,}3},$ $0\le k\le K$) и соотношение (2.6) при учете (2.8) редуцируется в условие текучести Мизеса [37, 41, 42].

Согласно предположению 4, для построения поверхности текучести рассматриваемого КМ необходимо во всех компонентах композиции рассмотреть все возможные виды напряженного состояния, удовлетворяющие критерию текучести (2.4) (или (2.6)), и усреднить их значения. Пространство усредненных напряжений ${\overline{\sigma }}_{ij}$ является шестимерным, потому что ${\overline{\sigma }}_{ij}={\overline{\sigma }}_{ji}$ ($i,j=\overline{\mathrm{1,3}}$) в силу симметричности тензора напряжений [35, 37, 38, 40–42].

Произвольное напряженное состояние может быть задано тремя главными напряжениями и тремя параметрами (углами Эйлера [44]), определяющими направления главных напряжений. Поэтому рассмотрим локальную декартову прямоугольную систему координат $O{\widehat{x}}_1{\widehat{x}}_2{\widehat{x}}_3$, связанную с главными напряжениями в связующем материале ${\widehat{\sigma }}_i^{\left(0\right)}$ $(i=\overline{\mathrm{1,}3})$. В системе $O{\widehat{x}}_1{\widehat{x}}_2{\widehat{x}}_3$справедливо

${\widehat{\sigma }}_{ii}^{\left(0\right)}={\widehat{\sigma }}_i^{\left(0\right)},{\widehat{\sigma }}_{ij}^{\left(0\right)}=\mathrm{0,}j\ne i,i,j=\overline{\mathrm{1,3}}$. (2.9)

Здесь и далее “крышечкой” сверху обозначены величины, определенные в системе $O{\widehat{x}}_1{\widehat{x}}_2{\widehat{x}}_3$.

В системе координат $O{x}_1^{\left(0\right)}{x}_2^{\left(0\right)}{x}_3^{\left(0\right)}$ или, что то же самое, в глобальной системе $O{\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3$ (см. (2.3)) направляющие косинусы ${\overline{l}}_{ij}$ локальной оси $O{\widehat{x}}_i$ ($i,j=\overline{\mathrm{1,3}}$) равны [44]

$\begin{array}{l}{\overline{l}}_{11}=\cos \overline{\alpha }\cos \overline{\gamma }+\sin \overline{\alpha }\cos \overline{\beta }\sin \overline{\gamma },{\overline{l}}_{12}=\sin \overline{\alpha }\cos \overline{\gamma }-\cos \overline{\alpha }\cos \overline{\beta }\sin \overline{\gamma }\\ {\overline{l}}_{13}=-\sin \overline{\beta }\sin \overline{\gamma },{\overline{l}}_{21}=\cos \overline{\alpha }\sin \overline{\gamma }-\sin \overline{\alpha }\cos \overline{\beta }\cos \overline{\gamma },{\overline{l}}_{22}=\cos \overline{\alpha }\cos \overline{\beta }\cos \overline{\gamma }+\\ +\sin \overline{\alpha }\sin \overline{\gamma },{\overline{l}}_{23}=\sin \overline{\beta }\cos \overline{\gamma },{\overline{l}}_{31}=\sin \overline{\alpha }\sin \overline{\beta },{\overline{l}}_{32}=-\cos \overline{\alpha }\sin \overline{\beta },{\overline{l}}_{33}=\cos \overline{\beta }\end{array}$, (2.10)

где $\overline{\alpha }$ – угол прецессии; $\overline{\beta }$ – угол нутации; $\overline{\gamma }$ – угол собственного вращения.

Условие текучести (2.4) для связующего материала (k = 0) в системе координат $O{\widehat{x}}_1{\widehat{x}}_2{\widehat{x}}_3$ принимает вид:

$f_0\left({\widehat{\sigma }}_{ij}^{\left(0\right)}\right)\equiv {\widehat{a}}_{\alpha \beta \gamma \delta }^{\left(0\right)}{\widehat{\sigma }}_{\alpha \beta }^{\left(0\right)}{\widehat{\sigma }}_{\gamma \delta }^{\left(0\right)}+{\widehat{b}}_{\alpha \beta }^{\left(0\right)}{\widehat{\sigma }}_{\alpha \beta }^{\left(0\right)}-1=0$, (2.11)

где, согласно правилу преобразования компонентов тензоров при повороте системы координат, имеем [37]

${\widehat{a}}_{ijlm}^{\left(0\right)}=a_{\alpha \beta \gamma \delta }^{\left(0\right)}{\overline{l}}_{i\alpha }{\overline{l}}_{j\beta }{\overline{l}}_{l\gamma }{\overline{l}}_{m\delta },{\widehat{b}}_{ij}^{\left(0\right)}=b_{\alpha \beta }^{\left(0\right)}{\overline{l}}_{i\alpha }{\overline{l}}_{j\beta },i,j,l,m=\overline{\mathrm{1,}3}$. (2.12)

Условие текучести (2.11) при учете равенств (2.9) и (2.12) редуцируется к виду

$f_0\left({\widehat{\sigma }}_i^{\left(0\right)}\right)\equiv {\widehat{a}}_{\alpha \alpha \beta \beta }^{\left(0\right)}{\widehat{\sigma }}_{\alpha }^{\left(0\right)}{\widehat{\sigma }}_{\beta }^{\left(0\right)}+{\widehat{b}}_{\alpha \alpha }^{\left(0\right)}{\widehat{\sigma }}_{\alpha }^{\left(0\right)}-1=0$. (2.13)

3. Определение параметрических зависимостей для напряжений связующего материала и арматуры. Рассмотрим главные напряжения в связующем материале ${\widehat{\sigma }}_i^{\left(0\right)}$ ($i=\overline{\mathrm{1,3}}$) в сферических координатах $(r,\theta ,\phi )$ (рис. 3):

${\widehat{\sigma }}_1^{\left(0\right)}=r\sin \theta \cos \phi ,{\widehat{\sigma }}_2^{\left(0\right)}=r\sin \theta \sin \phi ,{\widehat{\sigma }}_3^{\left(0\right)}=r\cos \theta ,0\le \theta \le \pi ,0\le \phi <2\pi$.

Рис. 3. Сферическая система координат в пространстве главных напряжений в связующем материале.

Тогда уравнение поверхности текучести связующего материала $f_0=0$ можно записать в виде

$r=r_0\left(\theta ,\phi \right)$

и для напряжений ${\widehat{\sigma }}_i^{\left(0\right)}$ ($i=\overline{\mathrm{1,3}}$), удовлетворяющих этому условию, справедливо параметрическое представление:

$\begin{array}{l}{\widehat{\sigma }}_1^{\left(0\right)}\left(\theta ,\phi \right)=r_0\sin \theta \cos \phi ,{\widehat{\sigma }}_2^{\left(0\right)}\left(\theta ,\phi \right)=r_0\sin \theta \sin \phi \\ {\widehat{\sigma }}_3^{\left(0\right)}\left(\theta ,\phi \right)=r_0\cos \theta ,0\le \theta \le \pi ,0\le \phi <2\pi .\end{array}$ (3.1)

Из (2.13) при учете (3.1) получим квадратное уравнение для $r_0\left(\theta ,\phi \right)$:

$A_0{r}_0^2+B_0{r}_0-1=0$, (3.2)

где

$\begin{array}{l}{A}_0\left(\theta ,\phi \right)\equiv \left({\widehat{a}}_{1111}^{\left(0\right)}{\cos }^2\phi +{\widehat{a}}_{2222}^{\left(0\right)}{\sin }^2\phi \right){\sin }^2\theta +{\widehat{a}}_{3333}^{\left(0\right)}{\cos }^2\theta +\\ +{\widehat{a}}_{1122}^{\left(0\right)}{\sin }^2\theta \sin 2\phi +\left({\widehat{a}}_{1133}^{\left(0\right)}\cos \phi +{\widehat{a}}_{2233}^{\left(0\right)}\sin \phi \right)\sin 2\theta \\ B_0\left(\theta ,\phi \right)\equiv \left({\widehat{b}}_{11}^{\left(0\right)}\cos \phi +{\widehat{b}}_{22}^{\left(0\right)}\sin \phi \right)\sin \theta +{\widehat{b}}_{33}^{\left(0\right)}\cos \theta .\end{array}$ (3.3)

Для реальных материалов точка ${\widehat{\sigma }}_i^{\left(0\right)}=0$ ($i=\overline{\mathrm{1,3}}$) находится внутри поверхности текучести $f_0=0$ [44], поэтому

$r_0\left(\theta ,\phi \right)>0$. (3.4)

Квадратное уравнение (3.2) имеет единственный вещественный корень, удовлетворяющий условию (3.4):

$r_0\left(\theta ,\phi \right)=\frac{-B_0\left(\theta ,\phi \right)+\sqrt{B_0^2\left(\theta ,\phi \right)+4A_0\left(\theta ,\phi \right)}}{2A_0\left(\theta ,\phi \right)},0\le \theta \le \pi ,0\le \phi <2\pi$. (3.5)

Зависимость $r=r_0\left(\theta ,\phi \right)$ известна из (3.5) при учете (3.3) и (2.12), поэтому из (3.1) известны пятипараметрические зависимости напряжений ${\widehat{\sigma }}_i^{\left(0\right)}\left(\overline{\alpha },\overline{\beta },\overline{\gamma },\theta ,\phi \right)$ ($i=\overline{\mathrm{1,3}}$), удовлетворяющих критерию текучести для связующего материала (2.13) или, что то же самое, (2.11).

Далее определим параметрические соотношения для напряжений в арматуре.

Переход от локальной системы координат $O{\widehat{x}}_1{\widehat{x}}_2{\widehat{x}}_3$, связанной с направлениями главных напряжений в связующем, к локальной системе $O{x}_1^{\left(k\right)}{x}_2^{\left(k\right)}{x}_3^{\left(k\right)}$, связанной с арматурой k-го семейства (см. рис. 2), можно представить в виде двух действий:

1) переход от осей $O{\widehat{x}}_j$ к осям глобальной системы координат $O{\overline{x}}_m$;

2) переход от осей $O{\overline{x}}_m$ к осям $O{x}_i^{\left(k\right)}$, $i,j,m=\overline{\mathrm{1,}3}$, $1\le k\le K$ (рис. 2).

Поэтому в системе $O{\widehat{x}}_1{\widehat{x}}_2{\widehat{x}}_3$ направляющие косинусы ${\widehat{l}}_{ij}^{\left(k\right)}$ осей $O{x}_i^{\left(k\right)}$ равны:

$\begin{array}{l}{\widehat{l}}_{ij}^{\left(k\right)}\equiv {\widehat{l}}_{ij}^{\left(k\right)}\left({\theta }_k,{\phi }_k,\overline{\alpha },\overline{\beta },\overline{\gamma }\right)={\overline{l}}_{i\delta }^{\left(k\right)}{\overline{l}}_{\delta j}^{-1}={\overline{l}}_{i\delta }^{\left(k\right)}{\overline{l}}_{j\delta }\equiv {\overline{l}}_{i\delta }^{\left(k\right)}\left({\theta }_k,{\phi }_k\right){\overline{l}}_{j\delta }\left(\overline{\alpha },\overline{\beta },\overline{\gamma }\right),\\ i,j=\overline{\mathrm{1,}3},1\le k\le K.\end{array}$ (3.6)

где ${\overline{l}}_{\delta j}^{-1}$ – компоненты тензора, обратного ортогональному тензору ${\overline{l}}_{\delta j}$, поэтому ${\overline{l}}_{\delta j}^{-1}={\overline{l}}_{j\delta }$; ${\overline{l}}_{i\delta }^{\left(k\right)}$ и ${\overline{l}}_{j\delta }$ определены формулами (2.2) и (2.10).

Из предположений 2, 3 и условий непрерывности напряжений и перемещений на границах контакта арматуры со связующим (т. е. на боковых поверхностях волокон) получим равенства

${\epsilon }_{11}^{\left(k\right)}={\epsilon }_{11}^{\left(\mathrm{0,}k\right)},1\le k\le K$ (3.7)

${\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}={\sigma }_{ij}^{\left(\mathrm{0,}k\right)},i,j=\overline{\mathrm{1,}3}$ кроме $i=j=\mathrm{1,}1\le k\le K$. (3.8)

Здесь и далее: ${\epsilon }_{ij}^{\left(k\right)}$ – скорости деформаций k-го компонента композиции в системе координат $O{x}_1^{\left(k\right)}{x}_2^{\left(k\right)}{x}_3^{\left(k\right)}$ ($0\le k\le K$); ${\epsilon }_{ij}^{\left(\mathrm{0,}k\right)}$, ${\sigma }_{ij}^{\left(\mathrm{0,}k\right)}$ – скорости деформаций и напряжения в связующем, определенные в той же системе координат. Равенство (3.7) является следствием одинакового удлинения арматуры и связующего материала в направлении армирования волокнами k-го семейства. Соотношения (3.8) – это условия непрерывности напряжений на боковых поверхностях волокон.

Согласно правилу преобразования компонентов тензоров второго ранга при повороте системы координат [37], равенства (3.8) при учете (2.9) и (3.6) принимают вид:

${\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}={\sigma }_{ij}^{\left(\mathrm{0,}k\right)}\equiv {\widehat{\sigma }}_{\alpha \beta }^{\left(0\right)}{\widehat{l}}_{i\alpha }^{\left(k\right)}{\widehat{l}}_{j\beta }^{\left(k\right)}={\widehat{\sigma }}_{\delta }^{\left(0\right)}{\widehat{l}}_{i\delta }^{\left(k\right)}{\widehat{l}}_{j\delta }^{\left(k\right)},i,j=\overline{\mathrm{1,}3}$ кроме $i=j=\mathrm{1,}1\le k\le K$. (3.9)

Напряжения в арматуре k-го семейства должны удовлетворять условию текучести (2.4) при $k\ge 1$. Подставляя (3.9) в (2.4), получим квадратное уравнение относительно напряжения ${\sigma }_{11}^{\left(k\right)}$:

$a_{1111}^{\left(k\right)}{\left({\sigma }_{11}^{\left(k\right)}\right)}^2+B_k{\sigma }_{11}^{\left(k\right)}+C_k=\mathrm{0,}1\le k\le K$, (3.10)

где

$\begin{array}{l}{B}_k\equiv 2\sum _{m=2}^3{a}_{11mm}^{\left(k\right)}{\sigma }_{mm}^{\left(k\right)}+2\sum _{i,j=\overline{\mathrm{1,3}}}^{i\ne j}{a}_{11ij}^{\left(k\right)}{\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}+b_{11}^{\left(k\right)}\\ C_k\equiv \sum _{l=2}^3\sum _{m=2}^3{a}_{llmm}^{\left(k\right)}{\sigma }_{ll}^{\left(k\right)}{\sigma }_{mm}^{\left(k\right)}+2\sum _{m=2}^3{\sigma }_{mm}^{\left(k\right)}\sum _{i,j=\overline{\mathrm{1,3}}}^{i\ne j}{a}_{mmij}^{\left(k\right)}{\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}+2\sum _{i,j=\overline{\mathrm{1,3}}}^{i\ne j}{a}_{ijij}^{\left(k\right)}{\left({\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}\right)}^2+\\ +8\left(a_{1213}^{\left(k\right)}{\sigma }_{12}^{\left(k\right)}{\sigma }_{13}^{\left(k\right)}\right.+a_{1223}^{\left(k\right)}{\sigma }_{12}^{\left(k\right)}{\sigma }_{23}^{\left(k\right)}+\left.a_{1323}^{\left(k\right)}{\sigma }_{13}^{\left(k\right)}{\sigma }_{23}^{\left(k\right)}\right)+\sum _{m=2}^3{b}_{mm}^{\left(k\right)}{\sigma }_{mm}^{\left(k\right)}+\sum _{i,j=\overline{\mathrm{1,3}}}^{i\ne j}{b}_{ij}^{\left(k\right)}{\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}-1\end{array}$. (3.11)

Решение уравнения (3.10) имеет вид

${\sigma }_{11}^{\left(k\right)}=\frac{-B_k\pm \sqrt{B_k^2-4a_{1111}^{\left(k\right)}{C}_k}}{2a_{1111}^{\left(k\right)}},1\le k\le K$, (3.12)

Коэффициенты уравнения (3.10) и его решение (3.12) зависят от пяти углов $\overline{\alpha }$, $\overline{\beta }$, $\overline{\gamma }$, $\theta$ и $\phi$, как это следует из равенств (3.1), (3.5), (3.6), (3.9) и (3.11). Таким образом, из (3.9) и (3.12) получаем известные параметрические зависимости

${\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}={\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}\left(\overline{\alpha },\overline{\beta },\overline{\gamma },\theta ,\phi \right),i,j=\overline{\mathrm{1,}3},1\le k\le K$, (3.13)

определенные в локальной системе координат $O{x}_1^{\left(k\right)}{x}_2^{\left(k\right)}{x}_3^{\left(k\right)}$.

Знак “$\pm$” в соотношениях (3.12) однозначно выбирается из кинематического условия (3.7) (подробности выбора приведены ниже).

4. Определение условия текучести для композитной среды, усредненных напряжений и скоростей деформаций. Из ассоциированного закона течения следует, что скорости деформаций k-го компонента композиции, определенные в локальной системе координат $O{x}_1^{\left(k\right)}{x}_2^{\left(k\right)}{x}_3^{\left(k\right)}$, равны [41, 42, 44]

${\epsilon }_{ij}^{\left(k\right)}={\lambda }_k\frac{\partial f_k}{\partial {\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}}={\lambda }_k{\xi }_{ij}^{\left(k\right)},{\xi }_{ij}^{\left(k\right)}\equiv \frac{\partial f_k}{\partial {\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}},i,j=\overline{\mathrm{1,3}},{\lambda }_k\ge \mathrm{0,}0\le k\le K$, (4.1)

где ${\lambda }_k$ – неопределенный множитель, $f_k$ – функция текучести k-го компонента композиции.

Из формул (2.4) и (4.1) получим

${\xi }_{ij}^{\left(k\right)}=2a_{ij\alpha \beta }^{\left(k\right)}{\sigma }_{\alpha \beta }^{\left(k\right)}+b_{ij}^{\left(k\right)},i,j=\overline{\mathrm{1,3}},0\le k\le K$. (4.2)

Из соотношений, аналогичных (4.1), при учете равенств (2.9), (2.11) и (2.13) вытекает

${\widehat{\xi }}_{ij}^{\left(0\right)}=2{\widehat{a}}_{ij\alpha \beta }^{\left(0\right)}{\widehat{\sigma }}_{\alpha \beta }^{\left(0\right)}+{\widehat{b}}_{ij}^{\left(0\right)}=2{\widehat{a}}_{ij\alpha \alpha }^{\left(0\right)}{\widehat{\sigma }}_{\alpha }^{\left(0\right)}+{\widehat{b}}_{ij}^{\left(0\right)},i,j=\overline{\mathrm{1,3}}$. (4.3)

Выражения (4.3) записаны для связующего материала в системе координат $O{\widehat{x}}_1{\widehat{x}}_2{\widehat{x}}_3$, связанной с главными напряжениями ${\widehat{\sigma }}_i^{\left(0\right)}$ ($i=\overline{\mathrm{1,}3}$).

Из равенств (3.7) при учете выражений (4.1) следует

${\lambda }_k{\xi }_{11}^{\left(k\right)}={\lambda }_0{\xi }_{11}^{\left(\mathrm{0,}k\right)},1\le k\le K$, (4.4)

где по аналогии с (3.9) имеем

${\xi }_{11}^{\left(\mathrm{0,}k\right)}={\widehat{\xi }}_{\alpha \beta }^{\left(0\right)}{\widehat{l}}_{1\alpha }^{\left(k\right)}{\widehat{l}}_{1\beta }^{\left(k\right)},1\le k\le K$. (4.5)

При активном нагружении k-го компонента композиции ${\lambda }_k>0$ ($0\le k\le K$), поэтому из (4.4) следует

$\text{sign}{\xi }_{11}^{\left(k\right)}=\text{sign}{\xi }_{11}^{\left(\mathrm{0,}k\right)},1\le k\le K$. (4.6)

Знак “$\pm$” в выражении (3.12) выбирается таким, чтобы выполнялось равенство (4.6) при учете (4.2), (4.3) и (4.5).

Из равенств (4.4) следует

${\lambda }_k={\lambda }_0{\xi }_{11}^{\left(\mathrm{0,}k\right)}/{\xi }_{11}^{\left(k\right)},1\le k\le K$. (4.7)

Согласно допущению 4, усредненные скорости деформаций ${\widehat{\epsilon }}_{ij}$ и напряжения ${\widehat{\sigma }}_{ij}$ в композиции в системе координат $O{\widehat{x}}_1{\widehat{x}}_2{\widehat{x}}_3$ определяются так:

${\widehat{\epsilon }}_{ij}=\sum _{k=0}^K{\omega }_k{\widehat{\epsilon }}_{ij}^{\left(k\right)},i,j=\overline{\mathrm{1,3}}$ (4.8)

${\widehat{\sigma }}_{ij}=\sum _{k=0}^K{\omega }_k{\widehat{\sigma }}_{ij}^{\left(k\right)},i,j=\overline{\mathrm{1,}3}$, (4.9)

где по аналогии с (3.6), учитывая, что тензор ${\widehat{l}}_{ij}^{\left(k\right)}$ является ортогональным, а значит обратный к нему тензор совпадает с транспонированным тензором ${\widehat{l}}_{ji}^{\left(k\right)}$, имеем

${\widehat{\epsilon }}_{ij}^{\left(k\right)}={\epsilon }_{\alpha \beta }^{\left(k\right)}{\widehat{l}}_{\alpha i}^{\left(k\right)}{\widehat{l}}_{\beta j}^{\left(k\right)},{\widehat{\sigma }}_{ij}^{\left(k\right)}={\sigma }_{\alpha \beta }^{\left(k\right)}{\widehat{l}}_{\alpha i}^{\left(k\right)}{\widehat{l}}_{\beta j}^{\left(k\right)},i,j=\overline{\mathrm{1,}3},1\le k\le K$. (4.10)

Подставляя выражения, аналогичные (4.1), в (4.10) и учитывая (4.7), из (4.8) получим

${\widehat{\epsilon }}_{ij}=\sum _{k=0}^K{\omega }_k{\lambda }_k{\widehat{\xi }}_{ij}^{\left(k\right)}={\lambda }_0\sum _{k=0}^K{\omega }_k{\widehat{\xi }}_{ij}^{\left(k\right)}{\xi }_{11}^{\left(\mathrm{0,}k\right)}/{\xi }_{11}^{\left(k\right)}={\lambda }_0{\widehat{\xi }}_{ij},i,j=\overline{\mathrm{1,3}}$, (4.11)

где

${\widehat{\xi }}_{ij}\equiv \sum _{k=0}^K{\omega }_k{\widehat{\xi }}_{ij}^{\left(k\right)}{\xi }_{11}^{\left(\mathrm{0,}k\right)}/{\xi }_{11}^{\left(k\right)},{\widehat{\xi }}_{ij}^{\left(k\right)}={\xi }_{\alpha \beta }^{\left(k\right)}{\widehat{l}}_{\alpha i}^{\left(k\right)}{\widehat{l}}_{\beta j}^{\left(k\right)},i,j=\overline{\mathrm{1,3}}({\xi }_{11}^{\left(\mathrm{0,0}\right)}/{\xi }_{11}^{\left(0\right)}\equiv 1)$. (4.12)

Соотношения (4.11) и (4.9) при учете (4.5), (4.10) и (4.12), а также (4.2), (4.3), (3.13), (3.6), (2.9), (2.10), (2.12), (3.1), (3.3) и (3.5) задают пятипараметрическое (от углов $\overline{\alpha }$, $\overline{\beta }$, $\overline{\gamma }$, $\theta$ и $\phi$) представление компонентов тензора усредненных скоростей деформаций ${\widehat{\epsilon }}_{ij}$ и напряжений ${\widehat{\sigma }}_{ij}$ в рассматриваемой композиции. Соотношения (4.9) и (4.11) получены в локальной системе координат $O{\widehat{x}}_1{\widehat{x}}_2{\widehat{x}}_3$. Для вычисления компонент тензоров усредненных скоростей деформаций ${\overline{\epsilon }}_{ij}$ и напряжений ${\overline{\sigma }}_{ij}$ в композиции в глобальной системе $O{\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3$ (см. рис. 2) следует применить формулы пересчета компонентов тензора при повороте системы координат [37]:

${\overline{\epsilon }}_{ij}={\lambda }_0{\overline{\xi }}_{ij},{\overline{\xi }}_{ij}={\widehat{\xi }}_{\alpha \beta }{\overline{l}}_{\alpha i}{\overline{l}}_{\beta j},i,j=\overline{\mathrm{1,3}}$ (4.13)

${\overline{\sigma }}_{ij}={\widehat{\sigma }}_{\alpha \beta }{\overline{l}}_{\alpha i}{\overline{l}}_{\beta j},i,j=\overline{\mathrm{1,3}}$, (4.14)

где учтены выражения (4.12) и (4.9); ${\overline{l}}_{ij}$ – направляющие косинусы (2.10).

Соотношения (4.14) при учете (2.10), (4.9), (4.10), (3.13) и (3.6) задают пятипараметрическое (от углов $\overline{\alpha }$, $\overline{\beta }$, $\overline{\gamma }$, $\theta$ и $\phi$) представление гиперповерхности текучести пространственно армированного КМ в шестимерном пространстве усредненных напряжений ${\overline{\sigma }}_{ij}={\overline{\sigma }}_{ji}$ ($i,j=\overline{\mathrm{1,}3}$), определенных в глобальной системе координат $O{\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3$. Равенства (4.13) определяют зависимости усредненных скоростей деформаций композиции  от этих же пяти угловых параметров $\overline{\alpha }$, $\overline{\beta }$, $\overline{\gamma }$, $\theta$ и $\phi$.

5. Плоско-перекрестное армирование жесткопластического КМ. Тонкостенные КМ-конструкции типа пластин и оболочек, как правило, перекрестно армируются по поверхностям, эквидистантным срединной поверхности (плоскости) [1, 3–5, 14–21, 35–39]. В этом случае направления осей $O{x}_3^{\left(k\right)}$ и $O{\overline{x}}_3$ совпадают, а локальная система координат $O{x}_1^{\left(k\right)}{x}_2^{\left(k\right)}{x}_3^{\left(k\right)}$ связана с волокном k-го семейства так, как показано на рис. 2,b, где изображен случай при (см. рис. 2,a)

${\theta }_k=\pi /\mathrm{2,}1\le k\le K$. (5.1)

В системе $O{\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3$ направляющие косинусы ${\overline{l}}_{ij}^{\left(k\right)}$ осей $O{x}_i^{\left(k\right)}$ ($i,j=\overline{\mathrm{1,3}}$) определяются из (2.2) при учете (5.1). При рассматриваемом армировании справедливы соотношения (3.7) и (3.8). Напряжения ${\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}$ в k-м компоненте композиции при переходе от глобальной системы координат $O{\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3$ к локальной системе $O{x}_1^{\left(k\right)}{x}_2^{\left(k\right)}{x}_3^{\left(k\right)}$ определяются по формулам, аналогичным (3.9):

${\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}={\overline{\sigma }}_{\alpha \beta }^{\left(k\right)}{\overline{l}}_{i\alpha }^{\left(k\right)}{\overline{l}}_{j\beta }^{\left(k\right)},i,j=\overline{\mathrm{1,}3},0\le k\le K$. (5.2)

Используя равенства (3.8) при $j=3$, учитывая при этом (2.1), (2.2), (5.1), (5.2) и аналог (3.9)

${\sigma }_{ij}^{\left(k\right)}={\sigma }_{ij}^{\left(\mathrm{0,}k\right)}={\overline{\sigma }}_{\alpha \beta }^{\left(0\right)}{\overline{l}}_{i\alpha }^{\left(k\right)}{\overline{l}}_{j\beta }^{\left(k\right)},i,j=\overline{\mathrm{1,}3}$ кроме $i=j=\mathrm{1,}0\le k\le K$

и повторяя рассуждения из [13] (см. там соотношения (5.2)–(5.5)), получим

${\overline{\sigma }}_{i3}^{\left(k\right)}={\overline{\sigma }}_{i3},i=\overline{\mathrm{1,3}},0\le k\le K$. (5.3)

Известно, что в тонкостенных элементах КМ-конструкций, как правило, реализуется обобщенное ПНС или близкое к нему. Поэтому далее будем предполагать, что ось $O{\overline{x}}_3$ (см. рис. 2,b) совпадает с одним из направлений главных напряжений в композиции, т. е.

${\overline{\sigma }}_{13}={\overline{\sigma }}_{23}=0$. (5.4)

Пусть ${\overline{\sigma }}_{33}^0$ – некоторое заданное значение нормального напряжения ${\overline{\sigma }}_{33}$ (при ${\overline{\sigma }}_{33}^0=0$ получаем случай ПНС). Также считаем

${\overline{\sigma }}_{33}={\overline{\sigma }}_{33}^0=\text{const}$. (5.5)

Из равенств (5.3) при учете (5.4) и (5.5) имеем

${\overline{\sigma }}_{13}^{\left(k\right)}={\overline{\sigma }}_{23}^{\left(k\right)}=\mathrm{0,}0\le k\le K$ (5.6)

${\overline{\sigma }}_{33}^{\left(k\right)}={\overline{\sigma }}_{33}^0,0\le k\le K$. (5.7)

Из соотношений (5.6) следует, что в рамках используемых допущений при плоско-перекрестном армировании КМ в случае выполнения условий (5.4) ось $O{\overline{x}}_3$ также совпадает с $O{x}_3^{\left(k\right)}$ – одним из направлений главных напряжений в k-м компоненте композиции, в котором нормальное напряжение ${\overline{\sigma }}_{33}^{\left(k\right)}$ известно в силу выполнения равенств (5.7).

Соотношения (5.6) справедливы и для связующего (при k =0). Поэтому локальная система координат $O{\widehat{x}}_1{\widehat{x}}_2{\widehat{x}}_3$, связанная с направлениями главных напряжений в связующем, получается из глобальной системы $O{\overline{x}}_1{\overline{x}}_2{\overline{x}}_3$ поворотом ее на некоторый угол, обозначенный как $\overline{\alpha }$, вокруг оси $O{\overline{x}}_3=O{\widehat{x}}_3$. Тогда направляющие косинусы ${\overline{l}}_{ij}$ локальной оси $O{\widehat{x}}_i$ ($i,j=\overline{\mathrm{1,3}}$) определяются по формулам (2.10), в которых следует принять $\overline{\beta }=\overline{\gamma }=0$ и учесть, что $0\le \overline{\alpha }<2\pi$.

Если напряжение ${\overline{\sigma }}_{33}^0=0$ (ПНС), то из третьего равенства (3.1) при учете (2.9), (3.4) и (5.7) (${\widehat{\sigma }}_3^0={\overline{\sigma }}_{33}^0$) получим (см. рис. 3)

$\theta =\pi /2({\overline{\sigma }}_{33}^0=0)$. (5.8)

Далее решение рассматриваемой задачи строится так же, как и в предыдущем разделе 4, но при учете (5.8). Следовательно, при ПНС в трехмерном пространстве ненулевых напряжений ${\overline{\sigma }}_{11}$, ${\overline{\sigma }}_{12}$ и ${\overline{\sigma }}_{22}$ (см. (5.4) и (5.5) при ${\overline{\sigma }}_{33}^0=0$) получим двухпараметрическое (от углов $\overline{\alpha }$ и $\phi$) представление поверхности текучести для плоско-перекрестно армированной композитной среды. При этом в случае общей анизотропии хотя бы одного из компонентов композиции даже при ПНС тензор усредненных скоростей деформаций композиции будет иметь ненулевыми все компоненты (${\overline{\epsilon }}_{ij}\ne 0$, $i,j=\overline{\mathrm{1,}3}$), что следует из (4.13), (4.11), (4.8), (4.2) и (4.3) даже при выполнении равенств (5.4) и (5.5), где ${\overline{\sigma }}_{33}^0=0$.

Если ${\overline{\sigma }}_{33}^0\ne 0$, то $\theta \ne \pi /2$, а из третьего равенства (3.1) при учете (2.9), (3.4), (5.7) и ${\widehat{\sigma }}_3^{\left(0\right)}={\overline{\sigma }}_{33}^{\left(0\right)}={\overline{\sigma }}_{33}^0$ следует

$r_0={\overline{\sigma }}_{33}^0/\cos \theta ({\overline{\sigma }}_{33}^0\ne \mathrm{0,}\cos \theta \ne 0)$. (5.9)

Из (5.9) и двух первых равенств (3.1) имеем

${\widehat{\sigma }}_1^{\left(0\right)}\equiv {\widehat{\sigma }}_1^{\left(0\right)}\left(\theta ,\phi \right)={\overline{\sigma }}_{33}^0\text{tg}\theta \cos \phi ,{\widehat{\sigma }}_2^{\left(0\right)}\equiv {\widehat{\sigma }}_2^{\left(0\right)}\left(\theta ,\phi \right)={\overline{\sigma }}_{33}^0\text{tg}\theta \sin \phi$. (5.10)

Подставим (5.10) в условие текучести (2.13) и учтем соотношения (5.7), где ${\widehat{\sigma }}_3^{\left(0\right)}={\overline{\sigma }}_{33}^{\left(0\right)}={\overline{\sigma }}_{33}^0$. Тогда для $\text{tg}\theta$ получим квадратное уравнение:

$a_0\left(\phi \right){\text{tg}}^{\text{2}}\theta +b_0\left(\phi \right)\text{tg}\theta +c_0=0$ (5.11)

$\begin{array}{l}{a}_0\left(\phi \right)\equiv {\left({\overline{\sigma }}_{33}^0\right)}^2\left({\widehat{a}}_{1111}^{\left(0\right)}{\cos }^2\phi +{\widehat{a}}_{2222}^{\left(0\right)}{\sin }^2\phi +{\widehat{a}}_{1122}^{\left(0\right)}\sin 2\phi \right)\\ b_0\left(\phi \right)\equiv {\overline{\sigma }}_{33}^0\left({\widehat{b}}_{11}^{\left(0\right)}\cos \phi +{\widehat{b}}_{22}^{\left(0\right)}\sin \phi \right)+2{\left({\overline{\sigma }}_{33}^0\right)}^2\left({\widehat{a}}_{1133}^{\left(0\right)}\cos \phi +{\widehat{a}}_{2233}^{\left(0\right)}\sin \phi \right)\\ c_0\equiv {\widehat{a}}_{3333}^{\left(0\right)}{\left({\overline{\sigma }}_{33}^0\right)}^2+{\widehat{b}}_{33}^{\left(0\right)}{\overline{\sigma }}_{33}^0-1=\text{const.}\end{array}$ (5.12)

Уравнение (5.11) при учете (5.12) имеет решение:

$\text{tg}\theta \left(\phi \right)=\frac{-b_0\left(\phi \right)\pm \sqrt{b_0^2\left(\phi \right)-4a_0\left(\phi \right)c_0}}{2a_0\left(\phi \right)},0\le \theta \le \pi$. (5.13)

В силу (3.4) из (5.9) следует

$\text{sign}\left(\cos \theta \left(\phi \right)\right)=\text{sign\hspace{0.17em}}{\overline{\sigma }}_{33}^0,0\le \theta \le \pi$. (5.14)

Знак “±” в (5.13) выбирается из условия выполнения равенства (5.14).

Из (5.10) и (5.13) получим

${\widehat{\sigma }}_i^{\left(0\right)}={\widehat{\sigma }}_i^{\left(0\right)}\left({\overline{\sigma }}_{33}^0,\phi \right),{\widehat{\sigma }}_3^{\left(0\right)}={\overline{\sigma }}_{33}^0=\text{const}\ne \mathrm{0,}i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}0\le \phi <2\pi$. (5.15)

Далее решение рассматриваемой задачи строится так же, как и в предыдущем разделе 4, но при учете соотношений (5.15).

Таким образом, при заданном значении ${\overline{\sigma }}_{33}^0\ne 0$ в трехмерном пространстве ненулевых напряжений (см. (5.4)) имеем двухпараметрическое (от углов $\overline{\alpha }$ и $\phi$) представление поверхности текучести плоско-перекрестно армированной композиции. Отметим, что разным значениям ${\overline{\sigma }}_{33}^0\ne 0$ соответствуют разные трехмерные поверхности текучести. Если материалы компонентов композиции одинаково сопротивляются растяжению и сжатию, т. е. $b_{ij}^{\left(k\right)}=0$, $i,j=\overline{\mathrm{1,}3}$, $0\le k\le K$ (см. (2.4)), то при ${\overline{\sigma }}_{33}^0=0$ (ПНС) получим решение, которое совпадает с построенным в [45]. Величина ${\overline{\sigma }}_{33}^0$ определяется из граничных условий задач для конкретных элементов конструкций.

6. Численные примеры в случае плоско-перекрестного симметричного армирования. Рассмотрим случай, когда при плоско-перекрестном армировании (см. (5.1)) в КМ уложено четное количество семейств волокон ($K=2N$) и для каждого семейства определено парное ему семейство. Волокна парных семейств изготовлены из одного материала, имеют одинаковые плотности армирования (${\omega }_{2k-1}={\omega }_{2k}$) и уложены симметрично относительно оси $O{\overline{x}}_1$: ${\phi }_{2k-1}=-{\phi }_{2k}$, $1\le k\le N$ (рис. 4).

Рис. 4. Волокна двух семейств, плоско-симметрично уложенных относительно направлений главных напряжений в композиции при ПНС.

Предполагается, что материалы всех компонентов композиции ортотропны, причем главные оси анизотропии совпадают с осями локальных систем координат $O{x}_1^{\left(k\right)}{x}_2^{\left(k\right)}{x}_3^{\left(k\right)}$, т.е. справедливы выражения (2.6)–(2.8). При этом для каждой пары семейств волокон выполняются равенства: $y_{i+}^{(2k-1)}=y_{i+}^{\left(2k\right)},$ $y_{i-}^{(2k-1)}=y_{i-}^{\left(2k\right)},$ $y_{ij}^{(2k-1)}=y_{ij}^{\left(2k\right)}$ и ${\tau }_{ij}^{(2k-1)}={\tau }_{ij}^{\left(2k\right)}$ ($i\ne j,$ $i,j=\overline{\mathrm{1,}3},$ $1\le k\le N).$

В рассматриваемом случае плоского армирования следует учесть (5.6) и (5.7), из которых вытекают равенства ${\sigma }_{13}^{\left(k\right)}={\sigma }_{23}^{\left(k\right)}=0$ и ${\sigma }_{33}^{\left(k\right)}={\sigma }_{33}^0$ ($0\le k\le K$), что и необходимо подставить в соотношения (2.6).

Исследуем частный случай нагружения КМ, когда оси $O{\overline{x}}_i$ совпадают с направлениями главных напряжений тензора усредненных напряжений в композиции, т. е. вместе с (5.4) выполняется равенство ${\overline{\sigma }}_{12}\equiv 0$. В силу допущения 1, выполнения равенств (2.3) и симметрии структуры армирования относительно осей $O{\overline{x}}_1$ и $O{\overline{x}}_2$ (см. рис. 4) эти оси будут совпадать с направлениями главных напряжений в связующем материале. Поэтому каждая ось $O{\overline{x}}_i$ совпадает с осью $O{\widehat{x}}_i$ ($i=\overline{\mathrm{1,}3}$). Это значит, что выполняются не только равенства (5.6) (при $k=0$), но и условие ${\overline{\sigma }}_{12}^{\left(0\right)}={\widehat{\sigma }}_{12}^{\left(0\right)}\equiv 0$. Следовательно, $\overline{\alpha }=\overline{\beta }=\overline{\gamma }=0$ в (2.10). Далее решение задачи строится так же, как и в предыдущем разделе. Но при этом в пространстве главных усредненных напряжений ${\overline{\sigma }}_{11}$ и ${\overline{\sigma }}_{22}$ получится кривая текучести КМ, определяемая параметрически через параметр $\phi$ (см. (3.1), (5.15) и рис. 3). Геометрия этой кривая в общем случае зависит от значения напряжения ${\overline{\sigma }}_{33}^0$ (см. (5.5)).

Случаи такого армирования и нагружения КМ часто встречаются в практических приложениях, например при осесимметричном деформировании волокнистых кольцевых пластин и круговых оболочек, армированных перекрестно-симметрично относительно радиального или меридионального направлений. Следовательно, построение кривых текучести для таких композиций является актуальной проблемой.

На рис. 5 изображены расчетные кривые текучести для ортотропного связующего материала в пространстве безразмерных напряжений ${\sigma }_{i\ast }^{\left(0\right)}={\sigma }_i^{\left(0\right)}/y_{1-}^{\left(0\right)}$, совпадающих по направлению с осями анизотропии $O{x}_i^{\left(0\right)}$ (i = 1,2). При этом в (2.8) принято

$\begin{array}{l}{y}_{1+}^{\left(0\right)}=\mathrm{1,35}{y}_{1-}^{\left(0\right)},y_{2+}^{\left(0\right)}=\mathrm{1,2}{y}_{1-}^{\left(0\right)},y_{2-}^{\left(0\right)}=\mathrm{1,1}{y}_{1-}^{\left(0\right)},y_{3+}^{\left(0\right)}=\mathrm{1,25}{y}_{1-}^{\left(0\right)}\\ y_{3-}^{\left(0\right)}=\mathrm{1,15}{y}_{1-}^{\left(0\right)},y_{12}^{\left(0\right)}=\sqrt{y_{1+}^{\left(0\right)}{y}_{2-}^{\left(0\right)}/A^{\left(0\right)}},y_{i3}^{\left(0\right)}=\sqrt{y_{i+}^{\left(0\right)}{y}_{3-}^{\left(0\right)}/3},i=\mathrm{1,}2\end{array}$, (6.1)

где $A^{\left(0\right)}$ – некоторые числа (см. ниже). Соотношения значений пределов текучести, указанных в (6.1), ориентировочно соответствуют магниевому сплаву МА2 [44].

Рис. 5. Кривые текучести ортотропного связующего материала, соответствующие разным значениям характеристики пластичности ${\mathit{y}}_{\mathbf{12}}^{\mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right)}}$ и разным напряжениям обжатия ${\overline{\mathbf{\sigma }}}_{\mathbf{33}}^{\mathbf{0}}$.

Кривая 1 на рис. 5 рассчитана при значении $A^{\left(0\right)}=3$ (см. (6.1)), кивая 2 – при $A^{\left(0\right)}=3,5,$ а кивая 3 – при $A^{\left(0\right)}=2.5.$ Эти кривые соответствуют ПНС (${\sigma }_{33}^0=0$). Кривые 1′, 2′ и 3′ получены при тех же значениях $A^{\left(0\right)}$, что и кривые 1, 2 и 3 соответственно, но при обжатии материала в направлении ${\sigma }_{33}^0=-0.5y_{3-}^{\left(0\right)}$, а именно при $O\overline{x_3}$. Все кривые на рис. 5 представляют собой эллипсы. Сравнение кривых 1, 2 и 3 или 1′, 2′ и 3′ позволяет проследить за качественным и количественным изменением кривой текучести ортотропного материала, по разному сопротивляющегося растяжению и сжатию, при варьировании значения характеристики пластичности $y_{12}^{\left(0\right)}$ в случаях отсутствия (${\sigma }_{33}^0=0$) или наличия (${\sigma }_{33}^0<0$) обжатия. Поведение кривых на рис. 5 свидетельствует о том, что как варьирование параметра $y_{12}^{\left(0\right)}$ так и наличие обжатия материала существенно сказываются на форме и размерах кривой текучести в пространстве главных напряжений ${\sigma }_2^{\left(0\right)}$ и ${\sigma }_1^{\left(0\right)}$.

На рис. 6 и 7 изображены расчетные кривые текучести для композитных сред, состоящих из ортотропного связующего материала с характеристиками пластичности (6.1), армированного двумя (K = 2) семействами волокон с относительными параметрами пластичности:

$\begin{array}{l}{y}_{1+}^{\left(k\right)}=\mathrm{15,5}{y}_{1-}^{\left(0\right)},y_{1-}^{\left(k\right)}=\mathrm{13,5}{y}_{1-}^{\left(0\right)},y_{i+}^{\left(k\right)}=\mathrm{14,5}{y}_{1-}^{\left(0\right)},y_{i-}^{\left(k\right)}=14y_{1-}^{\left(0\right)},\\ y_{12}^{\left(k\right)}={\sqrt{y_{1+}^{\left(k\right)}{y}_{2-}^{\left(k\right)}/A^{\left(k\right)},}}^{}{y}_{i3}^{\left(k\right)}=\sqrt{y_{i+}^{\left(k\right)}{y}_{3-}^{\left(k\right)}/3},{\tau }_{12}^{\left(k\right)}=\sqrt{y_{1+}^{\left(k\right)}{y}_{2-}^{\left(k\right)}/B^{\left(k\right)}},\\ {\tau }_{i3}^{\left(k\right)}=\sqrt{y_{i+}^{\left(k\right)}{y}_{3-}^{\left(k\right)}/3},i=\mathrm{2,}\mathrm{3,}k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\end{array}$ (6.2)

где $A^{\left(k\right)}$, $B^{\left(k\right)}$ – некоторые числа (см. ниже); $y_{1-}^{\left(0\right)}$ имеет тот же смысл, что и в (6.1). Соотношения значений пределов текучести, указанных в (6.2), ориентировочно соответствуют монотропной стальной проволоке [21, 44], главная ось анизотропии в которой совпадает с продольным направлением.

Рис. 6. Кривые текучести при ортогональном армировании вдоль направлений главных напряжений в композиции при ${\overline{\mathbf{\sigma }}}_{\mathbf{33}}^{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{0}$ (a), ${\overline{\mathbf{\sigma }}}_{\mathbf{33}}^{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{9}{\mathit{y}}_{\mathbf{3}\mathbf{-}}^{\mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right)}}$ (b) и ${\overline{\mathbf{\sigma }}}_{\mathbf{33}}^{\mathbf{0}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{9}{\mathit{y}}_{\mathbf{3}\mathbf{-}}^{\mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right)}}$ (c).