АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗГИБА ПЛАСТИНЫ ДЛЯ СИЛЬНО ОРТОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА

Методика асимптотического осреднения была развита для трехмерных уравнений в частных производных с быстро осциллирующими коэффициентами. Например, для уравнений теории упругости. Затем была модифицирована и применялась к тонким телам в виде пластин (однородных или неоднородных, с ровными лицевыми поверхностями или нет), описываемых трехмерной теорией упругости. В этих случаях асимптотические решения строились относительно одного малого параметра, обычно являющегося отношением толщины пластины к характерному размеру в плане. Методика осреднения в таком случае также понижает размерности задачи, т.е. сводит трехмерную краевую задачу к некоторой двумерной.

В данной работе приводится обоснование применения метода к задаче с двумя малыми параметрами в случае однородной тонкой сильно ортотропной пластины, изгибаемой поверхностной нагрузкой без учета массовых сил. Вторым малым параметром является отношение поперечных модулей упругости к модулям в плане пластины. Показано, что сильная ортотропия эквивалентна увеличению толщины эквивалентной пластины.

Описана процедура получения распределения напряжений по толщине пластины для трех приближений. Первое приближение дает классическую теорию Кирхгофа, называемую также теорией Кирхгофа–Лява, а третье приближение совпадает с теорией Амбарцумяна и позволяет находить поперечные сдвиговые и нормальное напряжения. Рассмотрение цилиндрического изгиба дает возможность найти решения в рамках классических теорий пластин в виде формул, так же как и три приближения асимптотической теории, что упрощает сравнение. Рассмотрены примеры, когда осредненные ортотропные модули взяты для однослойного волокнистого композита.