Пространственная динамика в семействе дифференциальных уравнений шестого порядка из теории структурообразования

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Тема работы. Изучаются ограниченные стационарные (то есть не зависящие от времени) пространственноодномерные решения квазилинейного параболического уравнения с частными производными, рассматриваемого на всей числовой прямой. Его стационарные решения описываются нелинейным дифференциальным уравнением 6-го порядка, имеющим тип уравнения Эйлера–Лагранжа–Пуассона, и поэтому приводимого к гамильтоновой системе с тремя степенями свободы, которая также обратима относительно двух линейных инволюций. Система имеет три симметричных состояния равновесия, два из которых являются гиперболическими в некоторой области значений параметров. Цель работы. В работе, комбинируя методы теории динамических систем и численные методы, исследуется поведение траекторий в окрестности симметричного гетероклинического контура, основанного на этих состояниях равновесия, показано существование как простых траекторий (периодических), так и траекторий со сложным поведением. Для этого, в частности, используется теорема о глобальном инвариантном многообразии для гетероклинического контура. Для симметричного состояния равновесия в начале координат найдена область параметров, где оно является седло-фокус-центром, показано существование гомоклинических траекторий этого состояния равновесия, долго-периодических траекторий в их окрестности, а также траекторий со сложным поведением.

Об авторах

Николай Евгеньевич Кулагин

Институт физических проблем им. П.Л. Капицы Российской Академии Наук

119334, Россия, Москва, ул. Косыгина, 2

Лев Михайлович Лерман

Высшая школа экономики; Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)

ORCID iD: 0000-0002-8913-1888
SPIN-код: 3299-3474
Scopus Author ID: 7006428382
ResearcherId: E-8279-2013
101000, Россия, Москва, ул. Мясницкая, 20

Список литературы

  1. Bates P. W., Fife P. C., Gardner R. A., Jones C. K. R. T. The existence of traveling wave solutions of a generalized phase-field model // SIAM J. Math. Anal. 1997. Vol. 28, no. 1. P. 60–93. doi: 10.18500/0869-6632-00313710.1137/S0036141095283820.
  2. Caginalp G., Fife P. Higher-order phase field models and detailed anisotropy // Phys. Rev. B. 1986. Vol. 34, iss. 7. P. 4940–4943. doi: 10.1103/PhysRevB.34.4940.
  3. Tersian S., Shaparova Yu. Periodic and homoclinic solutions of some semilinear sixth-order differential equations // J. Math. Analysis Appl. 2002. Vol. 272, iss. 1. P. 223–239. doi: 10.1016/S0022-247X(02)00153-1.
  4. Peletier L. A., Troy W. C., Van der Vorst R. C. A. M. Stationary solutions of a fourth-order nonlinear diffusion equation // Differential Equations. 1995. Vol. 31, no. 2. P. 301–314.
  5. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики // В кн.: Динамические системы. Т. 3. Итоги науки и техники, сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985. C. 5–290.
  6. Koltsova O. Yu., Lerman L. M. Families of transverse Poincare homoclinic orbits in 2N-dimensional Hamiltonian systems close to the system with a loop to a saddle-center // Intern. J. Bifurcation & Chaos. 1996. Vol. 6, no. 6. P. 991–1006. doi: 10.1142/S0218127496000540.
  7. Шильников Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Матем. сб. 1970. Т. 81, № 1. С. 92-103.
  8. Kulagin N. E., Lerman L. M., Trifonov K. N. Twin heteroclinic connections of reversible systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2024. Vol. 29, no. 1, 40–64. doi: 10.1134/S1560354724010040.
  9. Vanderbauwhede A., Fiedler B. Homoclinic period blow-up in reversible and conservative systems // Z. Angew. Math. Phys. 1992. Vol. 43. P. 292-318. doi: 10.1007/BF00946632.
  10. Ibanez S., Rodrigues A. On the dynamics near a homoclinic network to a bifocus: Switching and horseshoes // Int. J. of Bifurc. and Chaos. 2015. Vol. 25, no. 11. P. 1530030. doi: 10.1142/S021812741530030X.
  11. Галин Д. М. Версальные деформации линейных гамильтоновых систем // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1975. Т. 1. С. 63–74.
  12. Gaivao J. P., Gelfreich V. Splitting of separatrices for the Hamiltonian-Hopf bifurcation with the Swift–Hohenberg equation as an example // Nonlinearity. 2011. Vol. 24, no. 3. P. 677—698. doi: 10.1088/0951-7715/24/3/002.
  13. Glebsky L. Yu., Lerman L. M. On small stationary localized solutions for the generalized 1-D Swift-Hohenberg equation // Chaos: Interdisc. J Nonlin. Sci. 1995. Vol. 5, no. 2. P. 424–431. doi: 10.1063/1.166142.
  14. van der Meer J.-C. The Hamiltonian Hopf Bifurcation. Vol. 1160 of Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1985. 115 p. doi: 10.1007/BFb0080357.
  15. Iooss G., Perou eme M. C. Perturbed homoclinic solutions in reversible 1:1 resonance vector fields // J. Diff. Equat. 1993. Vol. 102. P. 62–88.
  16. Homburg A. J. Global aspects of homoclinic bifurcations of vector fields // Memoirs of AMS. 1996. Vol. 121. P. 578. doi: 10.1090/memo/0578.
  17. Sandstede B. Center manifolds for homoclinic solutions // J. Dyn. Differ. Equ. 2000. Vol. 12, no. 3. P. 449–510. doi: 10.1023/A:1026412926537.
  18. Тураев Д. В., Об одном случае бифуркаций контура, образованного гомоклиническими кривыми седла // В кн.: «Методы качественной теории дифференциальных уравнений» / Под ред. Е. А. Леонтович-Андронова. Горький: Горьковский госуниверситет, 1984. C. 162–175.
  19. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Т. 1. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.
  20. Lerman L. Homo- and heteroclinic orbits, hyperbolic subsets in a one-parameter unfolding of a Hamiltonian system with heteroclinic contour with two saddle-foci // Regul. & Chaotic Dynamics. 1997. Vol. 2, no. 3-4. P. 139–155.
  21. Беляков Л. А., Шильников Л. П. Гомоклинические кривые и сложные уединенные волны // В кн.: «Методы качественной теории дифференциальных уравнений» / Под ред. Е. А. Леонтович-Андронова. Горький: Горьковский госуниверситет, 1985. C. 22–35.
  22. Devaney R. Homoclinic orbits in Hamiltonian systems // J. Diff. Equat. 1976. Vol. 21. P. 431–439. doi: 10.1016/0022-0396(76)90130-3.
  23. Lerman L. M. Complex dynamics and bifurcations in Hamiltonian systems having the transversal homoclinic orbit to a saddle-focus // Chaos: Interdisc. J. Nonlin. Sci. 1991. Vol. 1, no. 2. P. 174–180. doi: 10.1063/1.165859.
  24. Lerman L. Dynamical phenomena near a saddle-focus homoclinic connection in a Hamiltonian system // J. Stat. Physics. 2000. Vol. 101, no. 1–2. P. 357–372. doi: 10.1023/A:1026411506781.
  25. Turaev D. V. On dimension of non-local bifurcation problems // Int. J. Bif.& Chaos. 1996. Vol. 6, no. 5. P. 919–948. doi: 10.1142/S0218127496000515.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».