Spatial dynamics in the family of sixth-order differential equations from the theory of partial formation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Topic of the paper. Bounded stationary (i.e. independent in time) spatially one-dimensional solutions of a quasilinear parabolic PDE are studied on the whole real line. Its stationary solutions are described by a nonlinear ODE of the sixth order of the Euler–Lagrange–Poisson type and therefore can be transformed to the Hamiltonian system with three degrees of freedom being in addition reversible with respect two linear involutions. The system has three symmetric equilibria, two of them are hyperbolic in some region of the parameter plane. Goal of the paper. In this paper we, combining methods of dynamical systems theory and numerical simulations, investigate the orbit behavior near the symmetric heteroclinic connection based on these equilibria. It was found both simple (periodic) and complicated orbit behavior. To this end we use the theorem on a global center manifold near the heteroclinic connection. For the third symmetric equilibrium at the origin we found the region in the parameter plane where this equilibrium is of the saddle-focus-center type and found the existence of its homoclinic orbits, long-periodic orbits near homoclinic orbits and orbits with complicated structure.

About the authors

Nikolaj Evgenevich Kulagin

P.L. Kapitza Institute for Physical Problems of Russian Academy of Sciences

ul. Kosygina, 2, Moscow, 119334, Russia

Lev Mikhailovich Lerman

National Research University "Higher School of Economics"; Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod

ORCID iD: 0000-0002-8913-1888
SPIN-code: 3299-3474
Scopus Author ID: 7006428382
ResearcherId: E-8279-2013
ul. Myasnitskaya 20, Moscow, 101000, Russia

References

  1. Bates P. W., Fife P. C., Gardner R. A., Jones C. K. R. T. The existence of traveling wave solutions of a generalized phase-field model // SIAM J. Math. Anal. 1997. Vol. 28, no. 1. P. 60–93. doi: 10.18500/0869-6632-00313710.1137/S0036141095283820.
  2. Caginalp G., Fife P. Higher-order phase field models and detailed anisotropy // Phys. Rev. B. 1986. Vol. 34, iss. 7. P. 4940–4943. doi: 10.1103/PhysRevB.34.4940.
  3. Tersian S., Shaparova Yu. Periodic and homoclinic solutions of some semilinear sixth-order differential equations // J. Math. Analysis Appl. 2002. Vol. 272, iss. 1. P. 223–239. doi: 10.1016/S0022-247X(02)00153-1.
  4. Peletier L. A., Troy W. C., Van der Vorst R. C. A. M. Stationary solutions of a fourth-order nonlinear diffusion equation // Differential Equations. 1995. Vol. 31, no. 2. P. 301–314.
  5. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики // В кн.: Динамические системы. Т. 3. Итоги науки и техники, сер. «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления». М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985. C. 5–290.
  6. Koltsova O. Yu., Lerman L. M. Families of transverse Poincare homoclinic orbits in 2N-dimensional Hamiltonian systems close to the system with a loop to a saddle-center // Intern. J. Bifurcation & Chaos. 1996. Vol. 6, no. 6. P. 991–1006. doi: 10.1142/S0218127496000540.
  7. Шильников Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Матем. сб. 1970. Т. 81, № 1. С. 92-103.
  8. Kulagin N. E., Lerman L. M., Trifonov K. N. Twin heteroclinic connections of reversible systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2024. Vol. 29, no. 1, 40–64. doi: 10.1134/S1560354724010040.
  9. Vanderbauwhede A., Fiedler B. Homoclinic period blow-up in reversible and conservative systems // Z. Angew. Math. Phys. 1992. Vol. 43. P. 292-318. doi: 10.1007/BF00946632.
  10. Ibanez S., Rodrigues A. On the dynamics near a homoclinic network to a bifocus: Switching and horseshoes // Int. J. of Bifurc. and Chaos. 2015. Vol. 25, no. 11. P. 1530030. doi: 10.1142/S021812741530030X.
  11. Галин Д. М. Версальные деформации линейных гамильтоновых систем // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1975. Т. 1. С. 63–74.
  12. Gaivao J. P., Gelfreich V. Splitting of separatrices for the Hamiltonian-Hopf bifurcation with the Swift–Hohenberg equation as an example // Nonlinearity. 2011. Vol. 24, no. 3. P. 677—698. doi: 10.1088/0951-7715/24/3/002.
  13. Glebsky L. Yu., Lerman L. M. On small stationary localized solutions for the generalized 1-D Swift-Hohenberg equation // Chaos: Interdisc. J Nonlin. Sci. 1995. Vol. 5, no. 2. P. 424–431. doi: 10.1063/1.166142.
  14. van der Meer J.-C. The Hamiltonian Hopf Bifurcation. Vol. 1160 of Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1985. 115 p. doi: 10.1007/BFb0080357.
  15. Iooss G., Perou eme M. C. Perturbed homoclinic solutions in reversible 1:1 resonance vector fields // J. Diff. Equat. 1993. Vol. 102. P. 62–88.
  16. Homburg A. J. Global aspects of homoclinic bifurcations of vector fields // Memoirs of AMS. 1996. Vol. 121. P. 578. doi: 10.1090/memo/0578.
  17. Sandstede B. Center manifolds for homoclinic solutions // J. Dyn. Differ. Equ. 2000. Vol. 12, no. 3. P. 449–510. doi: 10.1023/A:1026412926537.
  18. Тураев Д. В., Об одном случае бифуркаций контура, образованного гомоклиническими кривыми седла // В кн.: «Методы качественной теории дифференциальных уравнений» / Под ред. Е. А. Леонтович-Андронова. Горький: Горьковский госуниверситет, 1984. C. 162–175.
  19. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Т. 1. Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2004.
  20. Lerman L. Homo- and heteroclinic orbits, hyperbolic subsets in a one-parameter unfolding of a Hamiltonian system with heteroclinic contour with two saddle-foci // Regul. & Chaotic Dynamics. 1997. Vol. 2, no. 3-4. P. 139–155.
  21. Беляков Л. А., Шильников Л. П. Гомоклинические кривые и сложные уединенные волны // В кн.: «Методы качественной теории дифференциальных уравнений» / Под ред. Е. А. Леонтович-Андронова. Горький: Горьковский госуниверситет, 1985. C. 22–35.
  22. Devaney R. Homoclinic orbits in Hamiltonian systems // J. Diff. Equat. 1976. Vol. 21. P. 431–439. doi: 10.1016/0022-0396(76)90130-3.
  23. Lerman L. M. Complex dynamics and bifurcations in Hamiltonian systems having the transversal homoclinic orbit to a saddle-focus // Chaos: Interdisc. J. Nonlin. Sci. 1991. Vol. 1, no. 2. P. 174–180. doi: 10.1063/1.165859.
  24. Lerman L. Dynamical phenomena near a saddle-focus homoclinic connection in a Hamiltonian system // J. Stat. Physics. 2000. Vol. 101, no. 1–2. P. 357–372. doi: 10.1023/A:1026411506781.
  25. Turaev D. V. On dimension of non-local bifurcation problems // Int. J. Bif.& Chaos. 1996. Vol. 6, no. 5. P. 919–948. doi: 10.1142/S0218127496000515.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).