Том 61, № 2 (2025)

Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с положительным параметром и разрывной правой частью, меняющей знак в точке скачка, исследованы различные краевые задачи, в том числе со смешанными и периодическими краевыми условиями. Доказаны теоремы о существовании периодических решений изучаемых краевых задач. Полученные результаты проиллюстрированы на примерах.

Для оператора Штурма–Лиувилля на полуоси с комплексным убывающим потенциалом, допускающим аналитическое продолжение в некоторую окрестность нуля, получен и доказан аналог теоремы Амбарцумяна.

Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с выделенной главной положительно однородной нелинейностью исследована априорная оценка периодических решений фиксированного периода. Найдены новые условия, обеспечивающие априорную оценку, в которых влияние свойств главной нелинейной части, включая её множество нулей, опосредовано функциональными оценками сверху и снизу. Выполнимость новых условий проверена для трёх видов нелинейностей.

Исследовано асимптотическое поведение при больш´их значениях независимой переменной фундаментальной системы решений линейных дифференциальных уравнений, порождённых симметричным двухчленным дифференциальным выражением произвольного нечётного порядка, в зависимости от коэффициентов при старшей производной и свободном члене.

Рассмотрено сингулярное ультрагиперболическое уравнение (Δ𝐵𝛽)𝑦𝑢 = (Δ𝐵𝛾)𝑥𝑢 в предположении, что выполнено условие И.А. Киприянова: дробные размерности входящих в уравнение Δ𝐵𝛾-операторов равны одному и тому же положительному числу 𝜎. Изучены три типа решений радиальной задачи Коши, один из них — на основе оператора T-псевдосдвига, обобщённого T-сдвига и метода С.А. Терсенова определения решений уравнений, вырождающихся на границе. Приведены формулы Пуассона решения задачи Коши для уравнения Эйлера–Пуассона–Дарбу при различных значениях параметров в данном уравнении.

Рассмотрен вопрос численного решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено задачам, имеющим на интегральных кривых предельные особые точки. Известно, что традиционные явные методы решения задачи Коши малоэффективны для указанного класса задач. Неявные же методы многократно сложнее в использовании и не всегда приводят к результату желаемой точности. Поэтому совместно с традиционными методами численного интегрирования задачи Коши применяется метод продолжения решения по наилучшему аргументу (наилучшая параметризация, метод длины дуги), отсчитываемому по касательной вдоль интегральной кривой рассматриваемой задачи. В данной статье для преобразованных к наилучшему аргументу задач Коши приведены результаты исследования локальной погрешности численного решения, полученного явным методом Эйлера, выведена её оценка, с использованием которой найдена верхняя оценка локальной погрешности и доказано уменьшение локальной погрешности решения преобразованной задачи в окрестности предельных особых точек по сравнению с решением исходной задачи. Теоретические результаты согласуются с численным решением плохо обусловленной начальной задачи механики деформируемого твёрдого тела с одной предельной особой точкой.

Исследован вопрос существования положительного решения двухточечной краевой задачи с однородными почти симметричными граничными условиями для одного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения четвёртого порядка.