POISSON FORMULA FOR SOLVING THE RADIAL CAUCHY PROBLEM FOR A SINGULAR ULTRAHYPERBOLIC EQUATION

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The singular ultrahyperbolic equation (Δ𝐵𝛽)𝑦𝑢= (Δ𝐵𝛾)𝑥𝑢 is considered under the assumption that the I.A. Kipriyanov condition is satisfied, where fractional dimensions of the Δ𝐵𝛾 -operators included in the equation are equal to the same positive number 𝜎. Three types of solutions to the radial Cauchy problem are studied, one of them is based on the T-pseudoshift operator, generalized T-shift and S.A. Tersenov’s method for determining solutions to equations that degenerate on the boundary. Poisson formulas for solving the Cauchy problem for the Euler–Poisson–Darboux equation are given for various values of the parameters in this equation.

About the authors

L. N Lyakhov

Voronezh State University; Lipetsk State Pedagogical University named after P.P. Semenov-Tyan-Shansky; Yelets State University named after I.A. Bunin

Email: levnlya@mail.ru

Yu. N Bulatov

Yelets State University named after I.A. Bunin

Email: y.bulatov@bk.ru

References

  1. Lyakhov, L.N. and Sanina, E.L., Differential and integral operations in hidden spherical symmetry and the dimension of the Koch curve, Math. Notes, 2023, vol. 113, no. 4, pp. 502–511.
  2. Lyakhov, L.N. and Sanina, E.L., Kipriyanov–Beltrami operator with negative dimension of the Bessel operators and the singular Dirichlet problem for the 𝐵-harmonic equation, Differ. Equat., 2020, vol. 56, no. 12, pp. 1564–1574.
  3. Kipriyanov, I.A., Singulyarnye ellipticheskie kraevye zadachi (Singular Elliptic Boundary Value Problems), Moscow: Nauka, 1997.
  4. Mandelbrot, B., The Fractal Geometry of Nature, United States: Henry Holt and Co., 1983.
  5. Metzler, R. Fractional model equation for anomalous diffusion / R. Metzler, W.G. Gl¨ockle, Th.F. Nonnenmacher // Phys. A: Stat. Mech. Appl. — 1994. — V. 211, № 1. — P. 13–24.
  6. Levitan, B.M., Expansion into Fourier series and integrals in Bessel functions, Usp. Mat. Nauk, 1951, vol. 6, no. 2 (42), pp. 102–143.
  7. Lyakhov, L.N., Polovinkin, I.P., and Shishkina, E.L., On a Kipriyanov problem for a singular ultrahyperbolic equation, Differ. Equat., 2014, vol. 50, no. 4, pp. 516–528.
  8. Lyakhov, L.N., Bulatov, Yu.N., Roshchupkin, S.A., and Sanina, E.L., Pseudoshift and the fundamental solution of the Kipriyanov Δ𝐵-operator, Differ. Equat., 2022, vol. 58, no. 12, pp. 1639–1650.
  9. Sabitov, K.B. and Zaitseva, N.V., The second initial-boundary value problem for a 𝐵-hyperbolic equation, Russ. Math., 2019, vol. 63, no. 10, pp. 66–76.
  10. Sabitov, K.B. and Zaitseva, N.V., Initial value problem for 𝐵-hyperbolic equation with integral condition of the second kind, Differ. Equat., 2018, vol. 54, no. 1, pp. 121–133.
  11. Sabitov, K.B., On the uniform convergence of the expansion of a function in the Fourier–Bessel range, Russ. Math., 2022, vol. 66, no. 11, pp. 79–85.
  12. Lyakhov, L.N., Sanina, E.L., Roshchupkin, S.A., and Bulatov, Yu.N., Fundamental solution of a singular Bessel differential operator with a negative parameter, Russ. Math., 2023, vol. 67, no. 7, pp. 43–54.
  13. Levitan, B.M., Teoriya operatorov obobshchennogo sdviga (Theory of Generalized Shift Operators), Moscow: Nauka, 1973.
  14. Levitan, B.M., Application of generalized shift operators to second-order linear differential equations, Usp. Mat. Nauk, 1949, vol. 4, no. 1 (29), pp. 3–112.
  15. Kipriyanov, I.A. and Klyuchantsev, M.I., Singular integrals that are generated by a generalized shift operator, Siberian Math. J., 1970, vol. 11, no. 5, pp. 787–804.
  16. Shishkina, E.L., Uniqueness of the solution of the Cauchy problem for the general Euler–Poisson–Darboux equation, Differ. Equat., 2022, vol. 58, no. 12, pp. 1673–1679.
  17. Tersenov, S.A., Vvedeniye v teoriyu uravneniy, vyrozhdayushchikhsya na granitse (Introduction to the Theory of Equations that Degenerate at the Boundary), Novosibirsk: NSU, 1973.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».