Том 60, № 4 (2024)

Предложен новый подход к исследованию прямых и обратных задач для сингулярно возмущённого уравнения теплопроводности с нелинейно зависящей от температуры тепловой диффузией, основанный на развитии и использовании методов асимптотического анализа в нелинейных сингулярно возмущённых задачах реакция–диффузия–адвекция. Суть подхода рассмотрена на примере класса одномерных стационарных задач с нелинейными граничными условиями, для которого выделен случай применимости асимптотического анализа. Сформулированы достаточные условия существования классических решений погранслойного типа и типа контрастных структур, построены асимптотические приближения произвольного порядка точности таких решений, обоснованы алгоритмы построения формальных асимптотик и исследована асимптотическая устойчивость по Ляпунову стационарных решений с пограничными и внутренними слоями как решений соответствующих параболических задач. Рассмотрен класс нелинейных задач, учитывающих боковой теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона. Доказана теорема существования и единственности классического решения с пограничными слоями в задачах такого типа. В качестве приложений исследования представлены методы решения конкретных прямой и обратной задач нелинейного теплообмена, связанных с повышением эффективности эксплуатации прямолинейных нагревательных элементов в плавильных печах — теплообменниках: расчёт тепловых полей в нагревательных элементах и метод восстановления коэффициентов тепловой диффузии и теплообмена по данным моделирования. Ключевые слова: уравнение теплопроводности с нелинейной тепловой диффузией, задача нелинейной теплопроводности, задача нелинейного теплообмена, сингулярно возмущённая задача, решение с пограничными и внутренними переходными слоями, тепловая структура, асимптотический метод, коэффициентная обратная задача теплообмена.

Рассматривается нелинейная задача на собственные значения для системы трёх уравнений с краевыми условиями первого рода, описывающая распространение электромагнитных волн в плоском нелинейном волноводе. Такая задача является двухпараметрической с одним спектральным параметром и вторым параметром, возникающим из-за дополнительного условия, связывающего постоянные интегрирования, которые появляются при нахождении первых интегралов системы. Доказывается существование нелинеаризуемых решений задачи.

Для любого конечного множества неотрицательных чисел, содержащего нуль, построена двумерная линейная однородная дифференциальная система (периодическая, если все элементы заданного множества попарно соизмеримы), у которой спектры показателей колеблемости знаков, нулей, корней и гиперкорней совпадают с этим множеством, причём все значения указанных показателей существенны.

Получены двусторонние априорные оценки решения однородного вольтерровского интегро-дифференциального уравнения третьего порядка со степенной нелинейностью и разностным ядром. Показано, что нижняя априорная оценка, играющая роль весовой функции при построении метрики в конусе пространства непрерывных функций, неулучшаема. С помощью этих оценок методом весовых метрик (аналог метода А. Белицкого) доказана глобальная теорема о существовании, единственности и способе нахождения нетривиального решения в классе неотрицательных непрерывных на положительной полуоси функций начальной задачи для указанного интегро-дифференциального уравнения. Показано, что решение можно найти методом последовательных приближений, получена оценка скорости их сходимости к точному решению. Приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

Построен цифровой регулятор, стабилизирующий непрерывную переключаемую линей ную систему с соизмеримыми запаздываниями в управлении при медленных пере ключениях. Стабилизация последовательно включает в себя построение переключаемой непрерывно-дискретной замкнутой системы с цифровым регулятором; переход к её дискретной модели, представимой в виде переключаемой системы с режимами различ ных порядков; одновременную стабилизацию подсистем полученной дискретной модели и расчёт времени задержки, обеспечивающего устойчивость исходной переключаемой системы, замкнутой найденным регулятором.