Том 61, № 4 (2025)

В работах И.А. Лаппо-Данилевского были исследованы, в частности, решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности изолированного полюса произвольного конечного порядка. Для фундаментальной матрицы решений такой системы был получен ряд, абсолютно сходящийся в выколотой (кольцевой) окрестности полюса. При этом для числовых коэффициентов указанного ряда, не зависящих от вида системы уравнений, были найдены рекуррентные соотношения достаточно сложного вида. В настоящей работе впервые получены явные формулы для этих коэффициентов. Приведён пример использования результатов для нахождения следа матрицы монодромии произвольной регулярной особой точки (полюса первого порядка) указанной системы уравнений в виде ряда, являющегося целой функцией элементов постоянной матрицы.

В гильбертовом пространстве 𝐿2[0,+∞) исследован оператор Штурма–Лиувилля, порождаемый дифференциальным выражением специального вида, содержащим дельта-функцию Дирака, с нулевым краевым условием. Доказано, что собственные значения 𝜆𝑛 этого оператора удовлетворяют определённым неравенствам. Решён вопрос о расположении первого собственного значения 𝜆1 в зависимости от параметров возмущения, в частности, найдены условия, при которых 𝜆1 становится отрицательным.

Исследована краевая задача для стационарных уравнений магнитной гидродинамики вязкой теплопроводящей жидкости с переменными коэффициентами с условием Дирихле для скорости и смешанными краевыми условиями для параметров электромагнитного поля и температуры. Установлены достаточные условия на исходные данные, обеспечивающие глобальную разрешимость указанной задачи и локальную устойчивость её решения.

Для гиперболического биволнового уравнения с нелинейными младшими членами, заданного в первом квадранте евклидова пространства, рассматривается смешанная задача, в которой на пространственной полуоси задаются условия Коши, а на временн´ой — условия Дирихле и Вентцеля. Решение строится методом характеристик в неявном виде как решение некоторых интегро-дифференциальных уравнений. С помощью метода продолжения по параметру и априорных оценок проводятся исследования разрешимости этих уравнений, а также зависимости от начальных данных и гладкости их решений. Для рассматриваемой задачи доказывается единственность решения и устанавливаются условия существования её классического решения. При невыполнении условий согласования ставится задача с условиями сопряжения, а при недостаточно гладких данных находится её слабое решение.

Исследуются вопросы устойчивости и бифуркаций в системе реакция–диффузия в ограниченной области с однородными краевыми условиями Неймана. Основные результатыстатьи касаются задач о локальных бифуркациях в окрестностях пространственно однородных положений равновесия. Предлагается общая схема, позволяющая получитьновые формулы для исследования основных характеристик бифуркации кратного равновесия и бифуркации Андронова–Хопфа: достаточные признаки бифуркаций, их тип,приближённое построение решений, анализ устойчивости. Предлагаемые подходы нетребуют сложных и громоздких преобразований, полученные результаты доведены дорасчётных формул и алгоритмов. Обсуждаются также некоторые приложения в задачах о диффузионной неустойчивости и соответствующих бифуркаций в системахреакция–диффузия. В качестве основного иллюстративного примера рассматриваетсяраспределённая модель брюсселятора.

Получена оценка снизу для гиперсингулярного интегрального оператора типа Кальдерона–Зигмунда, связанного с задачами перидинамики. Тем самым установлено, чтонайденная ранее оценка сверху является точной.