Meromorphy of solutions for a system of $N$ equations of Painleve 34 type related to negative symmetries of the Korteweg–de Vries equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We prove the property of meromorphic extendability for every local holomorphic solution of a system of nonlinear nonautonomous ordinary differential equations. This system is a vector generalization of Painleve's 34 equation (which is in its turn equivalent to the second Painleve equation) and coincides with the stationary part of a symmetry of the Korteweg–de Vries equation obtained as the sum of the stationary parts of the classical Galilean symmetry and $N$ negative symmetries of this integrable evolutionary equation.

About the authors

Andrei Victorovich Domrin

Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russia; Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences, Ufa, Russia

Author for correspondence.
Email: domrin@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Bulat Irekovich Suleimanov

Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences, Ufa, Russia

Email: bisul@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

References

  1. А. В. Домрин, “Тау-функции решений солитонных уравнений”, Изв. РАН. Сер. матем., 85:3 (2021), 30–51
  2. В. И. Громак, “Свойство Пенлеве и деформация линейных дифференциальных систем. I”, Вестник БГУ. Сер. 1, 2011, № 3, 107–117
  3. А. В. Домрин, Б. И. Сулейманов, М. А. Шумкин, “О глобальной мероморфности решений уравнений Пенлеве и их иерархий”, Труды МИАН, 311, Анализ и математическая физика (2020), 106–122
  4. A. Hinkkanen, I. Laine, “Solutions of the first and second Painleve equations are meromorphic”, J. Anal. Math., 79 (1999), 345–377
  5. N. Steinmetz, Nevanlinna theory, normal families, and algebraic differential equations, Universitext, Springer, Cham, 2017, xviii+235 pp.
  6. V. I. Gromak, I. Laine, S. Shimomura, Painleve differential equations in the complex plane, De Gruyter Stud. Math., 28, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2002, viii+303 pp.
  7. I. Laine, “Complex differential equations”, Handbook of differential equations: ordinary differential equations, v. IV, Handb. Differ. Equ., Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2008, 269–363
  8. A. В. Домрин, “О голоморфных решениях уравнений типа Кортевега–де Фриза”, Тр. ММО, 73, № 2, МЦНМО, М., 2012, 241–257
  9. A. В. Домрин, “Голоморфные решения солитонных уравнений”, Тр. ММО, 82, № 2, МЦНМО, М., 2021, 227–312
  10. U. Mugan, A. Pickering, “The Cauchy problem for the second member of a $mathrm{P_{IV}}$ hierarchy”, J. Phys. A, 42:8 (2009), 085203, 11 pp.
  11. S. Shimomura, “Painleve property of a degenerate Garnier system of (9/2)-type and of a certain fourth order non-linear ordinary differential equation”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 29:1 (2000), 1–17
  12. S. Shimomura, “A certain expression of the first Painleve hierarchy”, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci., 80:6 (2004), 105–109
  13. A. V. Domrin, M. A. Shumkin, B. I. Suleimanov, “Meromorphy of solutions for a wide class of ordinary differential equations of Painleve type”, J. Math. Phys., 63:2 (2022), 023501, 18 pp.
  14. В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Родионов, Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике, Наука, Новосибирск, 1994, 319 с.
  15. M. V. Pavlov, “The Gurevich–Zybin system”, J. Phys. A, 38:17 (2005), 3823–3840
  16. А. В. Гуревич, К. П. Зыбин, “Крупномасштабная структура Вселенной. Аналитическая теория”, УФН, 165:7 (1995), 723–758
  17. K. R. Khusnutdinova, H. Steudel, “Second harmonic generation: Hamiltonian structures and particular solutions”, J. Math. Phys., 39:7 (1998), 3754–3764
  18. С. А. Ахманов, В. А. Выслоух, А. С. Чиркин, Оптика фемтосекундных лазерных импульсов, Наука, М., 1988, 312 с.
  19. H. Steudel, C. Figueira de Morisson Faria, M. G. A. Paris, A. M. Kamchatnov, O. Steuernagel, “Second harmonic generation: the solution for an amplitude-modulated initial pulse”, Opt. Commun., 150:1-6 (1998), 363–371
  20. A. M. Kamchatnov, M. V. Pavlov, “On generating functions in the AKNS hierarchy”, Phys. Lett. A, 301:3-4 (2002), 269–274
  21. V. E. Adler, “Negative flows for several integrable models”, J. Math. Phys., 65:2 (2024), 023502, 12 pp.
  22. A. Yu. Orlov, S. Rauch-Wojciechowski, “Dressing method, Darboux transformation and generalized restricted flows for the KdV hierarchy”, Phys. D, 69:1-2 (1993), 77–84
  23. V. E. Adler, M. P. Kolesnikov, “Non-autonomous reductions of the KdV equation and multi-component analogs of the Painleve equations $mathrm P_{34}$ and $mathrm P_3$”, J. Math. Phys., 64:10 (2023), 101505, 9 pp.
  24. V. E. Adler, “Nonautonomous symmetries of the KdV equation and step-like solutions”, J. Nonlinear Math. Phys., 27:3 (2020), 478–493
  25. Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, “Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток. Дифференциальная геометрия и гамильтонова теория”, УМН, 44:6(270) (1989), 29–98
  26. Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 2-е изд., испр. и перераб., Наука, М., 1961, 704 с.
  27. Р. Конт, М. Мюзетт, Метод Пенлеве и его приложения, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2011, 340 с.
  28. А. Н. Кузнецов, “Дифференцируемые решения вырождающихся систем обыкновенных уравнений”, Функц. анализ и его прил., 6:2 (1972), 41–51
  29. А. М. Ильин, Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Наука, М., 1989, 336 с.
  30. Е. В. Громак, В. И. Громак, “О мероморфных решениях уравнений, связанных с нестационарной иерархией второго уравнения Пенлеве”, Журн. Белорус. гос. ун-та. Матем. Инф., 3 (2023), 19–31
  31. Б. И. Сулейманов, И. Т. Хабибуллин, “Cимметрии уравнения Кадомцева–Петвиашвили, изомонодромные деформации и “нелинейные” обобщения специальных функций волновых катастроф”, ТМФ, 97:2 (1993), 213–226
  32. S. P. Balandin, V. V. Sokolov, “On the Painleve test for non-Abelian equations”, Phys. Lett. A, 246:3-4 (1998), 267–272
  33. В. Э. Адлер, В. В. Соколов, “О матричных уравнениях Пенлеве PII”, ТМФ, 207:2 (2021), 188–201
  34. I. A. Bobrova, V. V. Sokolov, “On matrix Painleve-4 equations”, Nonlinearity, 35:12 (2022), 6528–6556
  35. A. В. Домрин, “О решениях матричного нелинейного уравнения Шрeдингера”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 62:6 (2022), 951–964
  36. М. А. Шумкин, “О решениях матричных солитонных уравнений”, ТМФ, 215:1 (2023), 3–15
  37. H. Kimura, “The degeneration of the two dimensional Garnier system and the polynomial Hamiltonian structure”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 155 (1989), 25–74
  38. H. Kawamuko, “On the Garnier system of half-integer type in two variables”, Funkcial. Ekvac., 52:2 (2009), 181–201
  39. H. Kawakami, A. Nakamura, H. Sakai, Degeneration scheme of 4-dimensional Painleve-type equations

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Domrin A.V., Suleimanov B.I.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).