Distribution of zeros of entire functions with subharmonic majorants

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Restrictions on the distribution of the zeros of entire functions $f\ne0$ on the complex plane are established under upper bounds $\ln |f|\leqslant M$ by subharmonic functions $M$ on $\mathbb C$. These bounds make up a broad scale of inequalities for various characteristics of the distribution of the zeros of $f$ in terms of relevant characteristics of the distribution of the Riesz masses of the subharmonic function $M$. Various classes of generalized convex functions of the argument ($p$-trigonometrically convex functions) or modulus ($p$-power convex functions) of the complex variable are used as test objects in these integral inequalities. From the restrictions obtained uniqueness theorems are deduced, from which all similar results that are known in the case when no additional special restrictions are imposed on the distribution of the zeros can be derived. The results are sharp in the sense of their sensitivity to the addition or removal of a single zero. Subharmonic versions of these results are also obtained for functions on a disc.

About the authors

Bulat Nurmievich Khabibullin

Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences, Ufa, Russia

Author for correspondence.
Email: khabib-bulat@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Б. Я. Левин, Распределение корней целых функций, ГИТТЛ, М., 1956, 632 с.
  2. B. Ya. Levin, Lectures on entire functions, In collab. with Yu. Lyubarskii, M. Sodin, V. Tkachenko, transl. from the Russian manuscript, Transl. Math. Monogr., 150, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1996, xvi+248 pp.
  3. Б. Н. Хабибуллин, Е. Г. Кудашева, А. Е. Салимова, “Критерии полноты экспоненциальной системы в геометрических терминах ширины в направлении”, Дифференциальные уравнения и математическая физика, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 225, ВИНИТИ РАН, М., 2023, 150–159
  4. Б. Н. Хабибуллин, Е. Г. Кудашева, Р. Р. Мурясов, “Полнота экспоненциальных систем в пространствах функций в терминах периметра”, Материалы Воронежской международной зимней математической школы “Современные методы теории функций и смежные проблемы”, Воронеж, 27 января – 1 февраля 2023 г. Часть 1, Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 227, ВИНИТИ РАН, М., 2023, 79–91
  5. Б. Н. Хабибуллин, Е. Г. Кудашева, “Полнота экспоненциальных систем в пространствах функций в терминах площади”, Материалы Воронежской международной весенней математической школы “Современные методы краевых задач. Понтрягинские чтения–XXXIV”, Воронеж, 3–9 мая 2023 г. Часть 4, Итоги науки и техн. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., 233, ВИНИТИ РАН, М., 2024, 107–117
  6. И. И. Привалов, “Обобщение формулы Jensen'a. I”, Изв. АН СССР. VII сер. Отд. матем. и естеств. наук, 1935, № 6-7, 837–847
  7. И. И. Привалов, Субгармонические функции, ОНТИ НКТП СССР, М.–Л., 1937, 200 с.
  8. У. Хейман, П. Кеннеди, Субгармонические функции, Мир, М., 1980, 304 с.
  9. Б. Н. Хабибуллин, “Интегралы от разности субгармонических функций по мерам и характеристика Неванлинны”, Матем. сб., 213:5 (2022), 126–166
  10. А. Ф. Гришин, К. Г. Малютин, Тригонометрически выпуклые функции, Юго-Западный гос. ун-т, Курск, 2015, 146 с.
  11. К. Г. Малютин, Введение в теорию тригонометрически выпуклых функций, Физматлит, М., 2024, 248 с.
  12. Л. С. Маергойз, Асимптотические характеристики целых функций и их приложения в математике и биофизике, Наука, Новосибирск, 1991, xiv+274 с.
  13. А. Ф. Гришин, М. Л. Содин, “Рост по лучу, распределение корней по аргументам целой функции конечного порядка и одна теорема единственности”, Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 50, Вища школа, Харьков, 1988, 47–61
  14. Б. Н. Хабибуллин, “Множества единственности в пространствах целых функций одной переменной”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:5 (1991), 1101–1123
  15. Б. Н. Хабибуллин, “Теорема единственности для субгармонических функций конечного порядка”, Матем. сб., 182:6 (1991), 811–827
  16. Б. Н. Хабибуллин, “Полнота систем целых функций в пространствах голоморфных функций”, Матем. заметки, 66:4 (1999), 603–616
  17. Б. Н. Хабибуллин, Полнота систем экспонент и множества единственности, 4-е изд., РИЦ БашГУ, Уфа, 2012, xvi+176 с.
  18. B. N. Khabibullin, F. B. Khabibullin, “Zeros of holomorphic functions in the unit disk and $rho$-trigonometrically convex functions”, Anal. Math. Phys., 9:3 (2019), 1087–1098
  19. G. Valiron, “Fonctions convexes et fonctions entières”, Bull. Soc. Math. France, 60 (1932), 278–287
  20. E. F. Beckenbach, “Generalized convex functions”, Bull. Amer. Math. Soc., 43:6 (1937), 363–371
  21. E. F. Beckenbach, R. H. Bing, “On generalized convex functions”, Trans. Amer. Math. Soc., 58 (1945), 220–230
  22. A. W. Roberts, D. E. Varberg, Convex functions, Pure Appl. Math., 57, Academic Press, New York–London, 1973, xx+300 pp.
  23. Б. Н. Хабибуллин, Ф. Б. Хабибуллин, “К распределению нулевых множеств голоморфных функций. III. Теоремы обращения”, Функц. анализ и его прил., 53:2 (2019), 42–58
  24. B. N. Khabibullin, F. B. Khabibullin, “Necessary and sufficient conditions for zero subsets of holomorphic functions with upper constraints in planar domains”, Lobachevskii J. Math., 42:4 (2021), 800–810
  25. Н. С. Ландкоф, Основы современной теории потенцила, Наука, М., 1966, 515 с.
  26. Л. К. Эванс, К. Ф. Гариепи, Теория меры и тонкие свойства функции, Научная книга (ИДМИ), Новосибирск, 2002, 216 с.
  27. T. Ransford, Potential theory in the complex plane, London Math. Soc. Stud. Texts, 28, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995, x+232 pp.
  28. B. N. Khabibullin, R. R. Muryasov, “Mixed volumes/areas and completeness of exponential and other systems”, Материалы Воронежской международной весенней математической школы {“}Современные методы краевых задач. Понтрягинские чтения–XXXI” (Воронеж, 3–9 мая 2020 г.), Изд. дом ВГУ, Воронеж, 2020, 253–254
  29. Р. Р. Мурясов, Б. Н. Хабибуллин, “Полнота систем экспонент в пространствах голоморфных функций, $p$-тригонометрическая и $p$-степенная выпуклость и смешанные площади”, Международная научная конференция “Комплексный анализ и его приложения”. Сборник материалов (Казань, 24–28 августа 2020 г.), Изд-во Казанского ун-та, Казань, 2020, 25
  30. Р. Р. Мурясов, “Субгармонические функции с разделенными переменными и их связь с функциями, выпуклыми относительно пары функций”, Изв. вузов. Матем., 2024, № 6, 49–67
  31. Т. Боннезен, В. Фенхель, Теория выпуклых тел, Фазис, М., 2002, 210 с.
  32. Л. Сантало, Интегральная геометрия и геометрические вероятности, Наука, М., 1983, 360 с.
  33. Б. Н. Хабибуллин, “О росте целых функций экспоненциального типа вдоль мнимой оси”, Матем. сб., 180:5 (1989), 706–719
  34. М. Р. Каримов, Б. Н. Хабибуллин, “Совпадение некоторых плотностей распределения множеств и полнота систем целых функций”, Труды международной конференции “Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы”, т. III, Анализ и дифференциальные уравнения, Ин-т матем. с ВЦ УНЦ РАН, Уфа, 2000, 29–34
  35. А. Е. Салимова, Б. Н. Хабибуллин, “Рост субгармонических функций вдоль прямой и распределение их мер Рисса”, Уфимск. матем. журн., 12:2 (2020), 35–48
  36. B. N. Khabibullin, N. R. Tamindarova, “Subharmonic test functions and the distribution of zero sets of holomorphic functions”, Lobachevskii J. Math., 38:1 (2017), 38–43
  37. В. И. Луценко, Р. С. Юлмухаметов, “О точности асимптотической аппроксимации субгармонических функций логарифмом модуля целой функции”, Уфимск. матем. журн., 2:3 (2010), 46–53
  38. J. W. Green, “Support, convergence, and differentiability properties of generalized convex functions”, Proc. Amer. Math. Soc., 4:3 (1953), 391–396
  39. Б. Н. Хабибуллин, “Последовательности нулей голоморфных функций, представление мероморфных функций и гармонические миноранты”, Матем. сб., 198:2 (2007), 121–160

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Khabibullin B.N.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).