Lower bound for cyclicity of hyperbolic polycycles

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Consider a monodromic hyperbolic polycycle formed by $n$ saddles and $n$ separatrix connections. Let the product of the characteristic numbers of these saddles be equal to $1$. It is shown that for any $n$, in a perturbation of this polycycle in a generic $(n+1)$-parameter family at least $n+1$ limit cycles appear.

About the authors

Andrei Valerevich Dukov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

Author for correspondence.
Email: dukov@mi-ras.ru
without scientific degree, no status

References

  1. А. А. Андронов, Е. А. Леонтович, И. И. Гордон, А. Г. Майер, Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, Наука, М., 1967, 487 с.
  2. В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов, Наука, М., 1982, 304 с.
  3. Л. А. Черкас, “О структуре функции последования в окрестности сепаратрисного цикла при возмущении аналитической автономной системы на плоскости”, Дифференц. уравнения, 17:3 (1981), 469–478
  4. Л. А. Черкас, “Об устойчивости особых циклов”, Дифференц. уравнения, 4:6 (1968), 1012–1017
  5. А. В. Дуков, “Кратности предельных циклов, рождающихся при разрушении гиперболических полициклов”, Матем. сб., 214:2 (2023), 90–111
  6. А. В. Дуков, “Бифуркации полицикла «сердце» в типичных двупараметрических семействах”, Тр. ММО, 79:2 (2018), 247–269, МЦНМО, М.
  7. А. В. Дуков, “Седловые связки”, Матем. сб., 215:11 (2024), 92–121
  8. D. Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Grad. Texts in Math., 150, Springer-Verlag, New York, 1995, xvi+785 pp.
  9. Yu. Ilyashenko, Yu. Kudryashov, I. Schurov, “Global bifurcations in the two-sphere: a new perspective”, Invent. Math., 213:2 (2018), 461–506
  10. Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, “Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей”, УМН, 46:1(277) (1991), 3–39
  11. Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, “Finite cyclicity of elementary polycycles in generic families”, Concerning the Hilbert 16th problem, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 165, Adv. Math. Sci., 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, 21–95
  12. M. A. Jebrane, A. Mourtada, “Cyclicte finie des lacets doublets non triviaux”, Nonlinearity, 7:5 (1994), 1349–1365
  13. V. Kaloshin, “The existential Hilbert 16-th problem and an estimate for cyclicity of elementary polycycles”, Invent. Math., 151:3 (2003), 451–512
  14. П. И. Каледа, И. В. Щуров, “Цикличность элементарных полициклов с фиксированным числом особых точек в типичных $k$-параметрических семействах”, Алгебра и анализ, 22:4 (2010), 57–75
  15. А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, 19-е изд., стер., Лань, СПб., 2013, 432 с.
  16. Е. А. Леонтович, Рождение предельных циклов из сепаратрисы седла, Дисс. … докт. физ.-матем. наук, ГГУ, Горький, 1946
  17. Б. Морэн, “Канонические формы особенностей дифференцируемого отображения”, Особенности дифференцируемых отображений, Мир, М., 1968, 153–163
  18. Б. Мальгранж, Идеалы дифференцируемых функций, Мир, М., 1968, 131 с.
  19. A. Mourtada, “Degenerate and non-trivial hyperbolic polycycles with two vertices”, J. Differential Equations, 113:1 (1994), 68–83
  20. A. Mourtada, Polycycles hyperboliques generiques à trois et à quatre sommets, These de Doctorat, Univ. Bourgogne, Dijon, 1990
  21. A. Mourtada, “Cyclicite finie des polycycles hyperboliques de champs de vecteurs du plan. Algorithme de finitude”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 41:3 (1991), 719–753
  22. В. Ш. Ройтенберг, Нелокальные двухпараметрические бифуркации на поверхностях, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, Ярославский гос. тех. ун-т, Ярославль, 2000, 187 с.
  23. J. W. Reyn, “Generation of limit cycles from separatrix polygons in the phase plane”, Geometrical approaches to differential equations (Scheveningen, 1979), Lecture Notes in Math., 810, Springer, Berlin, 1980, 264–289
  24. R. Roussarie, “On the number of limit cycles which appear by perturbation of separatrix loop of planar vector fields”, Bol. Soc. Brasil. Mat., 17:2 (1986), 67–101
  25. С. И. Трифонов, “Цикличность элементарных полициклов типичных гладких векторных полей”, Дифференциальные уравнения с вещественным и комплексным временем, Сборник статей, Труды МИАН, 213, Наука, М., 1997, 152–212
  26. В. А. Зорич, Математический анализ, т. 1, 10-е изд., МЦНМО, М., 2019, xii+564 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Dukov A.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».