Email this article Lower bound for cyclicity of hyperbolic polycycles
- Authors: Dukov A.V.1
-
Affiliations:
- Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
- Issue: Vol 216, No 7 (2025)
- Pages: 28-77
- Section: Articles
- URL: https://journals.rcsi.science/0368-8666/article/view/306719
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm10206
- ID: 306719
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
Consider a monodromic hyperbolic polycycle formed by $n$ saddles and $n$ separatrix connections. Let the product of the characteristic numbers of these saddles be equal to $1$. It is shown that for any $n$, in a perturbation of this polycycle in a generic $(n+1)$-parameter family at least $n+1$ limit cycles appear.
Keywords
About the authors
Andrei Valerevich Dukov
Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia
Author for correspondence.
Email: dukov@mi-ras.ru
without scientific degree, no status
References
- А. А. Андронов, Е. А. Леонтович, И. И. Гордон, А. Г. Майер, Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, Наука, М., 1967, 487 с.
- В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде, Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов, Наука, М., 1982, 304 с.
- Л. А. Черкас, “О структуре функции последования в окрестности сепаратрисного цикла при возмущении аналитической автономной системы на плоскости”, Дифференц. уравнения, 17:3 (1981), 469–478
- Л. А. Черкас, “Об устойчивости особых циклов”, Дифференц. уравнения, 4:6 (1968), 1012–1017
- А. В. Дуков, “Кратности предельных циклов, рождающихся при разрушении гиперболических полициклов”, Матем. сб., 214:2 (2023), 90–111
- А. В. Дуков, “Бифуркации полицикла «сердце» в типичных двупараметрических семействах”, Тр. ММО, 79:2 (2018), 247–269, МЦНМО, М.
- А. В. Дуков, “Седловые связки”, Матем. сб., 215:11 (2024), 92–121
- D. Eisenbud, Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Grad. Texts in Math., 150, Springer-Verlag, New York, 1995, xvi+785 pp.
- Yu. Ilyashenko, Yu. Kudryashov, I. Schurov, “Global bifurcations in the two-sphere: a new perspective”, Invent. Math., 213:2 (2018), 461–506
- Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, “Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей”, УМН, 46:1(277) (1991), 3–39
- Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, “Finite cyclicity of elementary polycycles in generic families”, Concerning the Hilbert 16th problem, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 165, Adv. Math. Sci., 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1995, 21–95
- M. A. Jebrane, A. Mourtada, “Cyclicte finie des lacets doublets non triviaux”, Nonlinearity, 7:5 (1994), 1349–1365
- V. Kaloshin, “The existential Hilbert 16-th problem and an estimate for cyclicity of elementary polycycles”, Invent. Math., 151:3 (2003), 451–512
- П. И. Каледа, И. В. Щуров, “Цикличность элементарных полициклов с фиксированным числом особых точек в типичных $k$-параметрических семействах”, Алгебра и анализ, 22:4 (2010), 57–75
- А. Г. Курош, Курс высшей алгебры, 19-е изд., стер., Лань, СПб., 2013, 432 с.
- Е. А. Леонтович, Рождение предельных циклов из сепаратрисы седла, Дисс. … докт. физ.-матем. наук, ГГУ, Горький, 1946
- Б. Морэн, “Канонические формы особенностей дифференцируемого отображения”, Особенности дифференцируемых отображений, Мир, М., 1968, 153–163
- Б. Мальгранж, Идеалы дифференцируемых функций, Мир, М., 1968, 131 с.
- A. Mourtada, “Degenerate and non-trivial hyperbolic polycycles with two vertices”, J. Differential Equations, 113:1 (1994), 68–83
- A. Mourtada, Polycycles hyperboliques generiques à trois et à quatre sommets, These de Doctorat, Univ. Bourgogne, Dijon, 1990
- A. Mourtada, “Cyclicite finie des polycycles hyperboliques de champs de vecteurs du plan. Algorithme de finitude”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 41:3 (1991), 719–753
- В. Ш. Ройтенберг, Нелокальные двухпараметрические бифуркации на поверхностях, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, Ярославский гос. тех. ун-т, Ярославль, 2000, 187 с.
- J. W. Reyn, “Generation of limit cycles from separatrix polygons in the phase plane”, Geometrical approaches to differential equations (Scheveningen, 1979), Lecture Notes in Math., 810, Springer, Berlin, 1980, 264–289
- R. Roussarie, “On the number of limit cycles which appear by perturbation of separatrix loop of planar vector fields”, Bol. Soc. Brasil. Mat., 17:2 (1986), 67–101
- С. И. Трифонов, “Цикличность элементарных полициклов типичных гладких векторных полей”, Дифференциальные уравнения с вещественным и комплексным временем, Сборник статей, Труды МИАН, 213, Наука, М., 1997, 152–212
- В. А. Зорич, Математический анализ, т. 1, 10-е изд., МЦНМО, М., 2019, xii+564 с.
Supplementary files
