On Arf-invariants in the codimension $1$ in a Wall group of the dihedral group

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

An element x">x is specified in the Wall group L3(D3)">L3(D3) of the dihedral group of order 8">8 with trivial orientation character, such that x">x is an element of the third type in the sense of Kharshiladze with respect to any system of one-sided submanifolds of codimension 1">1 for which the splitting obstruction group along the first submanifold is isomorphic to LN1(Z/2⊕Z/2→D3)">LN1(Z/2⊕Z/2→D3). The element x">x is not realisable as an obstruction to surgery on a closed PL">PL-manifold. It is also proved that the unique nontrivial element of the group LN3(Z/2⊕Z/2→D3−)">LN3(Z/2⊕Z/2→D3−) can be detected using the Hasse-Witt Wh2">Wh2-torsion.

About the authors

Petr Mikhailovich Akhmet'ev

Moscow Institute of Electronics and Mathematics — Higher School of Economics; Pushkov Institute of Terrestrial Magnetism, Ionosphere, and Radio Wave Propagation, Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: pmakhmet@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

Yury Vladimirovich Muranov

University of Warmia and Mazury in Olsztyn

Email: ymuranov@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. W. Browder, “The Kervaire invariant of framed manifolds and its generalization”, Ann. of Math. (2), 90 (1969), 157–186
  2. V. P. Snaith, Stable homotopy around the Arf–Kervaire invariant, Progr. Math., 273, Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, xiv+239 pp.
  3. C. T. C. Wall, Surgery on compact manifolds, Math. Surveys Monogr., 69, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, xvi+302 pp.
  4. A. Ranicki, Exact sequences in the algebraic theory of surgery, Math. Notes, 26, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ; Univ. of Tokyo Press, Tokyo, 1981, xvii+864 pp.
  5. А. Ф. Харшиладзе, “Перестройка многообразий с конечными фундаментальными группами”, УМН, 42:4(256) (1987), 55–85
  6. Ю. В. Муранов, “Задача расщепления”, Отображения и размерность, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Павла Сергеевича Александрова, Труды МИАН, 212, Наука, М., 1996, 123–146
  7. C. T. C. Wall, “Formulae for surgery obstructions”, Topology, 15:3 (1976), 189–210
  8. W. Browder, G. R. Livesay, “Fixed point free involutions on homotopy spheres”, Bull. Amer. Math. Soc., 73:2 (1967), 242–245
  9. S. Lopez de Medrano, Involutions on manifolds, Ergeb. Math. Grenzgeb., 59, Springer-Verlag, New York–Heidelberg, 1971, ix+103 pp.
  10. S. E. Cappell, J. L. Shaneson, “Pseudo-free actions. I”, Algebraic topology, Aarhus 1978 (Univ. Aarhus, Aarhus, 1978), Lecture Notes in Math., 763, Springer, Berlin, 1979, 395–447
  11. I. Hambleton, “Projective surgery obstructions on closed manifolds”, Algebraic K-theory, Part II (Oberwolfach, 1980), Lecture Notes in Math., 967, Springer, Berlin–New York, 1982, 101–131
  12. А. Ф. Харшиладзе, “Итерированные инварианты Браудера–Ливси и узинг-проблема”, Матем. заметки, 41:4 (1987), 557–563
  13. А. Ф. Харшиладзе, “Эрмитова $K$-теория и квадратичные расширения колец”, Тр. ММО, 41, Изд-во Моск. ун-та, М., 1980, 3–36
  14. Ю. В. Муранов, А. Ф. Харшиладзе, “Группы Браудера–Ливси абелевых 2-групп”, Матем. сб., 181:8 (1990), 1061–1098
  15. C. T. C. Wall, “Foundations of algebraic L-theory”, Algebraic K-theory. III. Hermitian K-theory and geometric applications (Battelle Memorial Inst., Seattle, WA, 1972), Lecture Notes in Math., 343, Springer, Berlin, 1973, 266–300
  16. C. T. C. Wall, “On the axiomatic foundations of the theory of Hermitian forms”, Proc. Cambridge Philos. Soc., 67:2 (1970), 243–250
  17. C. T. C. Wall, “Classification of Hermitian Forms. VI. Group rings”, Ann. of Math. (2), 103:1 (1976), 1–80
  18. A. Ranicki, “The $L$-theory of twisted quadratic extensions”, Canad. J. Math., 39:2 (1987), 345–364
  19. А. Ф. Харшиладзе, “Препятствия к перестройкам для группы $(pitimes Z_2)$”, Матем. заметки, 16:5 (1974), 823–832
  20. Ю. В. Муранов, Д. Реповш, “Перестройки замкнутых многообразий с диэдральной фундаментальной группой”, Матем. заметки, 64:2 (1998), 238–250
  21. C. T. C. Wall, “Some $L$ groups of finite groups”, Bull. Amer. Math. Soc., 79:3 (1973), 526–529
  22. Ю. В. Муранов, “Группы Браудера–Ливси диэдральной группы”, УМН, 47:2(284) (1992), 203–204
  23. П. М. Ахметьев, “$K_2$ для простейших целочисленных групповых колец и топологические приложения”, Матем. сб., 194:1 (2003), 23–30
  24. Zhengguo Yang, Guoping Tang, Hang Liu, “On the structure of $K_2(mathbb Z[C_2 times C_2])$”, J. Pure Appl. Algebra, 221:4 (2017), 773–779
  25. Wu-Chung Hsiang, R, W. Sharpe, “Parametrized surgery and isotopy”, Pacific J. Math., 67:2 (1976), 401–459

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Akhmet'ev P.M., Muranov Y.V.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).