№ 2 (2025)

Годовой отчет о работе научно-исследовательского семинара по компьютерной алгебре.

Мы используем эвристический метод, позволяющий заранее определить случаи интегрируемости автономных динамических систем с полиномиальной правой частью. Возможности метода продемонстрированы на примерах дву- и трехмерных динамических систем с квадратичной нелинейностью. Существенным достижением по сравнению с предыдущими работами является возможность исследования систем общего вида, без резонансов в линейных частях, что достигается обобщением результатов резонансных случаев. Таким образом, появляется возможность использовать полученные результаты в работе с динамическими моделями реальных систем.

Рассматриваются системы неалгебраических уравнений, состоящие из целых функций многих комплексных переменных. Методами компьютерной алгебры исследуется число вещественных нулей таких систем. Для этого дается компьютерная реализация рекуррентных формул Ньютона и формулы для результанта исследуемых функций в системе компьютерной алгебры Maple. Актуальность данной задачи обусловлена тем, что в прикладных задачах, например, в уравнениях химической кинетики, необходимо определять число стационарных состояний системы.

Рассматриваются системы вида y′(x) = A(x)y(x), элементами матрицы являются начальные отрезки неизвестных полностью бесконечных степенных рядов. На случай таких систем обобщается понятие циклического вектора — вводится понятие сильно циклического вектора. Обсуждается метод проверки сильной цикличности вектора. Приводится достаточное условие, позволяющее проверить сильную цикличность вектора по виду матрицы производных в силу системы.

Рассмотрена задача поиска двоичного решения для системы линейных уравнений по модулю три. В случае когда количество уравнений ограничено сверху достаточно медленно растущей функцией от числа переменных, предложен новый алгоритм полиномиального времени для распознавания существования двоичного решения у такой системы. Алгоритм основан на замечании: если в матрице коэффициентов присутствуют ненулевые пропорциональные друг другу столбцы, то элиминация соответствующих переменных сохраняет свойство отсутствия двоичного решения системы. В частности, каждая система из двух уравнений от пяти переменных допускает элиминацию некоторых переменных, при которой сохраняется свойство отсутствия двоичного решения системы. На основе этих результатов мы предлагаем безошибочный эвристический алгоритм, который реализован на языке программирования Python. Для представления матриц и выполнения базовых операций используется библиотека NumPy. Входом служит расширенная матрица системы. С использованием этой реализации была рассчитана эмпирическая оценка времени работы. Экспериментально показано, что алгоритм эффективнее для разреженных систем уравнений. Очевидно, метод двоичного поиска позволяет найти двоичное решение системы, когда оно существует. Это открывает возможность применения, в частности, для решения задач математической биологии.