Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
№ 2 (2024)
КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА
3-6
Компьютерно-алгебраический подход к построению первых дифференциальных приближений: осциллятор Ван дер Поля
Аннотация
На примере первого дифференциального приближения проведено исследование для различных численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Это позволило оценить жесткость системы ОДУ, которая моделирует колебания осциллятора Ван дер Поля, невязку метода, и предложить простые критерии выбора шага при проведении расчетов. Представленные методы позволяют провести эффективные вычисления средствами систем компьютерной алгебры.
7-12
Расширяемое эссе о системе компьютерной алгебры Sage и редактор для создания расширяемых эссе
Аннотация
Расширяемое эссе — особый формат электронных текстов, более удобный для чтения, чем гипертексты. Для облегчения создания и редактирования расширяемых эссе предлагается программа-редактор, реализованная в виде веб-приложения. С использованием программы-редактора написано расширяемое эссе о системе компьютерной алгебры Sage. Система Sage представляется удобной для получения первого опыта в области компьютерной алгебры для людей, впервые встречающихся с подобными системами.
13-21
Интегрирование вырожденной системы ОДУ
Аннотация
Изучается интегрируемость автономной двумерной полиномиальной системы ОДУ с вырожденной особой точкой в начале координат, зависящей от шести параметров. Условие интегрируемости первого квазиоднородного приближения позволяет фиксировать один из параметров на счетном множестве его значений. Дальнейший анализ проводится для одного такого значения и пяти свободных параметров. С помощью метода степенной геометрии система приводится к невырожденной форме при помощи процесса расщепления (blowup). Далее методом нормальной формы вычисляются необходимые условия локальной интегрируемости. Иными словами, ищутся такие условия на параметры, при которых исходная система является локально интегрируемой вблизи вырожденной стационарной точки. В результате решения этих условий мы нашли семь двухпараметрических семейств в пятимерном параметрическом пространстве. При значениях параметров из этих семейств были найдены первые интегралы системы. Громоздкие вычисления, возникающие в обсуждаемой задаче, были выполнены средствами компьютерной алгебры.
22-32
Построение компартментальных моделей динамических систем с применением программного комплекса символьных вычислений на языке Julia
Аннотация
В работе рассмотрены вопросы построения компартментальных моделей динамических систем с применением программного комплекса символьных вычислений на языке Julia. Программный комплекс направлен на решение задачи унификации формализованного построения моделей с учетом сущностного описания возможных взаимодействий компартментов и влияния различных факторов на эволюцию систем. Развивается подход к разработке инструментально-методического обеспечения моделирования динамических систем, поведение которых может быть охарактеризовано одношаговыми процессами. Разработанное программное обеспечение позволяет получить символьное представление дифференциальных уравнений модели как в стохастическом, так и в детерминированном случае. Предложенный программный комплекс реализован с помощью языка Julia и использует библиотеку компьютерной алгебры Julia Symbolics. Представлено сравнение инструментария Julia Symbolics с другими системами компьютерной алгебры. Рассмотрено применение разработанного программного комплекса к компартментальной модели распространения эпидемии. Результаты могут найти применение при решении задач конструирования и исследования динамических моделей естествознания, представляемых одношаговыми процессами.
33-44
Символьно-численная реализация модели адиабатических волноводных мод для двумерных нерегулярных волноводов
Аннотация
В работе построено символьно-численное решение уравнений Максвелла, описывающее направляемые моды двумерного плавно-нерегулярного волновода в рамках нулевого приближения модели адиабатических волноводных мод. Система линейных алгебраических уравнений, получаемая в нулевом приближеним модели адиабатических волноводных мод, решена символьно. Дисперсионное уравнение решено численно методом продолжения по параметру.
45-50
Реализация аналитической проективной геометрии для компьютерной графики
Аннотация
В своих исследованиях авторы активно используют разные разделы геометрии. Для геометрических построений используются подходы и системы компьютерной алгебры. В данный момент нас заинтересовала такая область, как компьютерная геометрия, и более узко, реализация машинной графики. Стандартом де-факто в современной компьютерной графике стало использование проективного пространства и однородных координат, то есть задача фактически сводится к применению аналитической проективной геометрии. Авторам не удалось подобрать систему компьютерной алгебры, которая могла бы реализовать проективную геометрию во всем объеме. Поэтому было принято решение реализовать применение компьютерной алгебры частично, для визуализации алгебраических ссотношений. Для этого предлагается использовать систему Asymptote.
51-65
Символьные исследования уравнений Максвелла в формализме пространственно-временной алгебры
Аннотация
Для описания физических и технических систем авторы используют разные реализации алгебры Клиффорда: спиноры, кватернионы, геометрическую алгебру. Формализм геометрической алгебры является сравнительно новым подходом, ориентированным в первую очередь на инженеров и прикладных исследователей. В целом ряде работ авторы рассмотрели реализацию формализма геометрической алгебры для систем компьютерной алгебры. В данной статье авторы расширяют эллиптическую геометрическую алгебру на гиперболическую пространственно-временную алгебру. В качестве иллюстрации используются разные представления уравнений Максвелла. С помощью системы компьютерной алгебры выполнен переход от вакуумных уравнений Максвелла в представлении пространственно-временной алгебры к уравнениям Максвелла в векторном формализме. Кроме практического применения, авторы хотели бы обратить внимание на дидактическое значение данных исследований.
66-73
О вычислении частичных сумм кратных числовых рядов методами компьютерной алгебры
Аннотация
В работе предложен метод вычисления частичных сумм некоторых кратных числовых рядов, возникающих в процессе нахождения результанта многочлена и целой функции. Степенные суммы корней, участвующие в данной формуле, возможно найти без нахождения самих корней системы с помощью символьного алгоритма, использующего рекуррентные формулы Ньютона. Алгоритм, реализующий предложенный подход вычисления частичных сумм кратных числовых рядов, реализован в системе компьютерной алгебры Maple. Приведены примеры нахождения частичных сумм некоторых классов кратных числовых рядов с помощью созданного алгоритма.
74-78
Применение систем компьютерной алгебры для исследования тождеств Чаунди-Булларда для функции векторного разбиения с весом
Аннотация
В данной работе предложен алгоритм получения тождества Чаунди–Булларда для функции векторного разбиения с весом с использованием методов компьютерной алгебры. Для автоматизации данного процесса в среде Maple был разработан и реализован алгоритм, вычисляющий значения функции векторного разбиения с весом путем нахождения неотрицательных решений систем линейных диофантовых уравнений, на основе которых происходит составление указанных тождеств. Входными данными алгоритма является набор целочисленных векторов, образующих заостренный решеточный конус, и некоторая точка из данного конуса, выходными данными – тождество Чаунди–Булларда для функции векторного разбиения с весом. Указанный код размещен в депозитории и готов к использованию. Приведен пример, демонстрирующий работу данного алгоритма.
79-83
Примитивные элементы свободных неассоциативных алгебр над конечными полями
Аннотация
Определено представление элементов свободных неассоциативных алгебр в виде набора многомерных таблиц коэффициентов. Рассмотрена операция нахождения частных производных элементов свободных неассоциативных алгебр в таком же виде. С помощью этого представления получен критерий примитивности элементов длины два и три в терминах рангов матриц, а также признак примитивности элементов произвольной длины. Полученный признак позволил оценить число примитивных элементов свободных неассоциативных алгебр над конечным полем с двумя образующими. Построенное представление позволяет оптимизировать алгоритмы символьных вычислений с примитивными элементами. С помощью этих алгоритмов найдено число примитивных элементов длины 4 свободной неассоциативной алгебры ранга 2 над конечным полем.
84-92
Порт-Гамильтоновы системы: распознавание структуры и приложения
Аннотация
В данной работе мы продолжаем рассматривать задачу восстановления порт-Гамильтоновой структуры для произвольной системы дифференциальных уравнений. Мы дополняем предыдущую работу по этой теме, объясняя выбор и подробности применения алгоритмов машинного обучения. Мы также объясняем, какие возможности открывает такой подход для потенциально нового определения канонических форм и классификации систем дифференциальных уравнений.
93-99
Нижние границы для ранга матрицы с нулями и единицами вне главной диагонали
Аннотация
Найдена нижняя граница для ранга квадратной матрицы, у которой каждый элемент на главной диагонали отличен от нуля и от единицы, а вне главной диагонали каждый элемент равен либо нулю, либо единице. Ранг такой матрицы не меньше половины порядка матрицы. При дополнительном условии нижняя граница на единицу выше. Это условие означает отсутствие двоичного решения у некоторой вспомогательной системы линейных уравнений. Даны примеры, показывающие достижимость указанной нижней границы. Полученная нижняя граница для ранга позволяет свести задачу о поиске двоичного решения для системы линейных уравнений, в которой число линейно независимых уравнений достаточно велико, к аналогичной задаче от меньшего числа переменных. Найдены ограничения на существование большого множества решений, каждое из которых отличается от двоичного решения значением одной переменной. Отдельно обсуждается возможность для сертификации отсутствия двоичного решения у системы из большого числа линейных алгебраических уравнений. Также даны оценки времени работы для вычисления ранга матрицы в системе компьютерной алгебры SymPy. Показано, что ранг матрицы над полем вычетов по модулю простого числа вычисляется за меньшее время, чем обычно требуется для вычисления ранга матрицы того же порядка над полем рациональных чисел.
100-107
Поиск лорановых решений усеченных систем линейных дифференциальных уравнений с использованием EG-исключений
Аннотация
Рассматриваются лорановы решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с усеченными степенными рядами в роли коэффициентов. Лорановы ряды в решениях также усечены. В качестве средства для построения таких решений мы используем индуцированные рекуррентные системы и ранее предложили алгоритм для случая, когда индцуцированная рекуррентная система имеет невырожденную ведущую матрицу. Алгоритм находит для рядов в решениях максимально возможное число членов, инвариантных относительно любых продолжений усеченных коэффициентов исходной системы. Ниже мы представляем результаты по расширению применимости нашего алгоритма на случай, когда ведущая матрица вырождена, с привлечением алгоритма EG-исключений в качестве вспомогательного средства. Представлены реализация алгоритма в виде Maple-процедуры и примеры ее использования.
108-117
Решение задач анализа райсовских данных: теория и численное моделирование методами компьютерной алгебры в системе Wolfram Mathematica
Аннотация
В работе рассматриваются теоретические основы и математические методы анализа данных в условиях статистического распределения Райса. Поставленная задача предполагает совместный расчет параметров сигнала и шума. Показано, что такой расчет приводит к необходимости решения сложной системы существенно нелинейных уравнений с двумя неизвестными, что требует значительных вычислительных ресурсов. Представленное исследование направлено на математическую оптимизацию применения методов компьютерной алгебры для численного решения рассматриваемой задачи. В результате проведенной оптимизации решение системы двух нелинейных уравнений сводится к решению одного уравнения с одной неизвестной величиной, что существенно упрощает алгоритмы численного решения задачи, снижает объем необходимых вычислительных ресурсов и открывает перспективы использования развитых методов оценивания параметров в информационных системах с приоритетом работы в режиме реального времени. Результаты численных экспериментов, полученные с помощью использования системы Wolfram Mathematica, подтверждают эффективность разработанных методов двухпараметрического анализа райсовских данных. Рассматриваемые методы анализа данных являются значимыми для решения широкого круга научных и прикладных задач, в которых анализируемые данные описываются статистической моделью Райса.
118-124