Том 79, № 1 (2024)

Обзор посвящён разнообразным применениям пространств Бесова в теории операторов. Показывается, как классы Бесова применяются при описании операторов Ганкеля, принадлежащих классам Шаттена–фон Неймана; рассматриваются различные приложения. Далее обсуждается роль классов Бесова в оценках норм полиномов от операторов с ограниченными степенями в гильбертовом пространстве и связанные с этим оценки ганкелевых матриц в тензорных произведениях пространств $\ell^1$ и $\ell^\infty$. Большая часть обзора посвящена роли пространств Бесова в различных задачах теории возмущений при изучении поведения функций от одного оператора или от набора операторов при их возмущении. Библиография: 107 названий.

В настоящей работе мы рассматриваем класс $G$ сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса–Смейла $f$, заданных на замкнутом 3-многообразии $M^3$, неблуждающее множество которых состоит из четырех неподвижных точек с попарно различными индексами Морса. Из результатов работ С. Смейла и К. Мейера следует, что все градиентно-подобные потоки с аналогичными свойствами имеют энергетическую функцию Морса с четырьмя критическими точками попарно различных индексов Морса. Это означает, что несущее многообразие $M^3$ для этих потоков допускает разложение Хегора рода 1, и, следовательно, оно гомеоморфно линзовому пространству $L_{p,q}$. Несмотря на простую структуру неблуждающего множества диффеоморфизмов в классе $G$, существуют диффеоморфизмы с дико вложенными сепаратрисами. Согласно результатам В. З. Гринеса, Ф. Лауденбаха, О. В. Починки такие диффеоморфизмы не обладают энергетической функцией, и вопрос о топологии их несущего многообразия остается открытым. Согласно результатам В. З. Гринеса, Е. В. Жужомы и В. С. Медведева $M^3$ гомеоморфно линзовому пространству $L_{p,q}$ в случае локально плоского вложения замыканий одномерных сепаратрис диффеоморфизма $f\in G$. Более того, блуждающее множество диффеоморфизма $f$ содержит по меньшей мере $p$ некомпактных гетероклинических кривых. В настоящей работе аналогичный результат получен для произвольных диффеоморфизмов класса $G$. На каждом линзовом пространстве $L_{p,q}$ построены диффеоморфизмы из класса $G$ с диким вложением одномерных сепаратрис. Такие примеры ранее были известны только на 3-сфере. Также установлено, что топологическая сопряженность диффеоморфизмов класса $G$ с единственной некомпактной гетероклинической кривой полностью определяется эквивалентностью узлов Хопфа, являющихся проекциями одномерных седловых сепаратрис в пространство орбит бассейна стока. Более того, любой узел Хопфа $L$ реализуется таким диффеоморфизмом. В этом смысле полученный результат подобен классификации диффеоморфизмов Д. Пикстона, полученной Х. Бонатти и В. З. Гринесом. Библиография: 65 названий.