Convergence of generalized power series satisfying functional equations

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider questions relating to the convergence of generalized power series (with complex-valued exponents) that satisfy formally some analytic functional equations: a differential equation, a $q$-difference one, or Mahler's equation. We present new results, as well as generalizations of some of our earlier results, thus summing up our investigations of this subject. We also present a selection of results on the existence and uniqueness of local holomorphic solutions of such equations and review some classical results on the convergence of Taylor power series that solve them formally.

About the authors

Renat Ravilevich Gontsov

National Research University Higher School of Economics; Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute), Moscow

Author for correspondence.
Email: gontsovrr@gmail.com
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Irina Vladimirovna Goryuchkina

Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences, Moscow

Email: igoryuchkina@gmail.com
Candidate of physico-mathematical sciences, Senior Researcher

References

  1. Н. Г. Чеботарев, “ ‘Многоугольник Ньютона’ и его роль в современном развитии математики”, Исаак Ньютон, АН СССР, М., 1943, 99–126
  2. M. Artin, “On the solutions of analytic equations”, Invent. Math., 5 (1968), 277–291
  3. A. Ploski, “Formal and convergent solutions of analytic equations”, Analytic and algebraic geometry. 2, Łodz Univ. Press, Łodz, 2017, 161–173
  4. T. Levi-Civita, “Sugli infiniti ed infinitesimi attuali quali elementi analitici”, Atti Ist. Veneto di Sci., Lett. ed Arti, IV (1892–1893), 1765–1815
  5. A. Ostrowski, “Untersuchungen zur arithmetischen Theorie der Körper. I, II, III”, Math. Z., 39:1 (1935), 269–404
  6. D. Laugwitz, “Eine nichtarchimedische Erweiterung angeordneter Körper”, Math. Nachr., 37:3-4 (1968), 225–236
  7. A. Robinson, “Function theory on some nonarchimedean fields”, Amer. Math. Monthly, 80:6 (1973), 87–109
  8. H. B. Fine, “On the functions defined by differential equations, with an extension of the Puiseux polygon construction to these equations”, Amer. J. Math., 11:4 (1889), 317–328
  9. Н. В. Бугаевъ, “Начало наибольшихъ и наименьшихъ показателей въ теорiи дифференцiальныхъ уравненiй. Целые частные интегралы”, Матем. сб., 16:1 (1891), 39–80
  10. M. Petrowitch, Sur les zeros et les infinis des integrales des equations differentielles algebriques, Thèse, Gauthier-Villars, Paris, 1894
  11. J. Cano, “On the series defined by differential equations, with an extension of the Puiseux polygon construction to these equations”, Analysis, 13:1-2 (1993), 103–119
  12. D. Yu. Grigor'ev, M. F. Singer, “Solving ordinary differential equations in terms of series with real exponents”, Trans. Amer. Math. Soc., 327:1 (1991), 329–351
  13. А. Д. Брюно, “Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения”, УМН, 59:3(357) (2004), 31–80
  14. E. Hille, “Note on Dirichlet's series with complex exponents”, Ann. of Math. (2), 25:3 (1924), 261–278
  15. V. Bernstein, Leçons sur les progrès recents de la theorie des series de Dirichlet, Gauthier-Villars, Paris, 1933, xiv+320 pp.
  16. А. Ф. Леонтьев, Ряды экспонент, Наука, М., 1976, 536 с.
  17. B. Malgrange, “Sur le theorème de Maillet”, Asymptot. Anal., 2:1 (1989), 1–4
  18. Changgui Zhang, “Sur un theorème du type de Maillet–Malgrange pour les equations $q$-differences-differentielles”, Asymptot. Anal., 17:4 (1998), 309–314
  19. Xianyi Li, Changgui Zhang, “Existence of analytic solutions to analytic nonlinear $q$-difference equations”, J. Math. Anal. Appl., 375:2 (2011), 412–417
  20. L. Di Vizio, “An ultrametric version of the Maillet–Malgrange theorem for nonlinear $q$-difference equations”, Proc. Amer. Math. Soc., 136:8 (2008), 2803–2814
  21. J.-P. Bezivin, “Sur les equations fonctionnelles aux $q$-differences”, Aequationes Math., 43:2-3 (1992), 159–176
  22. J.-P. Bezivin, “Sur une classe d'equations fonctionnelles non lineaires”, Funkcial. Ekvac., 37:2 (1994), 263–271
  23. R. Gontsov, I. Goryuchkina, “On the existence and convergence of formal power series solutions of nonlinear Mahler equations”, J. Symbolic Comput., 128 (2025), 102399, 11 pp.
  24. B. L. J. Braaksma, “Multisummability of formal power series solutions of nonlinear meromorphic differential equations”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 42:3 (1992), 517–540
  25. J.-P. Ramis, Y. Sibuya, “A new proof of multisummability of formal solutions of nonlinear meromorphic differential equations”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 44:3 (1994), 811–848
  26. Changgui Zhang, “Developpements asymptotiques $q$-Gevrey et series $Gq$-sommables”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 49:1 (1999), 227–261
  27. F. Marotte, Changgui Zhang, “Multisommabilite des series entières solutions formelles d'une equation aux $q$-differences lineaire analytique”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 50:6 (2000), 1859–1890
  28. Ж.-П. Рамис, Расходящиеся ряды и асимптотическая теория, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2002, 79 с.
  29. L. Di Vizio, J.-P. Ramis, J. Sauloy, C. Zhang, “Equations aux $q$-differences”, Gaz. Math., 96 (2003), 20–49
  30. R. Gerard, D. A. Lutz, “Maillet type theorems for algebraic difference equations”, Kumamoto J. Math., 3 (1990), 11–26
  31. J. Ecalle, Les fonctions resurgentes, v. I, Publ. Math. Orsay, 81-5, Les algèbres de fonctions resurgentes, Univ. de Paris-Sud, Dep. Math., Orsay, 1981, 247 pp.
  32. R. Gontsov, I. Goryuchkina, “The Maillet–Malgrange type theorem for generalized power series”, Manuscripta Math., 156:1-2 (2018), 171–185
  33. Б. В. Шабат, Введение в комплексный анализ, Ч. 2, 2-е изд., Наука, М., 1976, 400 с.
  34. В. В. Голубев, Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений, 2-е изд., Гостехиздат, М.–Л., 1950, 436 с.
  35. Jianguo Si, Weinian Zhang, “Analytic solutions of a $q$-difference equation and applications to iterative equations”, J. Difference Equ. Appl., 10:11 (2004), 955–962
  36. Bing Xu, Weinian Zhang, “Small divisor problem for an analytic $q$-difference equation”, J. Math. Anal. Appl., 342:1 (2008), 694–703
  37. Jianguo Si, Houyu Zhao, “Small divisor problem in dynamical systems and analytic solutions of a $q$-difference equation with a singularity at the origin”, Results Math., 58:3-4 (2010), 337–353
  38. C. L. Siegel, “Iteration of analytic functions”, Ann. of Math. (2), 43:4 (1942), 607–612
  39. Дж. Милнор, Голоморфная динамика. Вводные лекции, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ижевск, 2000, 320 с.
  40. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, 2-е изд., ГИТТЛ, М.–Л., 1949, 116 с.
  41. А. О. Гельфонд, Трансцендентные и алгебраические числа, ГИТТЛ, М., 1952, 224 с.
  42. А. Н. Хованский, Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа, ГИТТЛ, М., 1956, 203 с.
  43. А. Д. Брюно, “О сходимости преобразований дифференциальных уравнений к нормальной форме”, Докл. АН СССР, 165:5 (1965), 987–989
  44. А. Д. Брюно, “Аналитическая форма дифференциальных уравнений”, Тр. ММО, 25, Изд-во Моск. ун-та, М., 1971, 119–262
  45. H. Rüssmann, “Über die Iteration analytischer Funktionen”, J. Math. Mech., 17:6 (1967), 523–532
  46. J.-C. Yoccoz, “Theorème de Siegel, nombres de Bruno et polynômes quadratiques”, Petits diviseurs en dimension 1, Asterisque, 231, Soc. Math. France, Paris, 1995, 3–88
  47. С. М. Воронин, “Аналитическая классификация ростков конформных отображений $(mathbf C,0)to(mathbf C,0)$ с тождественной линейной частью”, Функц. анализ и его прил., 15:1 (1981), 1–17
  48. K. Nishioka, Mahler functions and transcendence, Lecture Notes in Math., 1631, Springer-Verlag, Berlin, 1996, viii+185 pp.
  49. L. E. Dickson, “Finiteness of the odd perfect and primitive abundant numbers with $n$ distinct prime factors”, Amer. J. Math., 35:4 (1913), 413–422
  50. J. Cano, P. Fortuny Ayuso, “Power series solutions of non-linear $q$-difference equations and the Newton–Puiseux polygon”, Qual. Theory Dyn. Syst., 21:4 (2022), 123, 31 pp.
  51. R. R. Gontsov, I. V. Goryuchkina, “On the convergence of generalized power series satisfying an algebraic ODE”, Asymptot. Anal., 93:4 (2015), 311–325
  52. R. Gontsov, I. Goryuchkina, A. Lastra, Small divisors in the problem of the convergence of generalized power series solutions of $q$-difference equations, 2022, 16 pp.
  53. W. M. Schmidt, “Simultaneous approximation to algebraic numbers by rationals”, Acta Math., 125 (1970), 189–201
  54. R. Gontsov, I. Goryuchkina, A. Lastra, “On the convergence of generalized power series solutions of $q$-difference equations”, Aequationes Math., 96:3 (2022), 579–597

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Gontsov R.R., Goryuchkina I.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».