On stability of equilibria in a pseudo-Riemannian space

Capa

Citar

Texto integral

Acesso aberto Acesso aberto
Acesso é fechado Acesso está concedido
Acesso é fechado Somente assinantes

Resumo

The stability of equilibria is considered for systems whose kinetic energy is a pseudo-Riemannian metric on the configuration space. Equilibria are critical points of the potential energy. For a linear system with two degrees of freedom the stability diagram is plotted and the bifurcations of eigenvalues are indicated. Points of maximum and minimum of the potential energy are unstable equilibria in the pseudo-Euclidean case. The same conclusion holds for nonlinear analytic systems with two degrees of freedom. Conditions for stability are indicated for multidimensional linear systems in a pseudo-Euclidean space. In particular, an equilibrium is stable if and only if the linear equations of motion can be reduced to a ‘natural’ system with positive definite kinetic energy and, in addition, the potential energy takes a strict minimum at this equilibrium. The influence of dissipative and gyroscopic forces on the stability of equilibria in a pseudo-Riemannian space is investigated. The instability of an isolated equilibrium is proved in the case when dissipative forces with full energy dissipation are added. The instability degree is calculated for linear dissipative systems. Conditions for the stability of linear systems in the case when large gyroscopic forces are applied to them are indicated.Bibliography: 40 titles.

Sobre autores

Valery Kozlov

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow; Demidov Yaroslavl State University

Autor responsável pela correspondência
Email: vvkozlov@presidium.ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Bibliografia

  1. П. Аппель, Теоретическая механика, т. I, Физматгиз, М., 1960, 515 с.
  2. J. Drach, “Sur l'integration logique des equations de la dynamique à deux variables. Forces conservatives. Integrales cubiques. Mouvements dans le plan”, C. R. Acad. Sci. Paris, 200 (1935), 22–26
  3. А. М. Переломов, Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли, Наука, М., 1990, 240 с.
  4. A. V. Tsiganov, “The Drach superintegrable systems”, J. Phys. A, 33:41 (2000), 7407–7422
  5. Г. Циглер, Основы теории устойчивости конструкций, Мир, М., 1971, 192 с.
  6. В. В. Болотин, Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости, Физматгиз, М., 1961, 339 с.
  7. O. N. Kirillov, Nonconservative stability problems of modern physics, De Gruyter Stud. Math. Phys., 14, De Gruyter, Berlin, 2013, xviii+429 pp.
  8. A. J. Bosch, “The factorization of a square matrix into two symmetric matrices”, Amer. Math. Monthly, 93:6 (1986), 462–464
  9. А. С. Эддингтон, Теория относительности, Гостехиздат, М.–Л., 1934, 508 с.
  10. V. Dragovic, M. Radnovic, “Billiards within ellipsoids in the 4-dimensional pseudo-Euclidean spaces”, Regul. Chaotic Dyn., 28:1 (2023), 14–43
  11. А. П. Маркеев, Точка либрации в небесной механике и космодинамике, Наука, М., 1978, 312 с.
  12. Ю. Мозер, Лекции о гамильтоновых системах, Мир, М., 1973, 168 с.
  13. В. В. Козлов, “Линейные системы с квадратичным интегралом”, ПММ, 56:6 (1992), 900–906
  14. В. В. Козлов, А. А. Карапетян, “О степени устойчивости”, Дифференц. уравнения, 41:2 (2005), 186–192
  15. F. Uhlig, “A recurring theorem about pairs of quadratic forms and extensions: a survey”, Linear Algebra Appl., 25 (1979), 219–237
  16. V. V. Kozlov, “Linear Hamiltonian systems: quadratic integrals, singular subspaces and stability”, Regul. Chaotic Dyn., 23:1 (2018), 26–46
  17. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, 2-е изд., Наука, М., 1966, 576 с.
  18. M. Brunella, “Instability of equilibria in dimension three”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 48:5 (1998), 1345–1357
  19. J. Souček, V. Souček, “Morse–Sard theorem for real-analytic functions”, Comment. Math. Univ. Carolinae, 13 (1972), 45–51
  20. P. Hagedorn, “Über die Instabilität konservativer Systeme mit gyroskopischen Kräften”, Arch. Ration. Mech. Anal., 58:1 (1975), 1–9
  21. В. П. Паламодов, “Об устойчивости равновесия в потенциальном поле”, Функц. анализ и его прил., 11:4 (1977), 42–55
  22. В. В. Козлов, “Гипотеза о существовании асимптотических движений в классической механике”, Функц. анализ и его прил., 16:4 (1982), 72–73
  23. В. В. Козлов, “Асимптотические движения и проблема обращения теоремы Лагранжа–Дирихле”, ПММ, 50:6 (1986), 928–937
  24. В. В. Козлов, С. Д. Фурта, Асимптотики решений сильно нелинейных систем дифференциальных уравнений, Изд-во Моск. ун-та, М., 1996, 244 с.
  25. А. Н. Кузнецов, “О существовании входящих в особую точку решений автономной системы, обладающей формальным решением”, Функц. анализ и его прил., 23:4 (1989), 63–74
  26. У. Томсон, П. Г. Тэт, Трактат по натуральной философии, Часть I, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2010, 572 с.
  27. А. В. Карапетян, В. В. Румянцев, “Устойчивость консервативных и диссипативных систем”, Итоги науки и техн. Общая механика, 6, ВИНИТИ, М., 1983, 3–128
  28. В. В. Козлов, “Неустойчивость равновесия в потенциальном поле с учeтом сил вязкого трения”, ПММ, 45:3 (1981), 570–572
  29. В. В. Козлов, “Гироскопическая стабилизация вырожденных равновесий и топология вещественных алгебраических многообразий”, Докл. РАН, 420:4 (2008), 447–450
  30. В. В. Козлов, “Теорема Кельвина о неустойчивости: топологический смысл и обобщения”, Докл. РАН, 424:2 (2009), 161–164
  31. В. В. Козлов, “Спектральные свойства операторов с полиномиальными инвариантами в вещественных конечномерных пространствах”, I, Дифференциальные уравнения и топология, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 268, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2010, 155–167
  32. S. Bolotin, P. Negrini, “Asymptotic solutions of Lagrangian systems with gyroscopic forces”, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 2:4 (1995), 417–444
  33. Н. Н. Красовский, Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, М., 1959, 211 с.
  34. E. E. Zajac, “The Kelvin–Tait–Chetaev theorem and extentions”, J. Aeronaut. Sci., 11:2 (1964), 46–49
  35. В. В. Козлов, “Замечания о степени неустойчивости”, ПММ, 74:1 (2010), 18–21
  36. В. В. Козлов, “Ограничения квадратичных форм на лагранжевы плоскости, квадратные матричные уравнения и гироскопическая стабилизация”, Функц. анализ и его прил., 39:4 (2005), 32–47
  37. Л. Зигель, Ю. Мозер, Лекции по небесной механике, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2001, 384 с.
  38. B. Fayad, “Lyapunov unstable elliptic equilibria”, J. Amer. Math. Soc., 36:1 (2023), 81–106
  39. V. V. Kozlov, “Formal stability, stability for most initial conditions and diffusion in analytic systems of differential equations”, Regul. Chaotic Dyn., 28:3 (2023), 251–264
  40. В. В. Козлов, “Неаналитические первые интегралы аналитических систем дифференциальных уравнений в окрестности устойчивых положений равновесия”, Дифференц. уравнения, 59:6 (2023), 843–846

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Declaração de direitos autorais © Kozlov V.V., 2025

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).