Local well-posedness of problems with characteristic free boundaries for hyperbolic systems of conservation laws

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Доказательство локального по времени существования и единственности гладкого решения задачи со свободной границей для гиперболической системы законов сохранения имеет дополнительные трудности, если свободная граница является характеристикой этой системы. Они связаны с потерей контроля над производными по нормальному к границе направлению, а также с возможной неэллиптичностью символа свободной границы. Другой особенностью задач с характеристическими свободными границами является то, что в абсолютном большинстве случаев в априорных оценках решений соответствующих линеаризованных задач имеет место потеря производных от коэффициентов и правых частей. Более того, граничные условия линеаризованной задачи могут оказаться недиссипативными, что затрудняет применение энергетического метода. В статье дано описание методов, позволяющих преодолевать указанные трудности. Основными примерами являются задачи со свободными границами для уравнений Эйлера и уравнений магнитной гидродинамики идеальной сжимаемой жидкости, для которых дается обзор современных результатов об их локальной корректности. Библиография: 61 название.

About the authors

Yuri Leonidovich Trakhinin

Sobolev Institute of Mathematics, Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences

Email: trakhin@math.nsc.ru
ORCID iD: 0000-0001-8827-2630
Scopus Author ID: 55980402200
ResearcherId: D-2229-2009
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. S. Alinhac, “Existence d'ondes de rarefaction pour des systèmes quasi-lineaires hyperboliques multidimensionnels”, Comm. Partial Differential Equations, 14:2 (1989), 173–230
  2. А. М. Блохин, Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики, Наука, Новосибирск, 1986, 240 с.
  3. D. Catania, M. D'Abbicco, P. Secchi, “Stability of the linearized MHD-Maxwell free interface problem”, Commun. Pure Appl. Anal., 13:6 (2014), 2407–2443
  4. D. Catania, M. D'Abbicco, P. Secchi, “Weak stability of the plasma-vacuum interface problem”, J. Differential Equations, 261:6 (2016), 3169–3219
  5. Shuxing Chen, “Initial boundary value problems for quasilinear symmetric hyperbolic systems with characteristic boundary”, Front. Math. China, 2:1 (2007), 87–102
  6. J.-F. Coulombel, A. Morando, P. Secchi, P. Trebeschi, “A priori estimates for 3D incompressible current-vortex sheets”, Comm. Math. Phys., 311:1 (2012), 247–275
  7. J.-F. Coulombel, P. Secchi, “The stability of compressible vortex sheets in two space dimensions”, Indiana Univ. Math. J., 53:4 (2004), 941–1012
  8. D. Coutand, J. Hole, S. Shkoller, “Well-posedness of the free-boundary compressible 3-D Euler equations with surface tension and the zero surface tension limit”, SIAM J. Math. Anal., 45:6 (2013), 3690–3767
  9. D. Coutand, S. Shkoller, “Well-posedness of the free-surface incompressible Euler equations with or without surface tension”, J. Amer. Math. Soc., 20:3 (2007), 829–930
  10. D. Coutand, S. Shkoller, “Well-posedness in smooth function spaces for the moving-boundary three-dimensional compressible Euler equations in physical vacuum”, Arch. Ration. Mech. Anal., 206:2 (2012), 515–616
  11. Jun Fang, Li Zhang, “Two-dimensional magnetohydrodynamics simulations of young Type Ia supernova remnants”, Monthly Notices Roy. Astronom. Soc., 424:4 (2012), 2811–2820
  12. H. Freistühler, Y. Trakhinin, “Symmetrizations of RMHD equations and stability of relativistic current-vortex sheets”, Classical Quantum Gravity, 30:8 (2013), 085012, 17 pp.
  13. K. O. Friedrichs, “The identity of weak and strong extensions of differential operators”, Trans. Amer. Math. Soc., 55:1 (1944), 132–151
  14. K. O. Friedrichs, “Symmetric hyperbolic linear differential equations”, Comm. Pure Appl. Math., 7:2 (1954), 345–392
  15. С. К. Годунов, “Интересный класс квазилинейных систем”, Докл. АН СССР, 139:3 (1961), 521–523
  16. С. К. Годунов, “Симметрическая форма уравнений магнитной гидродинамики”, Числ. методы механики сплошной среды, 3:1 (1972), 26–34
  17. С. К. Годунов, Уравнения математической физики, 2-е изд., испр. и доп., Наука, М., 1979, 391 с.
  18. С. К. Годунов, Е. И. Роменский, Элементы механики сплошных сред и законы сохранения, Научная книга, Новосибирск, 1998, 280 с.
  19. J. P. Goedbloed, R. Keppens, S. Poedts, Advanced magnetohydrodynamics: with applications to laboratory and astrophysical plasmas, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2010, 650 pp.
  20. Yan Guo, I. Tice, “Compressible, inviscid Rayleigh–Taylor instability”, Indiana Univ. Math. J., 60:2 (2011), 677–712
  21. L. Hörmander, “The boundary problems of physical geodesy”, Arch. Ration. Mech. Anal., 62:1 (1976), 1–52
  22. Juhi Jang, N. Masmoudi, “Well-posedness of compressible Euler equations in a physical vacuum”, Comm. Pure Appl. Math., 68:1 (2015), 61–111
  23. T. Kato, “Quasi-linear equations of evolution, with applications to partial differential equations”, Spectral theory and differential equations, Lecture Notes in Math., 448, Springer, Berlin, 1975, 25–70
  24. H.-O. Kreiss, “Initial boundary value problems for hyperbolic systems”, Comm. Pure Appl. Math., 23:3 (1970), 277–298
  25. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Гидродинамика, Теоретическая физика, VI, 3-е изд., перераб., Наука, М., 1986, 736 с.
  26. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, Теоретическая физика, VIII, 3-е изд., Наука, М., 1992, 662 с.
  27. P. D. Lax, “Hyperbolic systems of conservation laws. II”, Comm. Pure Appl. Math., 10:4 (1957), 537–566
  28. H. Lindblad, “Well posedness for the motion of a compressible liquid with free surface boundary”, Comm. Math. Phys., 260:2 (2005), 319–392
  29. Tao Luo, Zhouping Xin, Huihui Zeng, “Well-posedness for the motion of physical vacuum of the three-dimensional compressible Euler equations with or without self-gravitation”, Arch. Ration. Mech. Anal., 213:3 (2014), 763–831
  30. Chenyun Luo, Junyan Zhang, “Local well-posedness for the motion of a compressible gravity water wave with vorticity”, J. Differential Equations, 332 (2022), 333–403
  31. N. Mandrik, Y. Trakhinin, “Influence of vacuum electric field on the stability of a plasma-vacuum interface”, Commun. Math. Sci., 12:6 (2014), 1065–1100
  32. A. Morando, P. Secchi, Y. Trakhinin, P. Trebeschi, “Stability of an incompressible plasma-vacuum interface with displacement current in vacuum”, Math. Methods Appl. Sci., 43:12 (2020), 7465–7483
  33. A. Morando, P. Secchi, P. Trebeschi, “Regularity of solutions to characteristic initial-boundary value problems for symmetrizable systems”, J. Hyperbolic Differ. Equ., 6:4 (2009), 753–808
  34. A. Morando, Y. Trakhinin, P. Trebeschi, “Well-posedness of the linearized problem for MHD contact discontinuities”, J. Differential Equations, 258:7 (2015), 2531–2571
  35. A. Morando, Y. Trakhinin, P. Trebeschi, “Local existence of MHD contact discontinuities”, Arch. Ration. Mech. Anal., 228:2 (2018), 691–742
  36. M. Ohno, T. Shirota, “On the initial-boundary-value problem for the linearized equations of magnetohydrodynamics”, Arch. Ration. Mech. Anal., 144:3 (1998), 259–299
  37. M. Ohno, Y. Shizuta, T. Yanagisawa, “The initial boundary value problem for linear symmetric systems with boundary characteristic of constant multiplicity”, J. Math. Kyoto Univ., 35:2 (1995), 143–210
  38. J. B. Rauch, F. J. Massey III, “Differentiability of solutions to hyperbolic initial boundary value problems”, Trans. Amer. Math. Soc., 189:3 (1974), 303–318
  39. M. S. Ruderman, H. J. Fahr, “The effect of magnetic fields on the macroscopic instability of the heliopause. II. Inclusion of solar wind magnetic fields”, Astron. Astrophys., 299 (1995), 258–266
  40. P. Secchi, “Linear symmetric hyperbolic systems with characteristic boundary”, Math. Methods Appl. Sci., 18:11 (1995), 855–870
  41. P. Secchi, “Some properties of anisotropic Sobolev spaces”, Arch. Math. (Basel), 75:3 (2000), 207–216
  42. P. Secchi, “On the Nash–Moser iteration technique”, Recent developments of mathematical fluid mechanics, Adv. Math. Fluid Mech., Birkhäuser/Springer, Basel, 2016, 443–457
  43. P. Secchi, Y. Trakhinin, “Well-posedness of the linearized plasma-vacuum interface problem”, Interfaces Free Bound., 15:3 (2013), 323–357
  44. P. Secchi, Y. Trakhinin, “Well-posedness of the plasma-vacuum interface problem”, Nonlinearity, 27:1 (2014), 105–169
  45. P. Secchi, Y. Trakhinin, Tao Wang, “On vacuum free boundary problems in ideal compressible magnetohydrodynamics”, Bull. London Math. Soc., 55:5 (2023), 2087–2111
  46. Yongzhong Sun, Wei Wang, Zhifei Zhang, “Nonlinear stability of the current-vortex sheet to the incompressible MHD equations”, Comm. Pure Appl. Math., 71:2 (2018), 356–403
  47. С. И. Сыроватский, “Об устойчивости тангенциальных разрывов в магнитогидродинамической среде”, ЖЭТФ, 24:6 (1953), 622–630
  48. Y. Trakhinin, “Existence of compressible current-vortex sheets: variable coefficients linear analysis”, Arch. Ration. Mech. Anal., 177:3 (2005), 331–366
  49. Y. Trakhinin, “The existence of current-vortex sheets in ideal compressible magnetohydrodynamics”, Arch. Ration. Mech. Anal., 191:2 (2009), 245–310
  50. Y. Trakhinin, “Local existence for the free boundary problem for nonrelativistic and relativistic compressible Euler equations with a vacuum boundary condition”, Comm. Pure Appl. Math., 62:11 (2009), 1551–1594
  51. Y. Trakhinin, “On the well-posedness of a linearized plasma-vacuum interface problem in ideal compressible MHD”, J. Differential Equations, 249:10 (2010), 2577–2599
  52. Y. Trakhinin, “Stability of relativistic plasma-vacuum interfaces”, J. Hyperbolic Differ. Equ., 9:3 (2012), 469–509
  53. Y. Trakhinin, “On well-posedness of the plasma-vacuum interface problem: the case of non-elliptic interface symbol”, Commun. Pure Appl. Anal., 15:4 (2016), 1371–1399
  54. Y. Trakhinin, “Structural stability of shock waves and current-vortex sheets in shallow water magnetohydrodynamics”, Z. Angew. Math. Phys., 71:4 (2020), 118, 13 pp.
  55. Y. Trakhinin, Tao Wang, “Well-posedness of free boundary problem in non-relativistic and relativistic ideal compressible magnetohydrodynamics”, Arch. Ration. Mech. Anal., 239:2 (2021), 1131–1176
  56. Y. Trakhinin, Tao Wang, “Well-posedness for the free-boundary ideal compressible magnetohydrodynamic equations with surface tension”, Math. Ann., 383:1-2 (2022), 761–808
  57. Y. Trakhinin, Tao Wang, “Nonlinear stability of MHD contact discontinuities with surface tension”, Arch. Ration. Mech. Anal., 243:2 (2022), 1091–1149
  58. Y. Trakhinin, Tao Wang, “Well-posedness for moving interfaces with surface tension in ideal compressible MHD”, SIAM J. Math. Anal., 54:6 (2022), 5888–5921
  59. А. И. Вольперт, С. И. Худяев, “О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений”, Матем. сб., 87(129):4 (1972), 504–528
  60. Yanjin Wang, Zhouping Xin, “Existence of multi-dimensional contact discontinuities for the ideal compressible magnetohydrodynamics”, Comm. Pure Appl. Math., 77:1 (2024), 583–629
  61. Дж. Б. Уизем, Линейные и нелинейные волны, Мир, М., 1977, 622 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Трахинин Ю.L.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».