Minimax solutions of Hamiltoni–Jacobi equations in dynamical optimization problems for hereditary systems

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Настоящая статья содержит обзор результатов, касающихся развития теории уравнений Гамильтона–Якоби для наследственных динамических систем. Особенность этих систем состоит в том, что скорость изменения их состояния зависит не только от текущего положения, как в классическом случае, но и от всего пройденного пути – истории движения. Большая часть статьи посвящена динамическим системам, движение которых описывается при помощи функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа. Кроме того, затрагиваются и более общие системы, описываемые функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа, а также тесно связанные с ними системы, описываемые дифференциальными уравнениями с производными дробного порядка. Рассматриваются так называемые наследственные уравнения Гамильтона–Якоби, которые для указанных классов систем играют роль, аналогичную роли классических уравнений Гамильтона–Якоби в задачах динамической оптимизации обыкновенных дифференциальных систем. В контексте приложений к задачам управления основное внимание уделяется минимаксному подходу к понятию обобщенного решения рассматриваемых уравнений Гамильтона–Якоби, а также его связи с вязкостным подходом. Приводятся опирающиеся на обсуждаемые конструкции методы построения оптимальных стратегий управления по принципу обратной связи с памятью истории движения. Библиография: 183 названия.

About the authors

Mikhail Igorevich Gomoyunov

N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences; Ural Federal University named after the First President of Russia B. N. Yeltsin

Email: gomojunov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-0871-920X
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

Nikolai Yur'evich Lukoyanov

N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences; Ural Federal University named after the First President of Russia B. N. Yeltsin

Email: nyul@imm.uran.ru
Scopus Author ID: 7004483594
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. N. Aguila-Camacho, M. A. Duarte-Mermoud, J. A. Gallegos, “Lyapunov functions for fractional order systems”, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 19:9 (2014), 2951–2957
  2. Р. Р. Ахмеров, М. И. Каменский, А. С. Потапов, А. Е. Родкина, Б. Н. Садовский, “Теория уравнений нейтрального типа”, Итоги науки и техн. Сер. Матем. анал., 19, ВИНИТИ, М., 1982, 55–126
  3. А. А. Алиханов, “Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка”, Дифференц. уравнения, 46:5 (2010), 658–664
  4. В. И. Арнольд, Математические методы классической механики, 3-е изд., испр. и доп., Наука, М., 1989, 472 с.
  5. J.-P. Aubin, G. Haddad, “History path dependent optimal control and portfolio valuation and management”, Positivity, 6:3 (2002), 331–358
  6. С. Банах, Теория линейных операций, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2001, 272 с.
  7. V. Barbu, G. Da Prato, Hamilton–Jacobi equations in Hilbert spaces, Res. Notes in Math., 86, Pitman, Boston, MA, 1983, v+172 pp.
  8. M. Bardi, I. Capuzzo-Dolcetta, Optimal control and viscosity solutions of Hamilton–Jacobi–Bellman equations, Systems Control Found. Appl., Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1997, xviii+570 pp.
  9. E. N. Barron, “Application of viscosity solutions of infinite-dimensional Hamilton–Jacobi–Bellman equations to some problems in distributed optimal control”, J. Optim. Theory Appl., 64:2 (1990), 245–268
  10. E. Bayraktar, C. Keller, “Path-dependent Hamilton–Jacobi equations in infinite dimensions”, J. Funct. Anal., 275:8 (2018), 2096–2161
  11. E. Bayraktar, C. Keller, “Path-dependent Hamilton–Jacobi equations with super-quadratic growth in the gradient and the vanishing viscosity method”, SIAM J. Control Optim., 60:3 (2022), 1690–1711
  12. A. Bensoussan, G. Da Prato, M. C. Delfour, S. K. Mitter, Representation and control of infinite dimensional systems, Systems Control Found. Appl., 2nd ed., Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2007, xxviii+575 pp.
  13. M. Bergounioux, L. Bourdin, “Pontryagin maximum principle for general Caputo fractional optimal control problems with Bolza cost and terminal constraints”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 26 (2020), 35, 38 pp.
  14. J. M. Borwein, D. Preiss, “A smooth variational principle with applications to subdifferentiability and to differentiability of convex functions”, Trans. Amer. Math. Soc., 303:2 (1987), 517–527
  15. J. M. Borwein, Q. J. Zhu, Techniques of variational analysis, CMS Books Math./Ouvrages Math. SMC, 20, Springer-Verlag, New York, 2005, vi+362 pp.
  16. A. M. Bruckner, Differentiation of real functions, Lecture Notes in Math., 659, Springer, Berlin, 1978, x+247 pp.
  17. P. Cannarsa, G. Da Prato, “Some results on non-linear optimal control problems and Hamilton–Jacobi equations in infinite dimensions”, J. Funct. Anal., 90:1 (1990), 27–47
  18. G. Carlier, R. Tahraoui, “Hamilton–Jacobi–Bellman equations for the optimal control of a state equation with memory”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 16:3 (2010), 744–763
  19. Ф. Кларк, Ю. С. Ледяев, “Новые формулы конечных приращений”, Докл. РАН, 331:3 (1993), 275–277
  20. F. H. Clarke, Yu. S. Ledyaev, “Mean value inequalities in Hilbert space”, Trans. Amer. Math. Soc., 344:1 (1994), 307–324
  21. F. H. Clarke, Yu. S. Ledyaev, R. J. Stern, P. R. Wolenski, Nonsmooth analysis and control theory, Grad. Texts in Math., 178, Springer-Verlag, New York, 1998, xiv+276 pp.
  22. R. Cont, D.-A. Fournie, “Functional Itô calculus and stochastic integral representation of martingales”, Ann. Probab., 41:1 (2013), 109–133
  23. A. Cosso, F. Gozzi, M. Rosestolato, F. Russo, Path-dependent Hamilton–Jacobi– Bellman equation: uniqueness of Crandall–Lions viscosity solutions, 2023 (v1 – 2021), 46 pp.
  24. A. Cosso, F. Russo, “Crandall–Lions viscosity solutions for path-dependent PDEs: the case of heat equation”, Bernoulli, 28:1 (2022), 481–503
  25. M. G. Crandall, L. C. Evans, P.-L. Lions, “Some properties of viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations”, Trans. Amer. Math. Soc., 282:2 (1984), 487–502
  26. M. G. Crandall, H. Ishii, P.-L. Lions, “Uniqueness of viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations revisited”, J. Math. Soc. Japan, 39:4 (1987), 581–596
  27. M. G. Crandall, P.-L. Lions, “Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations”, Trans. Amer. Math. Soc., 277:1 (1983), 1–42
  28. M. G. Crandall, P.-L. Lions, “Hamilton–Jacobi equations in infinite dimensions. I. Uniqueness of viscosity solutions”, J. Funct. Anal., 62:3 (1985), 379–396
  29. M. G. Crandall, P.-L. Lions, “Hamilton–Jacobi equations in infinite dimensions. II. Existence of viscosity solutions”, J. Funct. Anal., 65:3 (1986), 368–405
  30. M. G. Crandall, P.-L. Lions, “Remarks on the existence and uniqueness of unbounded viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations”, Illinois J. Math., 31:4 (1987), 665–688
  31. R. Deville, G. Godefroy, V. Zizler, “A smooth variational principle with applications to Hamilton–Jacobi equations in infinite dimensions”, J. Funct. Anal., 111:1 (1993), 197–212
  32. K. Diethelm, The analysis of fractional differential equations. An application-oriented exposition using differential operators of Caputo type, Lecture Notes in Math., 2004, Springer-Verlag, Berlin, 2010, viii+247 pp.
  33. B. Dupire, Functional Itô calculus, Bloomberg Portfolio Research Paper No. 2009-04-FRONTIERS, 2009, 25 pp.
  34. I. Ekren, N. Touzi, Jianfeng Zhang, “Viscosity solutions of fully nonlinear parabolic path dependent PDEs: Part I”, Ann. Probab., 44:2 (2016), 1212–1253
  35. I. Ekren, N. Touzi, Jianfeng Zhang, “Viscosity solutions of fully nonlinear parabolic path dependent PDEs: Part II”, Ann. Probab., 44:4 (2016), 2507–2553
  36. L. C. Evans, P. E. Souganidis, “Differential games and representation formulas for solutions of Hamilton–Jacobi–Isaacs equations”, Indiana Univ. Math. J., 33:5 (1984), 773–797
  37. G. Fabbri, F. Gozzi, A. Swiech, Stochastic optimal control in infinite dimension. Dynamic programming and HJB equations, Probab. Theory Stoch. Model., 82, Springer, Cham, 2017, xxiii+916 pp.
  38. S. Federico, B. Goldys, F. Gozzi, “HJB equations for the optimal control of differential equations with delays and state constraints. I. Regularity of viscosity solutions”, SIAM J. Control Optim., 48:8 (2010), 4910–4937
  39. S. Federico, B. Goldys, F. Gozzi, “HJB equations for the optimal control of differential equations with delays and state constraints. II. Verification and optimal feedbacks”, SIAM J. Control Optim., 49:6 (2011), 2378–2414
  40. W. H. Fleming, R. W. Rishel, Deterministic and stochastic optimal control, Appl. Math., 1, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1975, vii+222 pp.
  41. W. H. Fleming, H. M. Soner, Controlled Markov processes and viscosity solutions, Stoch. Model. Appl. Probab., 25, 2nd ed., Springer, New York, 2006, xviii+429 pp.
  42. H. Frankowska, “Lower semicontinuous solutions of Hamilton–Jacobi–Bellman equations”, SIAM J. Control Optim., 31:1 (1993), 257–272
  43. Ф. Р. Гантмахер, Лекции по аналитической механике, Уч. пособ. для вузов, 3-е изд., Физматлит, М., 2005, 264 с.
  44. Г. Г. Гарнышева, А. И. Субботин, “Стратегия минимаксного прицеливания в направлении квазиградиента”, ПММ, 58:4 (1994), 5–11
  45. И. М. Гельфанд, С. В. Фомин, Вариационное исчисление, Физматгиз, М., 1961, 228 с.
  46. M. I. Gomoyunov, “Fractional derivatives of convex Lyapunov functions and control problems in fractional order systems”, Fract. Calc. Appl. Anal., 21:5 (2018), 1238–1261
  47. M. I. Gomoyunov, “Approximation of fractional order conflict-controlled systems”, Progr. Fract. Differ. Appl., 5:2 (2019), 143–155
  48. M. I. Gomoyunov, “Dynamic programming principle and Hamilton–Jacobi–Bellman equations for fractional-order systems”, SIAM J. Control Optim., 58:6 (2020), 3185–3211
  49. M. Gomoyunov, “Solution to a zero-sum differential game with fractional dynamics via approximations”, Dyn. Games Appl., 10:2 (2020), 417–443
  50. М. И. Гомоюнов, “К теории дифференциальных включений с дробными производными Капуто”, Дифференц. уравнения, 56:11 (2020), 1419–1432
  51. М. И. Гомоюнов, “Минимаксные решения однородных уравнений Гамильтона–Якоби с коинвариантными производными дробного порядка”, Тр. ИММ УрО РАН, 26, № 4, 2020, 106–125
  52. М. И. Гомоюнов, “О критериях минимаксных решений уравнений Гамильтона–Якоби с коинвариантными производными дробного порядка”, Тр. ИММ УрО РАН, 27, № 3, 2021, 25–42
  53. M. I. Gomoyunov, “Differential games for fractional-order systems: Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs equation and optimal feedback strategies”, Mathematics, 9:14 (2021), 1667, 16 pp.
  54. M. I. Gomoyunov, On viscosity solutions of path-dependent Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs equations for fractional-order systems, 2021, 24 pp.
  55. M. I. Gomoyunov, “Minimax solutions of Hamilton–Jacobi equations with fractional coinvariant derivatives”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 28 (2022), 23, 36 pp.
  56. M. I. Gomoyunov, “On differentiability of solutions of fractional differential equations with respect to initial data”, Fract. Calc. Appl. Anal., 25:4 (2022), 1484–1506
  57. M. I. Gomoyunov, “On optimal positional strategies in fractional optimal control problems”, Mathematical optimization theory and operations research, Lecture Notes in Comput. Sci., 13930, Springer, Cham, 2023, 255–265
  58. М. И. Гомоюнов, “О связи принципа максимума Понтрягина и уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана в задачах оптимального управления системами дробного порядка”, Дифференц. уравнения, 59:11 (2023), 1515–1521
  59. M. I. Gomoyunov, “Sensitivity analysis of value functional of fractional optimal control problem with application to feedback construction of near optimal controls”, Appl. Math. Optim., 88:2 (2023), 41, 49 pp.
  60. M. I. Gomoyunov, “Value functional and optimal feedback control in linear-quadratic optimal control problem for fractional-order system”, Math. Control Relat. Fields, 14:1 (2024), 215–254
  61. М. И. Гомоюнов, Н. Ю. Лукоянов, “Построение решений задач управления линейными системами дробного порядка на основе аппроксимационных моделей”, Тр. ИММ УрО РАН, 26, № 1, 2020, 39–50
  62. М. И. Гомоюнов, Н. Ю. Лукоянов, “Дифференциальные игры в системах дробного порядка: неравенства для производных функционала цены по направлениям”, Труды МИАН, 315, Оптимальное управление и дифференциальные игры (2021), 74–94
  63. М. И. Гомоюнов, Н. Ю. Лукоянов, “О линейно-квадратичных дифференциальных играх для систем дробного порядка”, МТИП, 15:2 (2023), 18–32
  64. М. И. Гомоюнов, Н. Ю. Лукоянов, “Об оптимальной обратной связи в линейно-квадратичной задаче оптимального управления системой дробного порядка”, Дифференц. уравнения, 59:8 (2023), 1110–1122
  65. М. И. Гомоюнов, Н. Ю. Лукоянов, А. Р. Плаксин, “Существование цены и седловой точки в позиционных дифференциальных играх для систем нейтрального типа”, Тр. ИММ УрО РАН, 22, № 2, 2016, 101–112
  66. М. И. Гомоюнов, Н. Ю. Лукоянов, А. Р. Плаксин, “Об аппроксимации минимаксных решений функциональных уравнений Гамильтона–Якоби для систем с запаздыванием”, Тр. ИММ УрО РАН, 24, № 1, 2018, 53–62
  67. M. I. Gomoyunov, N. Yu. Lukoyanov, A. R. Plaksin, “Path-dependent Hamilton–Jacobi equations: the minimax solutions revised”, Appl. Math. Optim., 84:1 (2021), S1087–S1117
  68. М. И. Гомоюнов, А. Р. Плаксин, “Об основном уравнении дифференциальных игр для систем нейтрального типа”, ПММ, 82:6 (2018), 675–689
  69. M. I. Gomoyunov, A. R. Plaksin, “Equivalence of minimax and viscosity solutions of path-dependent Hamilton–Jacobi equations”, J. Funct. Anal., 285:11 (2023), 110155, 41 pp.
  70. J. K. Hale, M. A. Cruz, “Existence, uniqueness and continuous dependence for hereditary systems”, Ann. Mat. Pura Appl. (4), 85:1 (1970), 63–81
  71. J. K. Hale, S. M. Verduyn Lunel, Introduction to functional differential equations, Appl. Math. Sci., 99, Springer-Verlag, New York, 1993, x+447 pp.
  72. Р. Айзекс, Дифференциальные игры, Мир, М., 1967, 479 с.
  73. H. Ishii, “Uniqueness of unbounded viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations”, Indiana Univ. Math. J., 33:5 (1984), 721–748
  74. H. Ishii, “Viscosity solutions for a class of Hamilton–Jacobi equations in Hilbert spaces”, J. Funct. Anal., 105:2 (1992), 301–341
  75. Shaolin Ji, Shuzhen Yang, “A note on functional derivatives on continuous paths”, Statist. Probab. Lett., 106 (2015), 176–183
  76. G. Jumarie, “Fractional Hamilton–Jacobi equation for the optimal control of nonrandom fractional dynamics with fractional cost function”, J. Appl. Math. Comput., 23:1-2 (2007), 215–228
  77. H. Kaise, “Path-dependent differential games of inf-sup type and Isaacs partial differential equations”, 54th IEEE conference on decision and control (CDC) (Osaka, 2015), IEEE, 2015, 1972–1977
  78. H. Kaise, “Convergence of discrete-time deterministic games to path-dependent Isaacs partial differential equations under quadratic growth conditions”, Appl. Math. Optim., 86:1 (2022), 13, 49 pp.
  79. H. Kaise, T. Kato, Y. Takahashi, “Hamilton–Jacobi partial differential equations with path-dependent terminal costs under superlinear Lagrangians”, 23rd international symposium on mathematical theory of networks and systems (MTNS), Hong Kong Univ. of Science and Technology, Hong Kong, 2018, 692–699
  80. Дж. Л. Келли, Общая топология, 2-е изд., Наука, М., 1981, 432 с.
  81. М. М. Хрусталев, “Необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнения Беллмана”, Докл. АН СССР, 242:5 (1978), 1023–1026
  82. A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo, Theory and applications of fractional differential equations, North-Holland Math. Stud., 204, Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2006, xvi+523 pp.
  83. А. В. Ким, “Ко второму методу Ляпунова для систем с последействием”, Дифференц. уравнения, 21:3 (1985), 385–391
  84. A. V. Kim, Functional differential equations. Application of $i$-smooth calculus, Math. Appl., 479, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1999, xvi+165 pp.
  85. А. В. Ким, В. Г. Пименов, $i$-гладкий анализ и численные методы решения функционально-дифференциальных уравнений, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2004, 256 с.
  86. R. Kipka, Yu. Ledyaev, “A generalized multidirectional mean value inequality and dynamic optimization”, Optimization, 68:7 (2019), 1365–1389
  87. M. Kocan, P. Soravia, A. Swiech, “On differential games for infinite-dimensional systems with nonlinear, unbounded operators”, J. Math. Anal. Appl., 211:2 (1997), 395–423
  88. V. Kolmanovskii, A. Myshkis, Applied theory of functional differential equations, Math. Appl. (Soviet Ser.), 85, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1992, xvi+234 pp.
  89. В. Н. Колокольцов, В. П. Маслов, “Задача Коши для однородного уравнения Беллмана”, Докл. АН СССР, 296:4 (1987), 796–800
  90. A. N. Krasovskii, N. N. Krasovskii, Control under lack of information, Systems Control Found. Appl., Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1995, xii+322 pp.
  91. Н. Н. Красовский, “О применении второго метода А. М. Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени”, ПММ, 20:3 (1956), 315–327
  92. Н. Н. Красовский, Некоторые задачи теории устойчивости движения, Физматгиз, М., 1959, 211 с.
  93. Н. Н. Красовский, “Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием”, ПММ, 28:4 (1964), 716–724
  94. Н. Н. Красовский, “К задаче унификации дифференциальных игр”, Докл. АН СССР, 226:6 (1976), 1260–1263
  95. Н. Н. Красовский, “Унификация дифференциальных игр”, Игровые задачи управления, Труды ИММ УНЦ АН СССР, 24, ИММ УНЦ АН СССР, Свердловск, 1977, 32–45
  96. Н. Н. Красовский, Управление динамической системой. Задача о минимуме гарантированного результата, Наука, М., 1985, 519 с.
  97. Н. Н. Красовский, Н. Ю. Лукоянов, “Уравнения типа Гамильтона–Якоби в наследственных системах: минимаксные решения”, Сборник научных трудов, Тр. ИММ УрО РАН, 6, № 1, 2000, 110–130
  98. Н. Н. Красовский, Ю. С. Осипов, “Линейные дифференциально-разностные игры”, Докл. АН СССР, 197:4 (1971), 777–780
  99. Н. Н. Красовский, А. И. Субботин, Позиционные дифференциальные игры, Наука, М., 1974, 456 с.
  100. N. N. Krasovskii, A. I. Subbotin, Game-theoretical control problems, Springer Ser. Soviet Math, Springer, New York, 1988, xii+517 pp.
  101. С. Н. Кружков, “Обобщенные решения нелинейных уравнений первого порядка со многими независимыми переменными. I”, Матем. сб., 70(112):3 (1966), 394–415
  102. А. В. Кряжимский, Ю. С. Осипов, “Дифференциально-разностная игра сближения с функциональным целевым множеством”, ПММ, 37:1 (1973), 3–13
  103. А. Б. Куржанский, “К аппроксимации линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием”, Дифференц. уравнения, 3:12 (1967), 2094–2107
  104. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика, т. 1, Механика, 4-е изд., испр., Наука, М., 1988, 216 с.
  105. Xunjing Li, Jiongmin Yong, Optimal control theory for infinite dimensional systems, Systems Control Found. Appl., Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1995, xii+448 pp.
  106. Yongxin Li, Shuzhong Shi, “A generalization of Ekeland's $epsilon$-variational principle and its Borwein–Preiss smooth variant”, J. Math. Anal. Appl., 246:1 (2000), 308–319
  107. D. Liberzon, Calculus of variations and optimal control theory. A concise introduction, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2012, xviii+235 pp.
  108. Ping Lin, Jiongmin Yong, “Controlled singular Volterra integral equations and Pontryagin maximum principle”, SIAM J. Control Optim., 58:1 (2020), 136–164
  109. P.-L. Lions, Generalized solutions of Hamilton–Jacobi equations, Res. Notes in Math., 69, Pitman, Boston, MA–London, 1982, iv+317 pp.
  110. P.-L. Lions, P. E. Souganidis, “Differential games, optimal control and directional derivatives of viscosity solutions of Bellman's and Isaacs' equations”, SIAM J. Control Optim., 23:4 (1985), 566–583
  111. Н. Ю. Лукоянов, “Об уравнении типа Гамильтона–Якоби в задачах управления с наследственной информацией”, ПММ, 64:2 (2000), 252–263
  112. Н. Ю. Лукоянов, “Минимаксное решение функциональных уравнений типа Гамильтона–Якоби для наследственных систем”, Дифференц. уравнения, 37:2 (2001), 228–237
  113. Н. Ю. Лукоянов, “О свойствах функционала цены дифференциальной игры с наследственной информацией”, ПММ, 65:3 (2001), 375–384
  114. N. Lukoyanov, “Functional Hamilton–Jacobi type equations in ci-derivatives for systems with distributed delays”, Nonlinear Funct. Anal. Appl., 8:3 (2003), 365–397
  115. N. Lukoyanov, “Functional Hamilton–Jacobi type equations with ci-derivatives in control problems with hereditary information”, Nonlinear Funct. Anal. Appl., 8:4 (2003), 535–555
  116. Н. Ю. Лукоянов, “Стратегии прицеливания в направлении инвариантных градиентов”, ПММ, 68:4 (2004), 629–643
  117. Н. Ю. Лукоянов, “Об аппроксимации функциональных уравнений Гамильтона–Якоби в системах с наследственной информацией”, Труды международного семинара “Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона–Якоби”, посв. 60-летию акад. А. И. Субботина (Екатеринбург, 2005), т. 1, Изд-во Уральского ун-та, Екатеринбург, 2006, 108–115
  118. Н. Ю. Лукоянов, “Дифференциальные неравенства для негладкого функционала цены в задачах управления системами с последействием”, Управление, устойчивость и обратные задачи динамики, Сб. науч. тр., Тр. ИММ УрО РАН, 12, № 2, 2006, 108–118
  119. Н. Ю. Лукоянов, “О вязкостном решении функциональных уравнений типа Гамильтона–Якоби для наследственных систем”, Тр. ИММ УрО РАН, 13, № 2, 2007, 135–144
  120. Н. Ю. Лукоянов, “Вязкостное решение неупреждающих уравнений типа Гамильтона–Якоби”, Дифференц. уравнения, 43:12 (2007), 1674–1682
  121. Н. Ю. Лукоянов, “Минимаксные и вязкостные решения в задачах оптимизации наследственных систем”, Тр. ИММ УрО РАН, 15, № 4, 2009, 183–194
  122. Н. Ю. Лукоянов, “Об условиях оптимальности гарантированного результата в задачах управления системами с запаздыванием”, Тр. ИММ УрО РАН, 15, № 3, 2009, 158–169
  123. Н. Ю. Лукоянов, Функциональные уравнения Гамильтона–Якоби и задачи управления с наследственной информацией, УрФУ, Екатеринбург, 2011, 243 с.
  124. Н. Ю. Лукоянов, М. И. Гомоюнов, А. Р. Плаксин, “Функциональные уравнения Гамильтона–Якоби и дифференциальные игры для систем нейтрального типа”, Докл. РАН, 477:3 (2017), 287–290
  125. Н. Ю. Лукоянов, А. Р. Плаксин, “Конечномерные моделирующие поводыри в системах с запаздыванием”, Тр. ИММ УрО РАН, 19, № 1, 2013, 182–195
  126. Н. Ю. Лукоянов, А. Р. Плаксин, “Минимаксное решение функциональных уравнений Гамильтона–Якоби для систем нейтрального типа”, Докл. РАН, 476:2 (2017), 136–139
  127. Н. Ю. Лукоянов, А. Р. Плаксин, “Стабильные функционалы динамических систем нейтрального типа”, Оптимальное управление и дифференциальные уравнения, Сб. статей. К 110-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 304, МИАН, М., 2019, 221–234
  128. Н. Ю. Лукоянов, А. Р. Плаксин, “К теории позиционных дифференциальных игр для систем нейтрального типа”, Тр. ИММ УрО РАН, 25, № 3, 2019, 118–128
  129. N. Yu. Lukoyanov, A. R. Plaksin, “Hamilton–Jacobi equations for neutral-type systems: inequalities for directional derivatives of minimax solutions”, Minimax Theory Appl., 5:2 (2020), 369–381
  130. Н. Ю. Лукоянов, А. Р. Плаксин, “Неравенства для субградиентов функционала цены в дифференциальных играх для систем с запаздыванием”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 490 (2020), 91–94
  131. В. И. Максимов, “Альтернатива в дифференциально-разностной игре сближения–уклонения с функциональной целью”, ПММ, 40:6 (1976), 987–994
  132. В. И. Максимов, “Дифференциальная игра наведения для систем с отклоняющимся аргументом нейтрального типа”, Задачи динамического управления, Сборник статей, УНЦ АН СССР, Свердловск, 1981, 33–45
  133. В. П. Маслов, В. Н. Колокольцов, Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении, Наука, М., 1994, 144 с.
  134. В. П. Маслов, С. Н. Самборский, “Существование и единственность решений стационарных уравнений Гамильтона–Якоби и Беллмана. Новый подход”, Докл. РАН, 324:6 (1992), 1143–1148
  135. А. А. Меликян, Обобщенные характеристики уравнений в частных производных первого порядка. Приложения к задачам теории управления и дифференциальным играм, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2014, 450 с.
  136. K. S. Miller, B. Ross, An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations, Wiley-Intersci. Publ., John Wiley & Sons, Inc., New York, 1993, xvi+366 pp.
  137. Ю. С. Осипов, “Дифференциальные игры систем с последействием”, Докл. АН СССР, 196:4 (1971), 779–782
  138. В. Л. Пасиков, “Альтернатива в минимаксной дифференциальной игре для систем с последействием”, Изв. вузов. Матем., 1983, № 8, 45–50
  139. Triet Pham, Jianfeng Zhang, “Two person zero-sum game in weak formulation and path dependent Bellman–Isaacs equation”, SIAM J. Control Optim., 52:4 (2014), 2090–2121
  140. А. Р. Плаксин, “Об уравнении Гамильтона–Якоби–Айзекса–Беллмана для систем нейтрального типа”, Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:2 (2017), 222–237
  141. А. Р. Плаксин, “О минимаксном решении функциональных уравнений Гамильтона–Якоби для систем нейтрального типа”, Дифференц. уравнения, 55:11 (2019), 1519–1527
  142. A. Plaksin, “Minimax and viscosity solutions of Hamilton–Jacobi–Bellman equations for time-delay systems”, J. Optim. Theory Appl., 187:1 (2020), 22–42
  143. А. Р. Плаксин, “О минимаксном решении уравнений Гамильтона–Якоби для систем нейтрального типа: случай неоднородного гамильтониана”, Дифференц. уравнения, 57:11 (2021), 1536–1545
  144. A. R. Plaksin, “Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs equations for time-delay systems”, SIAM J. Control Optim., 59:3 (2021), 1951–1972
  145. A. Plaksin, “Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations for neutral-type systems”, Appl. Math. Optim., 88:1 (2023), 6, 29 pp.
  146. I. Podlubny, Fractional differential equations. An introduction to fractional derivatives, fractional differential equations, to methods of their solution and some of their applications, Math. Sci. Engrg., 198, Academic Press, Inc., San Diego, CA, 1999, xxiv+340 pp.
  147. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, 4-е изд., Наука, М., 1983, 392 с.
  148. M. Ramaswamy, A. J. Shaiju, “Construction of approximate saddle-point strategies for differential games in a Hilbert space”, J. Optim. Theory Appl., 141:2 (2009), 349–370
  149. A. Razminia, M. Asadizadehshiraz, D. F. M. Torres, “Fractional order version of the Hamilton–Jacobi–Bellman equation”, J. Comput. Nonlinear Dynam., 14:1 (2018), 011005, 6 pp.
  150. Ю. М. Репин, “О приближенной замене систем с запаздыванием обыкновенными динамическими системами”, ПММ, 29:2 (1965), 226–235
  151. И. В. Рублев, “О связи между двумя понятиями обобщенного решения для уравнения Гамильтона–Якоби”, Дифференц. уравнения, 38:6 (2002), 818–825
  152. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения, Наука и техника, Минск, 1987, 688 с.
  153. Б. Сендов, Хаусдорфовы приближения, Изд-во Болгарской АН, София, 1979, 372 с.
  154. С. Н. Шиманов, “Об устойчивости в критическом случае одного нулевого корня для систем с последействием”, ПММ, 24:3 (1960), 447–457
  155. С. Н. Шиманов, “К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием”, Дифференц. уравнения, 1:1 (1965), 102–116
  156. H. M. Soner, “On the Hamilton–Jacobi–Bellman equations in Banach spaces”, J. Optim. Theory Appl., 57:3 (1988), 429–437
  157. P. E. Souganidis, “Existence of viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations”, J. Differential Equations, 56:3 (1985), 345–390
  158. C. Stegall, “Optimization of functions on certain subsets of Banach spaces”, Math. Ann., 236:2 (1978), 171–176
  159. А. И. Субботин, “Обобщение основного уравнения теории дифференциальных игр”, Докл. АН СССР, 254:2 (1980), 293–297
  160. А. И. Субботин, Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона–Якоби, Наука, М., 1991, 216 с.
  161. А. И. Субботин, “Об одном свойстве субдифференциала”, Матем. сб., 182:9 (1991), 1315–1330
  162. А. И. Субботин, Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации., Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2003, 335 с.
  163. А. И. Субботин, А. Г. Ченцов, Оптимизация гарантии в задачах управления, Наука, М., 1981, 288 с.
  164. А. И. Субботин, Н. Н. Субботина, “Функция оптимального результата в задаче управления”, Докл. АН СССР, 266:2 (1982), 294–299
  165. А. И. Субботин, Н. Н. Субботина, “К вопросу обоснования метода динамического программирования в задаче оптимального управления”, Изв. АН СССР. Техн. Кибернет., 1983, № 2, 24–32
  166. A. I. Subbotin, A. M. Tarasev, “Stability properties of the value function of a differential game and viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations”, Problems Control Inform. Theory, 15:6 (1986), 451–463
  167. Н. Н. Субботина, “Унифицированные условия оптимальности в задачах управления”, Сборник научных трудов, Тр. ИММ УрО РАН, 1, 1992, 147–159
  168. Н. Н. Субботина, “Метод характеристик для уравнений Гамильтона–Якоби и его приложения в динамической оптимизации”, Совр. матем. и ее приложения, 20 (2004), 1–129
  169. A. Swiȩch, “Sub- and super-optimality principles and construction of almost optimal strategies for differential games in Hilbert spaces”, Advances in dynamic games, Ann. Internat. Soc. Dynam. Games, 11, Birkhäuser/Springer, New York, 2010, 149–163
  170. Shanjian Tang, Fu Zhang, “Path-dependent optimal stochastic control and viscosity solution of associated Bellman equations”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 35:11 (2015), 5521–5553
  171. А. М. Тарасьев, В. Н. Ушаков, А. П. Хрипунов, “Об одном вычислительном алгоритме решения игровых задач управления”, ПММ, 51:2 (1987), 216–222
  172. D. Tataru, “Viscosity solutions of Hamilton–Jacobi equations with unbounded nonlinear terms”, J. Math. Anal. Appl., 163:2 (1992), 345–392
  173. Hung Vinh Tran, Hamilton–Jacobi equations: theory and applications, Grad. Stud. Math., 213, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2021, xiv+322 pp.
  174. В. Н. Ушаков, А. А. Успенский, “Об одном дополнении к свойству стабильности в дифференциальных играх”, Дифференциальные уравнения и топология. II, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 271, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2010, 299–318
  175. P. R. Wolenski, “Hamilton–Jacobi theory for hereditary control problems”, Nonlinear Anal., 22:7 (1994), 875–894
  176. Jiongmin Yong, Differential games. A concise introduction, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2015, xiv+322 pp.
  177. М. И. Зеликин, Оптимальное управление и вариационное исчисление, 2-е изд., испр. и доп., Едиториал УРСС, М., 2004, 160 с.
  178. Jianjun Zhou, A class of delay optimal control problems and viscosity solutions to associated Hamilton–Jacobi–Bellman equations, 2015, 21 pp.
  179. Jianjun Zhou, “A class of infinite-horizon stochastic delay optimal control problems and a viscosity solution to the associated HJB equation”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 24:2 (2018), 639–676
  180. Jianjun Zhou, Viscosity solutions to first order path-dependent HJB equations, 2020, 25 pp.
  181. Jianjun Zhou, Viscosity solutions to second order elliptic Hamilton–Jacobi–Bellman equation with infinite delay, 2021, 39 pp.
  182. Jianjun Zhou, “A notion of viscosity solutions to second-order Hamilton–Jacobi–Bellman equations with delays”, Internat. J. Control, 95:10 (2022), 2611–2631
  183. Jianjun Zhou, “Viscosity solutions to second order path-dependent Hamilton–Jacobi–Bellman equations and applications”, Ann. Appl. Probab., 33:6B (2023), 5564–5612

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Гомоюнов М.I., Лукоянов Н.Y.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».