Extendability and qualitative properties of solutions of Riccati's equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

На вещественной оси рассматривается уравнение Риккати с непрерывными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом правой части. Исследуется продолжаемость его решений на бесконечный интервал. Найдена асимптотика его решений в зависимости от их начальных значений и свойств функций, являющихся корнями правой части уравнения. Получены результаты об асимптотическом поведении решений, определённых в окрестности $\pm\infty$. Исследована структура множества ограниченных решений уравнения в случае, когда корни правой части уравнения – различные на всей их области определения непрерывно дифференцируемые функции, монотонно стремящиеся к пределам при $x\to\pm\infty$. Дополнены, усилены или уточнены некоторые известные результаты. Библиография: 47 названий.

About the authors

Irina Viktorovna Astashova

Lomonosov Moscow State University; Plekhanov Russian State University of Economics

Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Vladimir Andreevich Nikishov

Lomonosov Moscow State University

Email: nikishov1999@yandex.ru

References

  1. И. Г. Фихтенгольц, “Элементы теории гравитационных волн”, ТМФ, 79:1 (1989), 146–150
  2. А. В. Лысухина, Эквивалентность некоторых квантово-механических моделей, бакалаврская работа, Физ. ф-т МГУ им. М. В. Ломоносова, М., 2017
  3. E. A. Lukashev, V. V. Palin, E. V. Radkevich, N. N. Yakovlev, “Nonclassical regularization of the multicomponent Euler system”, J. Math. Sci. (N. Y.), 196:3 (2014), 322–345
  4. J. Da Fonseca, M. Grasselli, C. Tebaldi, “A multifactor volatility Heston model”, Quant. Finance, 8:6 (2008), 591–604
  5. Д. А. Смородинов, “Параметризация регулятора межконтуров стабилизации диаметра изоляции и погонной емкости кабеля связи с парной скруткой”, Журн. науч. публ. аспирантов и докторантов, 4 ((2013))
  6. И. И. Артоболевский, В. С. Лощинин, Динамика машинных агрегатов на предельных режимах движения, Наука, М., 1977, 305 с.
  7. Н. А. Кильчевский, Курс теоретической механики, т. 1, Kинематика, статика, динамика точки, Наука, М., 1972, 75 с.
  8. М. И. Зеликин, Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, Факториал, М., 1998, 350 с.
  9. Н. Н. Лузин, “О методе приближeнного интегрирования акад. С. А. Чаплыгина”, УМН, 6:6(46) (1951), 3–27
  10. С. А. Чаплыгин, Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений, Гостехиздат, М.–Л., 1950, 102 с.
  11. A. Glutsuk, “On germs of constriction curves in model of overdamped Josephson junction, dynamical isomonodromic foliation and Painleve 3 equation”, Mosc. Math. J., 23:4 (2023), 479–513
  12. Z. Došla, P. Hasil, S. Matucci, M. Vesely, “Euler type linear and half-linear differential equations and their non-oscillation in the critical oscillation case”, J. Inequal. Appl., 2019, 189, 30 pp.
  13. J. Bernoulli, “Modus generalis construendi omnes aequationes differentiales primi gradus”, Acta Erud., 1694, 435–437
  14. Дж. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, т. 1, 2, ИЛ, М., 1949, 798 с., 220 с.
  15. J. F. Riccati, “Animadversiones in aequationes differentiales secundi gradus”, Acta Erud. Suppl., 8 (1724), 66–73
  16. D. Bernoulli, “Notata in J. Riccati ‘Animadversiones in aequationes differentiales secundi gradus’ ”, Acta Erud. Suppl., 8 (1724), 73–75
  17. В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, 8-е изд., ГИФМЛ, М., 1959, 468 с.
  18. J. Liouville, “Remarques nouvelles sur l'equation de Riccati”, J. Math. Pures Appl., 1841, 1–13
  19. L. Euler, “De integratione aequationum differentialium”, Nov. Comm. Acad. Sci. Petrop., VIII, (1760–1761) (1763), 3–63
  20. L. Euler, “De resolutione aequationis $dy+ayy dx=bx^m dx$”, Nov. Comm. Acad. Sci. Petrop., IX, (1762–1763) (1764), 154–169
  21. A. Cayley, “On Riccati's equation”, Philos. Mag. (4), XXXVI:244 (1868), 348–351
  22. R. Murphy, “On the general properties of definite integrals”, Trans. Camb. Phil. Soc., III (1830), 429–443
  23. E. Weyr, Zur Integration der Differentialgleichungen erster Ordnung, Abh. Königl. böhm. Ges. Wiss. (6), 6, Prag, Dr. Ed. Gregr, 1875, 44 pp.
  24. E. Picard, “Application de la theorie des complexes lineaires à l'etude des surfaces et des courbes gauches”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (2), 6 (1877), 329–366
  25. R. Redheffer, “On solutions of Riccati's equation as functions of the initial values”, J. Rational Mech. Anal., 5:5 (1956), 835–848
  26. G. McCarty, Jr., “Solutions to Riccati's problem as functions of initial values”, J. Math. Mech., 9:6 (1960), 919–925
  27. В. А. Плисс, Нелокальные проблемы теории колебаний, Наука, М.–Л., 1964, 368 с.
  28. I. V. Astashova, “Remark on continuous dependence of solutions to the Riccati equation on its righthand side”, International workshop QUALITDE – 2021, Abstracts (Tbilisi, 2021), A. Razmadze Math. Inst. of I. Javakhishvili Tbilisi State Univ., Tbilisi, 14–17
  29. А. Ф. Филиппов, Введение в теорию дифференциальных уравнений, УРСС, М., 2004, 239 с.
  30. W. T. Reid, Riccati differential equations, Math. Sci. Eng., 86, Academic Press, New York–London, 1972, x+216 pp.
  31. M. Bertolino, “Non-stabilite des courbes de points stationnaires des solutions des equations differentielles”, (Serbo-Croatian), Mat. Vesnik, 2(15)(30):3 (1978), 243–253
  32. M. Bertolino, “Equations differentielles aux coefficients infinis”, Mat. Vesnik, 4(17)(32):2 (1980), 150–155
  33. M. Bertolino, “Asymptotes verticales des solutions des equations differentielles”, Mat. Vesnik, 5(18)(33):2 (1981), 139–144
  34. А. И. Егоров, Уравнение Риккати, Физматлит, М., 2001, 328 с.
  35. Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 5-е изд., Наука, М., 1976, 576 с.
  36. N. M. Kovalevskaya, On some cases of integrability of a general Riccati equaton, 2006, 4 pp.
  37. Н. М. Ковалевская, “Об интегрируемости общего уравнения Риккати”, Журн. науч. публ. аспирантов и докторантов, 5 ((2011))
  38. Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Мир, М., 1970, 720 с.
  39. В. В. Палин, Е. В. Радкевич, “О поведении стабилизирующихся решений для уравнения Риккати”, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 31, Изд-во Моск. ун-та, М., 2016, 110–133
  40. M. Bertolino, “Sur une synthèse pratique de deux methodes qualitatives d'etude des equations differentielles”, Mat. Vesnik, 13(28):1 (1976), 9–19
  41. I. Merovci, “Sur quelques proprietes des solutions de l'equation $y'=(y-alpha_1)(y-alpha_2)$”, (Serbo-Croatian), Mat. Vesnik, 2(15)(30):3 (1978), 235–242
  42. Н. П. Еругин, Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, 3-е изд., перераб. и доп., Наука и техника, Минск, 1979, 743 с.
  43. M. Bertolino, “Tuyaux etages de l'approximation des equations differentielles”, Publ. Inst. Math. (Beograd) (N. S.), 12(26) (1971), 5–10
  44. I. V. Astashova, V. A. Nikishov, “On extensibility and asymptotics of solutions to the Riccati equation with real roots of its right part”, International workshop QUALITDE – 2022, Reports of QUALITDE (Tbilisi, 2022), v. 1, A. Razmadze Math. Inst. of I. Javakhishvili Tbilisi State Univ., Tbilisi, 27–30
  45. И. В. Асташова, В. А. Никишов, “О качественных свойствах решений уравнения Риккати”, Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения – XXXIV, Материалы международной Воронежской весенней математической школы (3–9 мая 2023 г.), Изд. дом ВГУ, Воронеж, 2023, 50–53
  46. И. В. Асташова, В. А. Никишов, “О продолжаемости и асимптотике решений уравнения Риккати с вещественными корнями правой части”, Дифференц. уравнения, 59:6 (2023), 856–858
  47. P. Hartman, “On an ordinary differential equation involving a convex function”, Trans. Amer. Math. Soc., 146 (1969), 179–202

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Асташова И.V., Никишов В.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».