Left-invariant optimal control problems on Lie groups that are integrable by elliptic functions

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Left-invariant optimal control problems on Lie groups are an important class of problems with a large symmetry group. They are theoretically interesting because they can often be investigated in full and general laws can be studied by using these model problems. In particular, problems on nilpotent Lie groups provide a fundamental nilpotent approximation to general problems. Also, left-invariant problems often arise in applications such as classical and quantum mechanics, geometry, robotics, visual perception models, and image processing.The aim of this paper is to present a survey of the main concepts, methods, and results pertaining to left-invariant optimal control problems on Lie groups that can be integrated by elliptic functions. The focus is on describing extremal trajectories and their optimality, the cut time andcut locus, and optimal synthesis.Bibliography: 162 titles.

About the authors

Yurii Leonidovich Sachkov

Ailamazyan Program Systems Institute of Russian Academy of Sciences

Email: yusachkov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. A. Agrachev, D. Barilari, “Sub-Riemannian structures on 3D Lie groups”, J. Dyn. Control Syst., 18:1 (2012), 21–44
  2. A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain, A comprehensive introduction to sub-Riemannian geometry. From the Hamiltonian viewpoint, Cambridge Stud. Adv. Math., 181, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2020, xviii+745 pp.
  3. A. Agrachev, B. Bonnard, M. Chyba, I. Kupka, “Sub-Riemannian sphere in Martinet flat case”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 2 (1997), 377–448
  4. A. Agrachev, A. Marigo, “Nonholonomic tangent spaces: intrinsic construction and rigid dimensions”, Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 9 (2003), 111–120
  5. A. A. Agrachev, Yu. L. Sachkov, “An intrinsic approach to the control of rolling bodies”, Proceedings of the 38th IEEE conference on decision and control (Phoenix, AZ, 1999), v. 1, IEEE, 1999, 431–435
  6. А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков, Геометрическая теория управления, Физматлит, М., 2005, 392 с.
  7. А. А. Аграчев, А. В. Сарычев, “Фильтрация алгебры Ли векторных полей и нильпотентная аппроксимация управляемых систем”, Докл. АН СССР, 295:4 (1987), 777–781
  8. Н. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, 2-е изд., Наука, М., 1970, 304 с.
  9. S. S. Antman, “The influence of elasticity on analysis: modern developments”, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 9:3 (1983), 267–291
  10. A. Anzaldo-Menezes, F. Monroy-Perez, “Charges in magnetic fields and sub-Riemannian geodesics”, Contemporary trends in nonlinear geometric control theory and its applications (Mexico City, 2000), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2002, 183–202
  11. A. A. Ardentov, “Controlling of a mobile robot with a trailer and its nilpotent approximation”, Regul. Chaotic Dyn., 21:7-8 (2016), 775–791
  12. A. Ardentov, G. Bor, E. Le Donne, R. Montgomery, Yu. Sachkov, “Bicycle paths, elasticae and sub-Riemannian geometry”, Nonlinearity, 34:7 (2021), 4661–4683
  13. А. А. Ардентов, И. С. Губанов, “Моделирование парковки автомобиля с прицепом вдоль путей Маркова–Дубинса и Ридса–Шеппа”, Программные системы: теория и приложения, 10:4 (2019), 97–110
  14. A. Ardentov, E. Hakavuori, “Cut time in the sub-Riemannian problem on the Cartan group”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 28 (2022), 12, 19 pp.
  15. A. A. Ardentov, Y. L. Karavaev, K. S. Yefremov, “Euler elasticas for optimal control of the motion of mobile wheeled robots: the problem of experimental realization”, Regul. Chaotic Dyn., 24:3 (2019), 312–328
  16. A. A. Ardentov, E. Le Donne, Yu. L. Sachkov, “Sub-Finsler geodesics on the Cartan group”, Regul. Chaotic Dyn., 24:1 (2019), 36–60
  17. А. А. Ардентов, Э. Ле Донне, Ю. Л. Сачков, “Субфинслерова задача на группе Картана”, Оптимальное управление и дифференциальные уравнения, Сборник статей. К 110-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 304, МИАН, М., 2019, 49–67
  18. А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков, “Решение задачи Эйлера об эластиках”, Автомат. и телемех., 2009, № 4, 78–88
  19. А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков, “Экстремальные траектории в нильпотентной субримановой задаче на группе Энгеля”, Матем. сб., 202:11 (2011), 31–54
  20. A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Conjugate points in nilpotent sub-Riemannian problem on the Engel group”, J. Math. Sci. (N. Y.), 195:3 (2013), 369–390
  21. A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Cut time in sub-Riemannian problem on Engel group”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 21:4 (2015), 958–988
  22. A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Maxwell strata and cut locus in the sub-Riemannian problem on the Engel group”, Regul. Chaotic Dyn., 22:8 (2017), 909–936
  23. А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков, “Множество разреза в субримановой задаче на группе Энгеля”, Докл. РАН, 478:6 (2018), 623–626
  24. А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков, “Субфинслерова задача на группе Картана”, Докл. РАН, 484:2 (2019), 138–141
  25. А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков, “Субфинслеровы структуры на группе Энгеля”, Докл. РАН, 485:4 (2019), 395–398
  26. А. А. Ардентов, Ю. Л. Сачков, Т. Хуанг, К. Янг, “Экстремальные траектории в сублоренцевой задаче на группе Энгеля”, Матем. сб., 209:11 (2018), 3–31
  27. А. А. Ардентов, А. В. Смирнов, “Управление мобильным роботом вдоль эластик Эйлера”, Программные системы: теория и приложения, 8:4 (2017), 163–178
  28. В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, 2-е изд., перераб. и доп., Едиториал УРСС, М., 2002, 416 с.
  29. A. M. Arthurs, G. R. Walsh, “On Hammersley's minimum problem for a rolling sphere”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 99:3 (1986), 529–534
  30. D. Barilari, U. Boscain, E. Le Donne, M. Sigalotti, “Sub-Finsler structures from the time-optimal control viewpoint for some nilpotent distributions”, J. Dyn. Control Syst., 23:3 (2017), 547–575
  31. A. Bellaïche, “The tangent space in sub-Riemannian geometry”, Sub-Riemannian geometry, Progr. Math., 144, Birkhäuser, Basel, 1996, 1–78
  32. A. Bellaïche, J.-P. Laumond, M. Chyba, “Canonical nilpotent approximation of control systems: application to nonholonomic motion planning”, Proceedings of 32nd IEEE conference on decision and control (San Antonio, TX), v. 3, IEEE, 1993, 2694–2699
  33. A. Bellaïche, J.-P. Laumond, J.-J. Risler, “Nilpotent infinitesimal approximations to a control Lie algebra”, Nonlinear control systems design 1992, Selected papers from the 2nd IFAC symposium (Bordeaux, 1992), IFAC Symposia Series, Pergamon Press, Oxford, 1993, 101–108
  34. E. J. Bekkers, R. Duits, A. Mashtakov, G. R. Sanguinetti, “A PDE approach to data-driven sub-Riemannian geodesics in $mathrm{SE}(2)$”, SIAM J. Imaging Sci., 8:4 (2015), 2740–2770
  35. E. J. Bekkers, R. Duits, A. Mashtakov, Yu. Sachkov, “Vessel tracking via sub-Riemannian geodesics on the projective line bundle”, Geometric science of information, Lecture Notes in Comput. Sci., 10589, Springer, Cham, 2017, 773–781
  36. G. Ben-Yosef, O. Ben-Shahar, “A tangent bundle theory for visual curve completion”, IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., 34:7 (2012), 1263–1280
  37. В. Н. Берестовский, “Однородные многообразия с внутренней метрикой. II”, Сиб. матем. журн., 30:2 (1989), 14–28
  38. В. Н. Берестовский, “О структуре однородных локально компактных пространств с внутренней метрикой”, Сиб. матем. журн., 30:1 (1989), 23–34
  39. В. Н. Берестовский, “Геодезические левоинвариантной неголономной римановой метрики на группе движений евклидовой плоскости”, Сиб. матем. журн., 35:6 (1994), 1223–1229
  40. В. Н. Берестовский, “Геодезические неголономных левоинвариантных внутренних метрик на группе Гейзенберга и изопериметриксы плоскости Минковского”, Сиб. матем. журн., 35:1 (1994), 3–11
  41. В. Н. Берестовский, И. А. Зубарева, “Экстремали левоинвариантной субфинслеровой метрики на группе Энгеля”, Сиб. матем. журн., 61:4 (2020), 735–751
  42. V. N. Berestovskii, I. A. Zubareva, “PMP, (co)adjoint representation, and normal geodesics, of left-invariant (sub-)Finsler metric on Lie groups”, Чебышевский сб., 21:2 (2020), 43–64
  43. D. Bernoulli, “26th letter to L. Euler (October, 1742)”: P. H. Fuss, Correspondance mathematique et physique, v. 2, St. Petersburg, 1843, 499–507
  44. J. Bernoulli, “Veritable hypothèse de la resistance des solides, avec la demonstration de la corbure des corps qui font ressort”, Collected works, v. 2, Geneva, 1744
  45. I. Beschastnyi, A. Medvedev, “Left-invariant Sub-Riemannian Engel structures: abnormal geodesics and integrability”, SIAM J. Control Optim., 56:5 (2018), 3524–3537
  46. И. Ю. Бесчастный, Ю. Л. Сачков, “Геодезические в субримановой задаче на группе $operatorname{SO}(3)$”, Матем. сб., 207:7 (2016), 29–56
  47. R. M. Bianchini, G. Stefani, “Graded approximations and controllability along a trajectory”, SIAM J. Control Optim., 28:4 (1990), 903–924
  48. A. Bicchi, D. Prattichizzo, S. Sastry, “Planning motions of rolling surfaces”, Proceedings of 1995 34th IEEE conference on decision and control (New Orleans, LA, 1995), v. 3, IEEE, 1995, 2812–2817
  49. K. E. Bisshopp, D. C. Drucker, “Large deflection of cantilever beams”, Quart. Appl. Math., 3 (1945), 272–275
  50. И. А. Бизяев, А. В. Борисов, А. А. Килин, И. С. Мамаев, “Интегрируемость и неинтегрируемость субримановых геодезических потоков на группах Карно”, Нелинейная динам., 13:1 (2017), 129–146
  51. M. Born, Stabilität der elastischen Linie in Ebene und Raum, Preisschrift und Dissertation, Dieterichsche Universitäts-Buchdruckerei Göttingen, Göttingen, 1906, 101 pp.
  52. U. Boscain, Th. Chambrion, G. Charlot, “Nonisotropic 3-level quantum systems: complete solutions for minimum time and minimum energy”, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 5:4 (2005), 957–990
  53. U. Boscain, R. Duits, F. Rossi, Yu. Sachkov, “Curve cuspless reconstruction via sub-Riemannian geometry”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 20:3 (2014), 748–770
  54. U. Boscain, R. A. Chertovskih, J.-P. Gauthier, A. O. Remizov, “Hypoelliptic diffusion and human vision: a semidiscrete new twist”, SIAM J. Imaging Sci., 7:2 (2014), 669–695
  55. U. Boscain, F. Rossi, “Invariant Carnot–Caratheodory metrics on $S^3$, $operatorname{SO}(3)$, $operatorname{SL}(2)$ and lens spaces”, SIAM J. Control Optim., 47:4 (2008), 1851–1878
  56. R. W. Brockett, L. Dai, “Non-holonomic kinematics and the role of elliptic functions in constructive controllability”, Nonholonomic motion planning, Kluwer Int. Ser. Eng. Comput. Sci., 192, Kluwer Acad. Publ., Boston, MA, 1993, 1–21
  57. H. Busemann, “The isoperimetric problem in the Minkowski plane”, Amer. J. Math., 69:4 (1947), 863–871
  58. Y. A. Butt, Yu. L. Sachkov, A. I. Bhatti, “Extremal trajectories and Maxwell strata in sub-Riemannian problem on group of motions of pseudo-Euclidean plane”, J. Dyn. Control Syst., 20:3 (2014), 341–364
  59. Y. A. Butt, Yu. L. Sachkov, A. I. Bhatti, “Maxwell strata and conjugate points in the sub-Riemannian problem on the Lie group $operatorname{SH}(2)$”, J. Dyn. Control Syst., 22:4 (2016), 747–770
  60. Y. A. Butt, Yu. L. Sachkov, A. I. Bhatti, “Cut locus and optimal synthesis in sub-Riemannian problem on the Lie group $operatorname{SH}(2)$”, J. Dyn. Control Syst., 23:1 (2017), 155–195
  61. Q. Cai, T. Huang, Yu. L. Sachkov, X. Yang, “Geodesics in the Engel group with a sub-Lorentzian metric”, J. Dyn. Control Syst., 22:3 (2016), 465–484
  62. E. Cartan, “Les systèmes de Pfaff, à cinq variables et les equations aux derivees partielles du second ordre”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3), 27 (1910), 109–192
  63. Y. Chitour, F. Jean, R. Long, “A global steering method for nonholonomic systems”, J. Differential Equations, 254:4 (2013), 1903–1956
  64. G. Citti, A. Sarti, “A cortical based model of perceptual completion in the roto-translation space”, J. Math. Imaging Vision, 24:3 (2006), 307–326
  65. L. van den Dries, A. Macintyre, D. Marker, “The elementary theory of restricted analytic fields with exponentiation”, Ann. of Math. (2), 140:1 (1994), 183–205
  66. R. Duits, U. Boscain, F. Rossi, Y. L. Sachkov, “Association fields via cuspless sub-Riemannian geodesics in $operatorname{SE}(2)$”, J. Math. Imaging Vision, 49:2 (2014), 384–417
  67. R. Duits, M. Felsberg, G. Granlund, B. H. Romeny, “Image analysis and reconstruction using a wavelet transform constructed from a reducible representation of the Euclidean motion group”, Int. J. Comput. Vis., 72:1 (2007), 79–102
  68. R. Duits, A. Ghosh, T. C. J. Dela Haije, A. Mashtakov, “On sub-Riemannian geodesics in $operatorname{SE}(3)$ whose spatial projections do not have cusps”, J. Dyn. Control Syst., 22:4 (2016), 771–805
  69. M. S. El Naschie, “Thermal initial post buckling of the extensional elastica”, Int. J. Mech. Sci., 18:6 (1976), 321–324
  70. Л. Эйлер, “Об упругих кривых”, Приложение I, Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле, ГТТИ, М.–Л., 1934, 447–572
  71. C. Fernandes, L. Gurvits, Z. X. Li, “A variational approach to optimal nonholonomic motion planning”, Proceedings. 1991 IEEE international conference on robotics and automation (Sacramento, CA, 1991), v. 1, IEEE, 1991, 680–685
  72. B. Franceschiello, A. Mashtakov, G. Citti, A. Sarti, “Modelling of the Poggendorff illusion via sub-Riemannian geodesics in the roto-translation group”, New trends in image analysis and processing–ICIAP 2017, Lecture Notes in Comput. Sci., 10590, Springer, Cham, 2017, 37–47
  73. B. Franceschiello, A. Mashtakov, G. Citti, A. Sarti, “Geometrical optical illusion via sub-Riemannian geodesics in the roto-translation group”, Differential Geom. Appl., 65 (2019), 55–77
  74. E. Franken, R. Duits, “Crossing-preserving coherence-enhancing diffusion on invertible orientation scores”, Int. J. Comput. Vis., 85:3 (2009), 253–278
  75. R. Frisch-Fay, Flexible bars, Butterworths and Co., London, 1962, vii+220 pp.
  76. N. J. Glassmaker, C. Y. Hui, “Elastica solution for a nanotube formed by self-adhesion of a folded thin film”, J. Appl. Phys., 96:6 (2004), 3429–3434
  77. C. Gole, R. Karidi, “A note on Carnot geodesics in nilpotent Lie groups”, J. Dyn. Control Syst., 1:4 (1995), 535–549
  78. A. G. Greenhill, The applications of elliptic functions, Macmillan, London–New York, 1892, xi+357 pp.
  79. Ф. Гриффитс, Внешние дифференциальные системы и вариационное исчисление, Мир, М., 1986, 360 с.
  80. M. Grochowski, “Reachable sets for the Heisenberg sub-Lorentzian metric on $mathbb{R}^3$. An estimate for the distance function”, J. Dyn. Control Syst., 12:2 (2006), 145–160
  81. M. Gromov, “Carnot–Caratheodory spaces seen from within”, Sub-Riemannian geometry, Progr. Math., 144, Birkhäuser, Basel, 1996, 79–323
  82. E. Grong, A. Vasil'ev, “Sub-Riemannian and sub-Lorentzian geometry on $operatorname{SU}(1,1)$ and on its universal cover”, J. Geom. Mech., 3:2 (2011), 225–260
  83. J. M. Hammersley, “Oxford commemoration ball”, Probability, statistics and analysis, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 79, Cambridge Univ. Press, Cambridge–New York, 1983, 112–142
  84. G. H. M. van der Heijden, S. Neukirch, V. G. A. Goss, J. M. T. Thompson, “Instability and self-contact phenomena in the writhing of clamped rods”, Int. J. Mech. Sci., 45 (2003), 161–196
  85. H. Hermes, “Nilpotent and high-order approximations of vector field systems”, SIAM Rev., 33:2 (1991), 238–264
  86. V. Jurdjevic, “The geometry of the plate-ball problem”, Arch. Rational Mech. Anal., 124:4 (1993), 305–328
  87. V. Jurdjevic, “Non-Euclidean elastica”, Amer. J. Math., 117:1 (1995), 93–124
  88. V. Jurdjevic, Geometric control theory, Cambridge Stud. Adv. Math., 52, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, xviii+492 pp.
  89. V. Jurdjevic, Optimal control and geometry: integrable systems, Cambridge Stud. Adv. Math., 154, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2016, xx+415 pp.
  90. П. В. Харламов, “Критика некоторых математических моделей механических систем с дифференциальными связями”, ПММ, 56:4 (1992), 683–692
  91. A. Korolko, I. Markina, “Nonholonomic Lorentzian geometry on some $mathbb H$-type groups”, J. Geom. Anal., 19:4 (2009), 864–889
  92. В. В. Козлов, “Динамика систем с неинтегрируемыми связями. I”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1982, № 3, 92–100
  93. В. В. Козлов, “Реализация неинтегрируемых связей в классической механике”, Докл. АН СССР, 272:3 (1983), 550–554
  94. G. Lafferriere, H. J. Sussmann, “A differential geometric approach to motion planning”, Nonholonomic motion planning, Kluwer Int. Ser. Eng. Comput. Sci., 192, Kluwer Acad. Publ., Boston, MA, 1993, 235–270
  95. Г. Ламб, Гидродинамика, Гостехиздат, М.–Л., 1947, 928 с.
  96. T. J. Lardner, “A note on the elastica with large loads”, Internat. J. Solids Structures, 21:1 (1985), 21–26
  97. J. P. Laumond, Nonholonomic motion planning for mobile robots, Preprint № 98211, LAAS-CNRS, Toulouse, 1998
  98. D. F. Lawden, Elliptic functions and applications, Appl. Math. Sci., 80, Springer-Verlag, New York, 1989, xiv+334 pp.
  99. R. Levien, The elastica: a mathematical history, Tech. rep. № UCB/EECS-2008-103, Univ. of California, Berkeley, 2008, 25 pp.,par
  100. Z. Li, J. Canny, “Motion of two rigid bodies with rolling constraint”, IEEE Trans. Robot. Automat., 6:1 (1990), 62–72
  101. J.-M. Lion, J.-P. Rolin, “Theorème de preparation pur les fonctions logarithmico-exponentielles”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 47:3 (1997), 859–884
  102. Л. В. Локуциевский, “Выпуклая тригонометрия с приложениями к субфинслеровой геометрии”, Матем. сб., 210:8 (2019), 120–148
  103. Л. В. Локуциевский, Ю. Л. Сачков, “Неинтегрируемость по Лиувиллю субримановых задач на свободных группах Карно глубины 4”, Докл. РАН, 474:1 (2017), 19–21
  104. Л. В. Локуциевский, Ю. Л. Сачков, “Об интегрируемости по Лиувиллю субримановых задач на группах Карно глубины 4 и больше”, Матем. сб., 209:5 (2018), 74–119
  105. А. Ляв, Математическая теория упругости, ОНТИ, М.–Л., 1935, 674 с.
  106. R. S. Manning, J. H. Maddocks, J. D. Kahn, “A continuum rod model of sequence-dependent DNA structure”, J. Chem. Phys., 105:13 (1996), 5626–5646
  107. R. S. Manning, K. A. Rogers, J. H. Maddocks, “Isoperimetric conjugate points with application to the stability of DNA minicircles”, R. Soc. Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 454:1980 (1998), 3047–3074
  108. A. Marigo, A. Bicchi, “Rolling bodies with regular surface: the holonomic case”, Differential geometry and control (Boulder, CO, 1997), Proc. Sympos. Pure Math., 64, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 241–256
  109. А. П. Маштаков, “Алгоритмическое и программное обеспечение решения конструктивной задачи управления неголономными пятимерными системами”, Программные системы: теория и приложения, 3:1 (2012), 3–29
  110. A. P. Mashtakov, A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Parallel algorithm and software for image inpainting via sub-Riemannian minimizers on the group of rototranslations”, Numer. Math. Theory Methods Appl., 6:1 (2013), 95–115
  111. A. Mashtakov, A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Relation between Euler's elasticae and sub-Riemannian geodesics on $operatorname{SE}(2)$”, Regul. Chaotic Dyn., 21:7-8 (2016), 832–839
  112. А. П. Маштаков, P. Дайтс, Ю. Л. Сачков, E. Беккерс, И. Ю. Бесчастный, “Субримановы геодезические на группе $operatorname{SO}(3)$ в задаче поиска кровеносных сосудов на сферических изображениях сетчатки”, Докл. РАН, 473:5 (2017), 521–524
  113. A. Mashtakov, R. Duits, Yu. Sachkov, E. J. Bekkers, I. Beschastnyi, “Tracking of lines in spherical images via sub-Riemannian geodesics in $operatorname{SO}(3)$”, J. Math. Imaging Vision, 58:2 (2017), 239–264
  114. А. П. Маштаков, Ю. Л. Сачков, “Экстремальные траектории и асимптотика времени Максвелла в задаче об оптимальном качении сферы по плоскости”, Матем. сб., 202:9 (2011), 97–120
  115. Y. Mikata, “Complete solution of elastica for a clamped-hinged beam, and its applications to a carbon nanotube”, Acta Mech., 190:4 (2007), 133–150
  116. I. Moiseev, Yu. L. Sachkov, “Maxwell strata in sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 16:2 (2010), 380–399
  117. D. Mumford, “Elastica and computer vision”, Algebraic geometry and its applications (West Lafayette, IN, 1990), Springer, New York, 1994, 491–506
  118. R. M. Murray, “Nilpotent bases for a class of nonintegrable distributions with applications to trajectory generation for nonholonomic systems”, Math. Control Signals Systems, 7:1 (1994), 58–75
  119. D. E. Panayotounakos, P. S. Theocaris, “Analytic solutions for nonlinear differential equations describing the elastica of straight bars: theory”, J. Franklin Inst., 325:5 (1988), 621–633
  120. J. Petitot, “The neurogeometry of pinwheels as a sub-Riemannian contact structure”, J. Physiol. Paris, 97:2-3 (2003), 265–309
  121. J. Petitot, Neurogeometrie de la vision. Modèles mathematiques et physiques des architectures fonctionnelles, Editions de l'Ecole Polytechnique, Palaiseau, 2008, 419 pp.
  122. L. Saalschütz, Der belastete Stab unter Einwirkung einer seitlichen Kraft, B. G. Teubner, Leipzig, 1880, 280 pp.
  123. Ю. Л. Сачков, “Экспоненциальное отображение в обобщенной задаче Дидоны”, Матем. сб., 194:9 (2003), 63–90
  124. Yu. L. Sachkov, “Symmetries of flat rank two distributions and sub-Riemannian structures”, Trans. Amer. Math. Soc., 356:2 (2004), 457–494
  125. Ю. Л. Сачков, “Дискретные симметрии в обобщенной задаче Дидоны”, Матем. сб., 197:2 (2006), 95–116
  126. Ю. Л. Сачков, “Множество Максвелла в обобщенной задаче Дидоны”, Матем. сб., 197:4 (2006), 123–150
  127. Ю. Л. Сачков, “Полное описание стратов Максвелла в обобщенной задаче Дидоны”, Матем. сб., 197:6 (2006), 111–160
  128. Ю. Л. Сачков, “Теория управления на группах Ли”, Оптимальное управление, СМФН, 27, РУДН, М., 2008, 5–59
  129. Ю. Л. Сачков, “Оптимальность эйлеровых эластик”, Докл. РАН, 417:1 (2007), 23–25
  130. Yu. L. Sachkov, “Maxwell strata in Euler elastic problem”, J. Dyn. Control Syst., 14:2 (2008), 169–234
  131. Yu. L. Sachkov, “Conjugate points in Euler elastic problem”, J. Dyn. Control Syst., 14:3 (2008), 409–439
  132. Ю. Л. Сачков, “Симметрии и страты Максвелла в задаче об оптимальном качении сферы по плоскости”, Матем. сб., 201:7 (2010), 99–120
  133. Ю. Л. Сачков, С. В. Левяков, “Устойчивость инфлексионных эластик, центрированных в вершинах или точках перегиба”, Дифференциальные уравнения и топология. II, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Труды МИАН, 271, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2010, 187–203
  134. Yu. L. Sachkov, “Conjugate and cut time in the sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 16:4 (2010), 1018–1039
  135. Yu. L. Sachkov, “Cut locus and optimal synthesis in the sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 17:2 (2011), 293–321
  136. Yu. L. Sachkov, “Closed Euler elasticae”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Труды МИАН, 278, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2012, 227–241
  137. Yu. L. Sachkov, E. F. Sachkova, “Exponential mapping in Euler's elastic problem”, J. Dyn. Control Syst., 20:4 (2014), 443–464
  138. Yu. L. Sachkov, “Optimal bang-bang trajectories in sub-Finsler problem on the Cartan group”, Нелинейная динам., 14:4 (2018), 583–593
  139. Yu. L. Sachkov, “Periodic controls in step 2 strictly convex sub-Finsler problems”, Regul. Chaotic Dyn., 25:1 (2020), 33–39
  140. Ю. Л. Сачков, “Однородные субримановы геодезические на группе движений плоскости”, Дифференц. уравнения, 57:11 (2021), 1568–1572
  141. Yu. L. Sachkov, “Conjugate time in the sub-Riemannian problem on the Cartan group”, J. Dyn. Control Syst., 27:4 (2021), 709–751
  142. Ю. Л. Сачков, Введение в геометрическую теорию управления, URSS, М., 2021, 160 с.
  143. Ю. Л. Сачков, “Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли: классификации и задачи, интегрируемые в элементарных функциях”, УМН, 77:1(463) (2022), 109–176
  144. Ю. Л. Сачков, “Субриманова сфера Картана”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 507 (2022), 66–70
  145. Ю. Л. Сачков, А. Ю. Попов, “Субриманова сфера Энгеля”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 500 (2021), 97–101
  146. Ю. Л. Сачков, Е. Ф. Сачкова, “Вырожденные анормальные траектории в субримановой задаче с вектором роста $(2,3,5,8)$”, Дифференц. уравнения, 53:3 (2017), 362–374
  147. Ю. Л. Сачков, Е. Ф. Сачкова, “Сублоренцева задача на группе Гейзенберга”, Матем. заметки, 113:1 (2023), 154–157
  148. P. Seide, “Large deflections of a simply supported beam subjected to moment at one end”, J. Appl. Mech., 51:3 (1984), 519–525
  149. I. H. Stampouloglou, E. E. Theotokoglou, P. N. Andriotaki, “Asymptotic solutions to the non-linear cantilever elastica”, Internat. J. Non-Linear Mech., 40:10 (2005), 1252–1262
  150. G. Stefani, “Polynomial approximations to control systems and local controllability”, 1985 24th IEEE conference on decision and control (Fort Lauderdale, FL, 1985), IEEE, 1985, 33–38
  151. T. Tang, N. J. Glassmaker, “On the inextensible elastica model for the collapse of nanotubes”, Math. Mech. Solids, 15:5 (2010), 591–606
  152. D. Tilbury, R. M. Murray, S. S. Sastry, “Trajectory generation for the $N$-trailer problem using Goursat normal form”, IEEE Trans. Automat. Control, 40:5 (1995), 802–819
  153. С. П. Тимошенко, История науки о сопротивлении материалов, Гостехиздат, М., 1957, 536 с.
  154. C. Truesdell, “The influence of elasticity on analysis: the classic heritage”, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 9:3 (1983), 293–310
  155. M. Vendittelli, G. Oriolo, J.-P. Laumond, “Steering nonholonomic systems via nilpotent approximations: the general two-trailer system”, Proceedings 1999 IEEE international conference on robotics and automation (Detroit, MI, 1999), v. 1, IEEE, 1999, 823–829
  156. M. Venditelli, G. Oriolo, F. Jean, J.-P. Laumond, “Nonhomogeneous nilpotent approximations for nonholonomic systems with singularities”, IEEE Trans. Automat. Control, 49:2 (2004), 261–266
  157. А. М. Вершик, В. Я. Гершкович, “Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи”, Динамические системы – 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 16, ВИНИТИ, М., 1987, 5–85
  158. А. М. Вершик, О. А. Граничина, “Редукция неголономных вариационных задач к изопериметрическим и связности в главных расслоениях”, Матем. заметки, 49:5 (1991), 37–44
  159. Н. Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп, Наука, М., 1965, 588 с.
  160. G. C. Walsh, R. Montgomery, S. S. Sastry, “Optimal path planning on matrix Lie groups”, Proceedings of 1994 33rd IEEE conference on decision and control (Lake Buena Vista, FL, 1994), v. 2, IEEE, 1994, 1258–1263
  161. C. Y. Wang, “Post-buckling of a clamped-simply supported elastica”, Internat. J. Non-Linear Mech., 32:6 (1997), 1115–1122
  162. Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон, Курс современного анализа, 3-е стер. изд., Эдиториал УРСС, М., 2002, 515 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Sachkov Y.L.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».