Classification of involutive commutative two-valued groups

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A complete classification of finitely generated involutive commutative two-valued groups is obtained. Three series of such two-valued groups are constructed: a principal series, a unipotent series, and a special series; it is shown that any finitely generated involutive commutative two-valued group is isomorphic to a two-valued group in one of these series. A number of classification results are obtained for topological involutive commutative two-valued groups in the Hausdorff and locally compact cases. The classification of algebraic involutive two-valued groups in the one-dimensional case is also discussed.Bibliography: 45 titles.

About the authors

Victor Matveevich Buchstaber

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Lomonosov Moscow State University; HSE University

Email: buchstab@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Aleksandr Petrovich Veselov

Loughborough University

Email: A.P.Veselov@lboro.ac.uk
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Alexander Aleksandrovich Gaifullin

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Skolkovo Institute of Science and Technology; Lomonosov Moscow State University; Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute)

Email: agaif@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. Э. Баннаи, Т. Ито, Алгебраическая комбинаторика. Схемы отношений, Мир, М., 1987, 375 с.
  2. К. С. Браун, Когомологии групп, Наука, М., 1987, 384 с.
  3. В. М. Бухштабер, “Классификация двузначных формальных групп”, УМН, 28:3(171) (1973), 173–174
  4. В. М. Бухштабер, “Двузначные формальные группы. Алгебраическая теория и приложения к кобордизмам. I”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 39:5 (1975), 1044–1064
  5. В. М. Бухштабер, “Двузначные формальные группы. Алгебраическая теория и приложения к кобордизмам. II”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:2 (1976), 289–325
  6. В. М. Бухштабер, “Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами сложения для эллиптических функций, и двузначные алгебраические группы”, УМН, 45:3(273) (1990), 185–186
  7. V. M. Buchstaber, “$n$-valued groups: theory and applications”, Mosc. Math. J., 6:1 (2006), 57–84
  8. V. M. Buchstaber, V. Dragovic, “Two-valued groups, Kummer varieties, and integrable billiards”, Arnold Math. J., 4:1 (2018), 27–57
  9. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, “Законы сложения на якобианах плоских алгебраических кривых”, Нелинейная динамика, Сборник статей, Труды МИАН, 251, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2005, 54–126
  10. V. M. Buchstaber, M. I. Monastyrsky, “Generalized Kramers–Wannier duality for spin systems with non-commutative symmetry”, J. Phys. A, 36:28 (2003), 7679–7692
  11. В. М. Бухштабер, С. П. Новиков, “Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса”, Матем. сб., 84(126):1 (1971), 81–118
  12. В. М. Бухштабер, Э. Г. Рис, “Многозначные группы и $n$-алгебры Хопфа”, УМН, 51:4(310) (1996), 149–150
  13. V. M. Buchstaber, E. G. Rees, “Multivalued groups, their representations and Hopf algebras”, Transform. Groups, 2:4 (1997), 325–349
  14. V. M. Buchstaber, E. G. Rees, “Frobenius $n$-homomorphisms, transfers and branched coverings”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 144:1 (2008), 1–12
  15. В. М. Бухштабер, А. М. Вершик, С. А. Евдокимов, И. Н. Пономаренко, “Комбинаторные алгебры и многозначные инволютивные группы”, Функц. анализ и его прил., 30:3 (1996), 12–18
  16. V. M. Buchstaber, A. P. Veselov, “Integrable correspondences and algebraic representations of multivalued groups”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 1996:8 (1996), 381–400
  17. В. М. Бухштабер, А. П. Веселов, “Топограф Конвея, $operatorname{PGL}_2(mathbb Z)$-динамика и двузначные группы”, УМН, 74:3(447) (2019), 17–62
  18. Дж. Х. Конвей, Д. А. Смит, О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметриях, МЦНМО, М., 2009, 184 с.
  19. Ч. Кэртис, И. Райнер, Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, Наука, М., 1969, 668 с.
  20. A. Dold, “Ramified coverings, orbit projections and symmetric powers”, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 99:1 (1986), 65–72
  21. S. Givant, P. Halmos, Introduction to Boolean algebras, Undergrad. Texts Math., Springer, New York, 2009, xiv+574 pp.
  22. A. M. Gleason, “Groups without small subgroups”, Ann. of Math. (2), 56:2 (1952), 193–212
  23. М. И. Граев, “Свободные топологические группы”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 12:3 (1948), 279–324
  24. M. Gromov, “Groups of polynomial growth and expanding maps”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 53 (1981), 53–73
  25. Д. В. Гугнин, “Разветвленные накрытия многообразий и $nH$-пространства”, Функц. анализ и его прил., 53:2 (2019), 68–71
  26. H. Hopf, “Über die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihre Verallgemeinerungen”, Ann. of Math. (2), 42:1 (1941), 22–52
  27. Б. М. Левитан, Теория операторов обобщенного сдвига, Наука, М., 1973, 312 с.
  28. Г. Л. Литвинов, “Гипергруппы и гипергрупповые алгебры”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Нов. достиж., 26, ВИНИТИ, М., 1985, 57–106
  29. А. А. Марков, “О свободных топологических группах”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 9:1 (1945), 3–64
  30. D. Montgomery, L. Zippin, “Small subgroups of finite-dimensional groups”, Ann. of Math. (2), 56:2 (1952), 213–241
  31. Т. Е. Панов, “О структуре 2-алгебры Хопфа в когомологиях четырехмерных многообразий”, УМН, 51:1(307) (1996), 161–162
  32. A. Pillay, “A remark on multivalued algebraic groups”, Proc. Amer. Math. Soc., 137:7 (2009), 2175–2180
  33. L. Pontrjagin, “The theory of topological commutative groups”, Ann. of Math. (2), 35:2 (1934), 361–388
  34. Л. С. Понтрягин, “Теория топологических коммутативных групп”, УМН, 2 (1936), 177–195
  35. O. Sipacheva, “Free Boolean topological groups”, Axioms, 4:4 (2015), 492–517
  36. L. Smith, “Transfer and ramified coverings”, Math. Proc. Cambridge Philos., 93:3 (1983), 485–493
  37. T. Tao, Hilbert's fifth problem and related topics, Grad. Stud. Math., 153, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2014, xiv+338 pp.
  38. А. П. Веселов, “О росте числа образов точки при итерациях многозначного отображения”, Матем. заметки, 49:2 (1991), 29–35
  39. А. П. Веселов, “Интегрируемые отображения”, УМН, 46:5(281) (1991), 3–45
  40. A. P. Veselov, “Growth and integrability in the dynamics of mappings”, Comm. Math. Phys., 145:1 (1992), 181–193
  41. Э. Б. Винберг, Курс алгебры, 2-е изд., испр. и доп, Факториал Пресс, М., 2001, 544 с.
  42. H. Wielandt, Finite permutation groups, Transl. from the German, Academic Press, New York–London, 1964, x+114 pp.
  43. П. В. Ягодовский, “Двойственные многозначные группы”, УМН, 64:5(389) (2009), 183–184
  44. П. В. Ягодовский, “Двойственность в теории конечных коммутативных многозначных групп”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XVIII, Зап. науч. сем. ПОМИ, 378, ПОМИ, СПб., 2010, 184–227
  45. H. Yamabe, “A generalization of a theorem of Gleason”, Ann. of Math. (2), 58:2 (1953), 351–365

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Buchstaber V.M., Veselov A.P., Gaifullin A.A.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).