Equivariant completions of affine spaces

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We survey recent results on open embeddings of the affine space $\mathbb{C}^n$ into a complete algebraic variety $X$ such that the action of the vector group $\mathbb{G}_a^n$ on $\mathbb{C}^n$ by translations extends to an action of $\mathbb{G}_a^n$ on $X$. We begin with the Hassett–Tschinkel correspondence describing equivariant embeddings of $\mathbb{C}^n$ into projective spaces and present its generalization for embeddings into projective hypersurfaces. Further sections deal with embeddings into flag varieties and their degenerations, complete toric varieties, and Fano varieties of certain types.Bibliography: 109 titles.

About the authors

Ivan Vladimirovich Arzhantsev

HSE University

Email: arjantsev@hse.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Yulia Ivanovna Zaitseva

HSE University

without scientific degree, no status

References

  1. K. Altmann, J. Hausen, “Polyhedral divisors and algebraic torus actions”, Math. Ann., 334:3 (2006), 557–607
  2. K. Altmann, J. Hausen, H. Süss, “Gluing affine torus actions via divisorial fans”, Transform. Groups, 13:2 (2008), 215–242
  3. I. V. Arzhantsev, “Flag varieties as equivariant compactifications of $mathbb{G}_a^n$”, Proc. Amer. Math. Soc., 139:3 (2011), 783–786
  4. I. Arzhantsev, “Limit points and additive group actions”, Ric. Mat., 2021, 1–10, Publ. online
  5. I. Arzhantsev, S. Bragin, Yu. Zaitseva, “Commutative algebraic monoid structures on affine spaces”, Commun. Contemp. Math., 22:8 (2020), 1950064, 23 pp.
  6. I. Arzhantsev, U. Derenthal, J. Hausen, A. Laface, Cox rings, Cambridge Stud. Adv. Math., 144, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2015, viii+530 pp.
  7. I. Arzhantsev, S. Gaifullin, “The automorphism group of a rigid affine variety”, Math. Nachr., 290:5-6 (2017), 662–671
  8. I. Arzhantsev, P. Kotenkova, “Equivariant embeddings of commutative linear algebraic groups of corank one”, Doc. Math., 20 (2015), 1039–1053
  9. I. Arzhantsev, A. Perepechko, H. Süss, “Infinite transitivity on universal torsors”, J. Lond. Math. Soc. (2), 89:3 (2014), 762–778
  10. I. Arzhantsev, A. Popovskiy, “Additive actions on projective hypersurfaces”, Automorphisms in birational and affine geometry, Springer Proc. Math. Stat., 79, Springer, Cham, 2014, 17–33
  11. I. Arzhantsev, E. Romaskevich, “Additive actions on toric varieties”, Proc. Amer. Math. Soc., 145:5 (2017), 1865–1879
  12. I. Arzhantsev, E. Sharoyko, “Hassett–Tschinkel correspondence: modality and projective hypersurfaces”, J. Algebra, 348:1 (2011), 217–232
  13. И. В. Аржанцев, М. Г. Зайденберг, К. Г. Куюмжиян, “Многообразия флагов, торические многообразия и надстройки: три примера бесконечной транзитивности”, Матем. сб., 203:7 (2012), 3–30
  14. М. Атья, И. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру, Мир, М., 1972, 160 с.
  15. J. Barria, P. R. Halmos, “Vector bases for two commuting matrices”, Linear Multilinear Algebra, 27:3 (1990), 147–157
  16. R. Basili, A. Iarrobino, L. Khatami, “Commuting nilpotent matrices and Artinian algebras”, J. Commut. Algebra, 2:3 (2010), 295–325
  17. I. Bazhov, “On orbits of the automorphism group on a complete toric variety”, Beitr. Algebra Geom., 54:2 (2013), 471–481
  18. I. Bazhov, Additive structures on cubic hypersurfaces, 2013, 8 pp.
  19. F. Berchtold, “Lifting of morphisms to quotient presentations”, Manuscripta Math., 110:1 (2003), 33–44
  20. V. Borovik, S. Gaifullin, A. Trushin, “Commutative actions on smooth projective quadrics”, Comm. Algebra, 2022, 1–8, Publ. online
  21. W. C. Brown, “Constructing maximal commutative subalgebras of matrix rings in small dimensions”, Comm. Algebra, 25:12 (1997), 3923–3946
  22. W. C. Brown, F. W. Call, “Maximal commutative subalgebras of $n times n$ matrices”, Comm. Algebra, 21:12 (1993), 4439–4460
  23. W. Bruns, J. Gubeladze, “Polytopal linear groups”, J. Algebra, 218:2 (1999), 715–737
  24. V. M. Buchstaber, T. E. Panov, Torus actions and their applications in topology and combinatorics, Univ. Lecture Ser., 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, viii+144 pp.
  25. P. Caldero, “Toric degenerations of Schubert varieties”, Transform. Groups, 7:1 (2002), 51–60
  26. G. Casnati, “Isomorphism types of Artinian Gorenstein local algebras of multiplicity at most $9$”, Comm. Algebra, 38:8 (2010), 2738–2761
  27. G. Cerulli Irelli, E. Feigin, M. Reineke, “Quiver Grassmannians and degenerate flag varieties”, Algebra Number Theory, 6:1 (2012), 165–194
  28. A. Chambert-Loir, Yu. Tschinkel, “On the distribution of points of bounded height on equivariant compactifications of vector groups”, Invent. Math., 148:2 (2002), 421–452
  29. A. Chambert-Loir, Yu. Tschinkel, “Integral points of bounded height on partial equivariant compactifications of vector groups”, Duke Math. J., 161:15 (2012), 2799–2836
  30. B. Charles, “Sur la permutabilite des operateurs lineaires”, C. R. Acad. Sci. Paris, 236 (1953), 1722–1723
  31. B. Charles, “Un critère de maximalite pour les anneaux commutatifs d'operateurs lineaires”, C. R. Acad. Sci. Paris, 236 (1953), 1835–1837
  32. B. Charles, “Sur l'algèbre des operateurs lineaires”, J. Math. Pures Appl. (9), 33 (1954), 81–145
  33. I. Cheltsov, Jihun Park, Yu. Prokhorov, M. Zaidenberg, “Cylinders in Fano varieties”, EMS Surv. Math. Sci., 8:1-2 (2021), 39–105
  34. Daewoong Cheong, “Equivariant compactifications of a nilpotent group by $G/P$”, Transform. Groups, 22:1 (2017), 163–186
  35. R. C. Courter, “The dimension of maximal commutative subalgebras of $K_n$”, Duke Math. J., 32:2 (1965), 225–232
  36. D. A. Cox, “The homogeneous coordinate ring of a toric variety”, J. Algebraic Geom., 4:1 (1995), 17–50
  37. D. A. Cox, J. B. Little, H. K. Schenck, Toric varieties, Grad. Stud. Math., 124, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011, xxiv+841 pp.
  38. M. Demazure, “Sous-groupes algebriques de rang maximum du groupe de Cremona”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4), 3:4 (1970), 507–588
  39. U. Derenthal, D. Loughran, “Singular del Pezzo surfaces that are equivariant compactifications”, Исследования по теории чисел. 10, Зап. науч. сем. ПОМИ, 377, ПОМИ, СПб., 2010, 26–43
  40. U. Derenthal, D. Loughran, “Equivariant compactifications of two-dimensional algebraic groups”, Proc. Edinb. Math. Soc. (2), 58:1 (2015), 149–168
  41. R. Devyatov, “Unipotent commutative group actions on flag varieties and nilpotent multiplications”, Transform. Groups, 20:1 (2015), 21–64
  42. S. Dzhunusov, “On uniqueness of additive actions on complete toric varieties”, J. Algebra, 2022, 1–11, Publ. online
  43. S. Dzhunusov, “Additive actions on complete toric surfaces”, Internat. J. Algebra Comput., 31:1 (2021), 19–35
  44. J. Elias, G. Valla, “Isomorphism classes of certain Artinian Gorenstein algebras”, Algebr. Represent. Theory, 14:3 (2011), 429–448
  45. E. Feigin, “$mathbb{G}^M_a$ degeneration of flag varieties”, Selecta Math. (N. S.), 18:3 (2012), 513–537
  46. E. Feigin, M. Finkelberg, “Degenerate flag varieties of type A: Frobenius splitting and BW theorem”, Math. Z., 275:1-2 (2013), 55–77
  47. H. Flenner, M. Zaidenberg, “On the uniqueness of $mathbb{C}^*$-actions on affine surfaces”, Affine algebraic geometry, Contemp. Math., 369, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005, 97–111
  48. F. Forstnerič, Stein manifolds and holomorphic mappings. The homotopy principle in complex analysis, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 56, Springer, Heidelberg, 2011, xii+489 pp.
  49. G. Freudenburg, Algebraic theory of locally nilpotent derivations, Encyclopaedia Math. Sci., 136, Invariant Theory and Algebraic Transformation Groups, VII, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 2017, xxii+319 pp.
  50. G. Frobenius, “Über vertauschbare Matrizen”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1896 (1896), 601–614
  51. Baohua Fu, Jun-Muk Hwang, “Uniqueness of equivariant compactifications of $mathbb{C}^n$ by a Fano manifold of Picard number $1$”, Math. Res. Lett., 21:1 (2014), 121–125
  52. Baohua Fu, Jun-Muk Hwang, “Special birational transformations of type $(2,1)$”, J. Algebraic Geom., 27:1 (2018), 55–89
  53. Baohua Fu, Jun-Muk Hwang, “Euler-symmetric projective varieties”, Algebr. Geom., 7:3 (2020), 377–389
  54. Baohua Fu, P. Montero, “Equivariant compactifications of vector groups with high index”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 357:5 (2019), 455–461
  55. W. Fulton, Introduction to toric varieties, The W. H. Roever lectures in geometry, Ann. of Math. Stud., 131, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1993, xii+157 pp.
  56. M. Furushima, “The complete classification of compactifications of $mathbb{C}^3$ which are projective manifolds with the second Betti number one”, Math. Ann., 297:4 (1993), 627–662
  57. M. Gerstenhaber, “On dominance and varieties of commuting matrices”, Ann. of Math. (2), 73:2 (1961), 324–348
  58. N. Gonciulea, V. Lakshmibai, “Degenerations of flag and Schubert varieties to toric varieties”, Transform. Groups, 1:3 (1996), 215–248
  59. M. Gromov, “Oka's principle for holomorphic sections of elliptic bundles”, J. Amer. Math. Soc., 2:4 (1989), 851–897
  60. R. M. Guralnick, B. A. Sethuraman, “Commuting pairs and triples of matrices and related varieties”, Linear Algebra Appl., 310:1-3 (2000), 139–148
  61. D. Handelman, Commutative nilpotent matrix subalgebras, Master Thesis, Faculty of Graduate Studies and Research, Dep. of Math., McGill Univ., Montreal, 1973
  62. B. Hassett, Yu. Tschinkel, “Geometry of equivariant compactifications of $mathbf{G}_a^n$”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 1999:22 (1999), 1211–1230
  63. J. Hausen, T. Hummel, The automorphism group of a rational projective $mathbb{K}^*$-surface, 2020, 64 pp.
  64. F. Hirzebruch, “Some problems on differentiable and complex manifolds”, Ann. of Math. (2), 60:2 (1954), 213–236
  65. Zhizhong Huang, P. Montero, “Fano threefolds as equivariant compactifications of the vector group”, Michigan Math. J., 69:2 (2020), 341–368
  66. Дж. Хамфри, Линейные алгебраические группы, Наука, М., 1980, 400 с.
  67. V. Hussin, P. Winternitz, H. Zassenhaus, “Maximal abelian subalgebras of complex orthogonal Lie algebras”, Linear Algebra Appl., 141 (1990), 183–220
  68. Jun-Muk Hwang, “Geometry of minimal rational curves on Fano manifolds”, School on vanishing theorems and effective results in algebraic geometry (Trieste, 2000), ICTP Lect. Notes, 6, Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste, 2001, 335–393
  69. A. Iarrobino, Punctual Hilbert schemes, Mem. Amer. Math. Soc., 10, № 188, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1977, viii+112 pp.
  70. A. Iarrobino, “Hilbert scheme of points: overview of last ten years”, Algebraic geometry, Bowdoin, 1985 (Brunswick, ME, 1985), Proc. Sympos. Pure Math., 46, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 297–320
  71. A. A. Iarrobino, Associated graded algebra of a Gorenstein Artin algebra, Mem. Amer. Math. Soc., 107, № 514, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, viii+115 pp.
  72. A. Iarrobino, V. Kanev, Power sums, Gorenstein algebras, and determinantal loci, Lecture Notes in Math., 1721, Springer-Verlag, Berlin, 1999, xxxii+345 pp.
  73. N. Jacobson, “Schur's theorems on commutative matrices”, Bull. Amer. Math. Soc., 50:6 (1944), 431–436
  74. J. Jelisiejew, “Classifying local Artinian Gorenstein algebras”, Collect. Math., 68:1 (2017), 101–127
  75. F. Knop, H. Kraft, D. Luna, T. Vust, “Local properties of algebraic group actions”, Algebraische Transformationsgruppen und Invariantentheorie, DMV Sem., 13, Birkhäuser, Basel, 1989, 63–75
  76. F. Knop, H. Lange, “Commutative algebraic groups and intersections of quadrics”, Math. Ann., 267:4 (1984), 555–571
  77. T. J. Laffey, “The minimal dimension of maximal commutative subalgebras of full matrix algebras”, Linear Algebra Appl., 71 (1985), 199–212
  78. T. J. Laffey, S. Lazarus, “Two-generated commutative matrix subalgebras”, Linear Algebra Appl., 147 (1991), 249–273
  79. V. Lakshmibai, “Degenerations of flag varieties to toric varieties”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 321:9 (1995), 1229–1234
  80. A. Liendo, “Affine $mathbb{T}$-varieties of complexity one and locally nilpotent derivations”, Transform. Groups, 15:2 (2010), 389–425
  81. A. Liendo, C. Petitjean, “Uniformly rational varieties with torus action”, Transform. Groups, 24:1 (2019), 149–153
  82. Yingqi Liu, “Additive actions on hyperquadrics of corank two”, Electron. Res. Arch., 30:1 (2022), 1–34
  83. K. Loginov, “Hilbert–Samuel sequences of homogeneous finite type”, J. Pure Appl. Algebra, 221:4 (2017), 821–831
  84. D. Luna, Th. Vust, “Plongements d'espaces homogènes”, Comment. Math. Helv., 58:2 (1983), 186–245
  85. Zhijun Luo, Euler-symmetric complete intersections in projective space, 2022, 16 pp.
  86. F. S. Macaulay, The algebraic theory of modular systems, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1916, xiv+112 pp.
  87. H. Matsumura, P. Monsky, “On the automorphisms of hypersurfaces”, J. Math. Kyoto Univ., 3:3 (1963/64), 347–361
  88. G. Mazzola, “Generic finite schemes and Hochschild cocycles”, Comment. Math. Helv., 55 (1980), 267–293
  89. M. Nagaoka, “$mathbb{G}_a^3$-structures on del Pezzo fibrations”, Michigan Math. J., 2021, 1–10, Publ. online
  90. H. Nakajima, Lectures on Hilbert schemes of points on surfaces, Univ. Lecture Ser., 18, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, xii+132 pp.
  91. T. Oda, Convex bodies and algebraic geometry. An introduction to the theory of toric varieties, Transl. from the Japan., Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 15, Springer-Verlag, Berlin, 1988, viii+212 pp.
  92. А. Л. Онищик, “Отношения включения между транзитивными компактными группами преобразований”, Тр. ММО, 11, ГИФМЛ, М., 1962, 199–242
  93. E. Peyre, “Points de hauteur bornee et geometrie des varietes (d'après Y. Manin et al.)”, Seminaire Bourbaki, v. 2000/2001, Asterisque, 282, Soc. Math. France, Paris, 2002, Exp. No. 891, ix, 323–344
  94. B. Poonen, “Isomorphism types of commutative algebras of finite rank over an algebraically closed field”, Computational arithmetic geometry, Contemp. Math., 463, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2008, 111–120
  95. Э. Б. Винберг, В. Л. Попов, “Теория инвариантов”, Алгебраическая геометрия – 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления, 55, ВИНИТИ, М., 1989, 137–309
  96. Yu. Prokhorov, M. Zaidenberg, “Fano–Mukai fourfolds of genus $10$ as compactifications of $mathbb{C}^4$”, Eur. J. Math., 4:3 (2018), 1197–1263
  97. R. Richardson, G. Röhrle, R. Steinberg, “Parabolic subgroups with Abelian unipotent radical”, Invent. Math., 110:3 (1992), 649–671
  98. I. Schur, “Zur Theorie der vertauschbären Matrizen”, J. Reine Angew. Math., 1905:130 (1905), 66–76
  99. A. Shafarevich, “Additive actions on toric projective hypersurfaces”, Results Math., 76:3 (2021), 145, 18 pp.
  100. A. Shafarevich, Euler-symmetric projective toric varieties and additive actions, 2021, 11 pp.
  101. К. В. Шахматов, “Гладкие непроективные эквивариантные пополнения аффинного пространства”, Матем. заметки, 109:6 (2021), 929–937
  102. J. Shalika, Yu. Tschinkel, “Height zeta functions of equivariant compactifications of unipotent groups”, Comm. Pure Appl. Math., 69:4 (2016), 693–733
  103. Е. В. Шаройко, “Соответствие Хассетта–Чинкеля и автоморфизмы квадрики”, Матем. сб., 200:11 (2009), 145–160
  104. Young-Kwon Song, “A construction of maximal commutative subalgebra of matrix algebras”, J. Korean Math. Soc., 40:2 (2003), 241–250
  105. Д. А. Супруненко, Р. И. Тышкевич, Перестановочные матрицы, Наука и техника, Минск, 1966, 104 с.
  106. Sho Tanimoto, Yu. Tschinkel, “Height zeta functions of equivariant compactifications of semi-direct products of algebraic groups”, Zeta functions in algebra and geometry, Contemp. Math., 566, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, 119–157
  107. D. A. Timashev, Homogeneous spaces and equivariant embeddings, Encyclopaedia Math. Sci., 138, Invariant Theory and Algebraic Transformation Groups, 8, Springer, Heidelberg, 2011, xxii+253 pp.
  108. J. Tits, “Espaces homogènes complexes compacts”, Comment. Math. Helv., 37 (1962), 111–120
  109. A. R. Wadsworth, “The algebra generated by two commuting matrices”, Linear Multilinear Algebra, 27:3 (1990), 159–162

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Arzhantsev I.V., Zaitseva Y.I.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».