Classification of non-Kähler surfaces and locally conformally Kähler geometry

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The Enriques–Kodaira classification treats non-Kähler surfaces as a special case within the Kodaira framework. We prove the classification results for non-Kähler complex surfaces without relying on the machinery of the Enriques–Kodaira classification, and deduce the classification theorem for non-Kähler surfaces from the Buchdahl–Lamari theorem. We also prove that all non-Kähler surfaces which are not of class VII are locally conformally Kähler.Bibliography: 64 titles.

About the authors

Mikhail Sergeevich Verbitsky

Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada; HSE University

Email: verbit@impa.br

Victor Vuletescu

University of Bucharest

Liviu Ornea

University of Bucharest; Institute of Mathematics "Simion Stoilow" of the Romanian Academy

References

  1. D. Angella, A. Tomassini, M. Verbitsky, “On non-Kähler degrees of complex manifolds”, Adv. Geom., 19:1 (2019), 65–69
  2. V. Apostolov, G. Dloussky, “On the Lee classes of locally conformally symplectic complex surfaces”, J. Symplectic Geom., 16:4 (2018), 931–958
  3. D. Barlet, Gauduchon's form and compactness of the space of divisors, 2017, 12 pp.
  4. D. Barlet, J. Magnusson, Cycles analytiques complexes, v. I, Cours Spec., 22, Theorèmes de preparation des cycles, Soc. Math. France, Paris, 2014, 525 pp.
  5. W. P. Barth, K. Hulek, C. A. M. Peters, A. Van de Ven, Compact complex surfaces, Ergeb. Math. Grenzgeb. (3), 4, 2nd ed., Springer-Verlag, Berlin, 2004, xii+436 pp.
  6. F. A. Belgun, “On the metric structure of non-Kähler complex surfaces”, Math. Ann., 317:1 (2000), 1–40
  7. А. Бессе, Многообразия Эйнштейна, Мир, М., 1990, 704 с.
  8. E. Bishop, “Conditions for the analyticity of certain sets”, Michigan Math. J., 11:4 (1964), 289–304
  9. A. Blanchard, “Sur les varietes analytiques complexes”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3), 73:2 (1956), 157–202
  10. Ф. А. Богомолов, “Классификация поверхностей класса $mathrm{VII}_0$ с $b_2=0$”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:2 (1976), 273–288
  11. Ф. А. Богомолов, “Поверхности класса $mathrm{VII}_0$ и аффинная геометрия”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 46:4 (1982), 710–761
  12. V. Brînzănescu, “Neron-Severi group for nonalgebraic elliptic surfaces. II. Non-kählerian case”, Manuscripta Math., 84:3-4 (1994), 415–420
  13. V. Brînzănescu, Holomorphic vector bundles over compact complex surfaces, Lecture Notes in Math., 1624, Springer-Verlag, Berlin, 1996, x+170 pp.
  14. V. Brînzănescu, P. Flondor, “Holomorphic 2-vector bundles on nonalgebraic 2-tori”, J. Reine Angew. Math., 1985:363 (1985), 47–58
  15. V. Brînzănescu, P. Flondor, “Quadratic intersection form and 2-vector bundles on nonalgebraic surfaces”, Proceedings of the conference on algebraic geometry (Berlin, 1985), Teubner-Texte Math., 92, Teubner, Leipzig, 1986, 53–64
  16. M. Brunella, “Locally conformally Kähler metrics on certain non-Kählerian surfaces”, Math. Ann., 346:3 (2010), 629–639
  17. M. Brunella, “Locally conformally Kähler metrics on Kato surfaces”, Nagoya Math. J., 202 (2011), 77–81
  18. N. Buchdahl, “On compact Kähler surfaces”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 49:1 (1999), 287–302
  19. C. H. Clemens, “Degeneration of Kähler manifolds”, Duke Math. J., 44:2 (1977), 215–290
  20. J.-P. Demailly, “Estimations $L^2$ pour l'operateur $barpartial$ d'un fibre vectoriel holomorphe semi-positif au-dessus d'une variete kählerienne complète”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4), 15:3 (1982), 457–511
  21. J.-P. Demailly, Complex analytic and differential geometry, 2012, 455 pp.par
  22. G. Dloussky, Structure des surfaces de Kato, Mem. Soc. Math. France (N. S.), 14, Soc. Math. France, Paris, 1984, ii+120 pp.
  23. G. Dloussky, K. Oeljeklaus, M. Toma, “Class $mathrm{VII}_0$ surfaces with {$b_2$} curves”, Tohoku Math. J. (2), 55:2 (2003), 283–309
  24. S. Dragomir, L. Ornea, Locally conformal Kähler manifolds, Progr. Math., 155, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1998, xiv+327 pp.
  25. W. Fischer, H. Grauert, “Lokal-triviale Familien kompakter komplexer Mannigfaltigkeiten”, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II, 1965 (1965), 89–94
  26. A. Fujiki, M. Pontecorvo, “Anti-self-dual bihermitian structures on Inoue surfaces”, J. Differential Geom., 85:1 (2010), 15–72
  27. A. Fujiki, M. Pontecorvo, “Twistors and bi-Hermitian surfaces of non-Kähler type”, SIGMA, 10 (2014), 042, 13 pp.
  28. A. Fujiki, M. Pontecorvo, “Bi-Hermitian metrics on Kato surfaces”, J. Geom. Phys., 138 (2019), 33–43
  29. P. Gauduchon, “La 1-forme de torsion d'une variete hermitienne compacte”, Math. Ann., 267:4 (1984), 495–518
  30. P. Gauduchon, L. Ornea, “Locally conformally Kähler metrics on Hopf surfaces”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 48:4 (1998), 1107–1127
  31. H. Grauert, “On Levi's problem and the imbedding of real-analytic manifolds”, Ann. of Math. (2), 68:2 (1958), 460–472
  32. P. A. Griffiths (ed.), Topics in transcendental algebraic geometry, Ann. of Math. Stud., 106, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1984, viii+316 pp.
  33. T. Höfer, “Remarks on torus principal bundles”, J. Math. Kyoto Univ., 33:1 (1993), 227–259
  34. N. Istrati, A. Otiman, M. Pontecorvo, “On a class of Kato manifolds”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2020, rnz354
  35. S. Ivashkovich, “Extension properties of meromorphic mappings with values in non-Kähler manifolds”, Ann. of Math. (2), 160:3 (2004), 795–837
  36. D. Kaledin, M. Verbitsky, “Non-Hermitian Yang–Mills connections”, Selecta Math. (N. S.), 4:2 (1998), 279–320
  37. Y. Kamishima, L. Ornea, “Geometric flow on compact locally conformally Kähler manifolds”, Tohoku Math. J. (2), 57:2 (2005), 201–221
  38. Ma. Kato, “Compact complex manifolds containing “global” spherical shells”, Proc. Japan Acad., 53:1 (1977), 15–16
  39. Ma. Kato, “Compact complex manifolds containing “global” spherical shells. I”, Proceedings of the international symposium on algebraic geometry (Kyoto Univ., Kyoto, 1977), Kinokuniya Book Store, Tokyo, 1978, 45–84
  40. Ma. Kato, “On a certain class of non-algebraic non-Kähler compact complex manifolds”, Recent progress of algebraic geometry in Japan, North-Holland Math. Stud., 73, North-Holland, Amsterdam, 1983, 28–50
  41. K. Kodaira, D. C. Spencer, “On deformations of complex analytic structures. III. Stability theorems for complex structures”, Ann. of Math. (2), 71 (1960), 43–76
  42. A. Lamari, “Courants kähleriens et surfaces compactes”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 49:1 (1999), 263–285
  43. J. Li, S.-T. Yau, F. Zheng, “On projectively flat Hermitian manifolds”, Comm. Anal. Geom., 2:1 (1994), 103–109
  44. A. C. Lopez-Martin, “Relative Jacobians of elliptic fibrations with reducible fibers”, J. Geom. Phys., 56:3 (2006), 375–385
  45. D. R. Morrison, “The Clemens–Schmid exact sequence and applications”, Topics in transcendental algebraic geometry (Princeton, NJ, 1981/1982), Ann. of Math. Stud., 106, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1984, 101–119
  46. I. Nakamura, “Classification of non-Kählerian surfaces”, Sugaku Expo., 2:2 (1989), 209–229
  47. I. Nakamura, “On surfaces of class $mathrm{VII}_0$ with curves. II”, Tohoku Math. J. (2), 42:4 (1990), 475–516
  48. L. Ornea, M. Verbitsky, “Locally conformally Kähler metrics obtained from pseudoconvex shells”, Proc. Amer. Math. Soc., 144:1 (2016), 325–335
  49. U. Persson, On degenerations of algebraic surfaces, Mem. Amer. Math. Soc., 11, № 189, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1977, xv+144 pp.
  50. R. Remmert, “Sur les espaces analytiques holomorphiquement separables et holomorphiquement convexes”, C. R. Acad. Sci. Paris, 243 (1956), 118–121
  51. V. Rogov, Kähler submanifolds in Iwasawa manifolds, 2018 (v1 – 2017), 18 pp.
  52. W. Schmid, “Variation of Hodge structure: the singularities of the period mapping”, Invent. Math., 22 (1973), 211–319
  53. A.-D. Teleman, “Projectively flat surfaces and Bogomolov's theorem on class $mathrm{VII}_0$ surfaces”, Internat. J. Math., 5:2 (1994), 253–264
  54. A. Teleman, “Donaldson theory on non-Kählerian surfaces and class VII surfaces with $b_2=1$”, Invent. Math., 162:3 (2005), 493–521
  55. A. Teleman, “The pseudo-effective cone of a non-Kählerian surface and applications”, Math. Ann., 335:4 (2006), 965–989
  56. A. Teleman, “Instantons and curves on class VII surfaces”, Ann. of Math. (2), 172:3 (2010), 1749–1804
  57. F. Tricceri, “Some examples of locally conformal Kähler manifolds”, Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, 40:1 (1982), 81–92
  58. I. Vaisman, “A geometric condition for an l.c.K. manifold to be Kähler”, Geom. Dedicata, 10:1-4 (1981), 129–134
  59. I. Vaisman, “Generalized Hopf manifolds”, Geom. Dedicata, 13:3 (1982), 231–255
  60. M. Verbitsky, “Pseudoholomorphic curves on nearly Kähler manifolds”, Comm. Math. Phys., 324:1 (2013), 173–177
  61. M. Verbitsky, “Rational curves and special metrics on twistor spaces”, Geom. Topol., 18:2 (2014), 897–909
  62. C. Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry, v. I, Cambridge Stud. Adv. Math., 76, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, x+322 pp.
  63. V. Vuletescu, “Blowing-up points on l.c.K. manifolds”, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie (N. S.), 52(100):3 (2009), 387–390
  64. V. Vuletescu, LCK metrics on elliptic principal bundles, 2010, 5 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Verbitsky M.S., Vuletescu V., Ornea L.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».