Theory of homotopes with applications to mutually unbiased bases, harmonic analysis on graphs, and perverse sheaves

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This paper is a survey of contemporary results and applications of the theory of homotopes. The notion of a well-tempered element of an associative algebra is introduced, and it is proved that the category of representations of the homotope constructed by a well-tempered element is the heart of a suitably glued t-structure. The Hochschild and global dimensions of homotopes are calculated in the case of well-tempered elements. The homotopes constructed from generalized Laplace operators in Poincare groupoids of graphs are studied. It is shown that they are quotients of Temperley–Lieb algebras of general graphs. The perverse sheaves on a punctured disc and on a 2-dimensional sphere with a double point are identified with representations of suitable homotopes. Relations of the theory to orthogonal decompositions of the Lie algebras $\operatorname{sl}(n,\mathbb{C})$ into a sum of Cartan subalgebras, to classifications of configurations of lines, to mutually unbiased bases, to quantum protocols, and to generalized Hadamard matrices are discussed.Bibliography: 56 titles.

About the authors

Alexey Igorevich Bondal

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences; Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University); HSE University; Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe

Email: bondal@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences

Il'ya Yur'evich Zhdanovskiy

Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University); Laboratory of algebraic geometry and its applications, National Research University "Higher School of Economics" (HSE)

Email: ijdanov@mail.ru
Candidate of physico-mathematical sciences

References

  1. A. A. Beilinson, “How to glue perverse sheaves”, K-theory, arithmetic and geometry (Moscow, 1984–1986), Lecture Notes in Math., 1289, Springer, Berlin, 1987, 42–51
  2. A. A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, “Faisceaux pervers”, Analysis and topology on singular spaces (Luminy, 1981), v. I, Asterisque, 100, Soc. Math. France, Paris, 1982, 5–171
  3. C. H. Bennett, G. Brassard, “Quantum cryptography: Public key distribution and coin tossing”, Proceedings of international conference on computers systems and signal processing (Bangalore, India, 1984), IEEE, 1984, 175–179
  4. R. Bezrukavnikov, M. Kapranov, “Microlocal sheaves and quiver varieties”, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6), 25:2-3 (2016), 473–516
  5. А. И. Бондал, “Представления ассоциативных алгебр и когерентные пучки”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 53:1 (1989), 25–44
  6. А. И. Бондал, М. М. Капранов, “Оснащенные триангулированные категории”, Матем. сб., 181:5 (1990), 669–683
  7. A. Bondal, M. Kapranov, V. Schechtman, “Perverse schobers and birational geometry”, Selecta Math. (N. S.), 24:1 (2018), 85–143
  8. A. I. Bondal, M. Larsen, V. A. Lunts, “Grothendieck ring of pretriangulated categories”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2004:29 (2004), 1461–1495
  9. A. Bondal, T. Logvinenko, Perverse schobers and orbifolds, preprint
  10. A. Bondal, I. Zhdanovskiy, “Coherence of relatively quasi-free algebras”, Eur. J. Math., 1:4 (2015), 695–703
  11. A. Bondal, I. Zhdanovskiy, “Symplectic geometry of unbiasedness and critical points of a potential”, Primitive forms and related subjects – Kavli IPMU 2014, Adv. Stud. Pure Math., 83, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2019, 1–18
  12. A. Bondal, I. Zhdanovskiy, “Ortogonal pairs and mutually unbiased bases”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXVI, Зап. науч. сем. ПОМИ, 437, ПОМИ, СПб., 2015, 35–61
  13. P. O. Boykin, M. Sitharam, P. H. Tiep, P. Wocjan, “Mutually unbiased bases and orthogonal decompositions of Lie algebras”, Quantum Inf. Comput., 7:4 (2007), 371–382
  14. W. P. Brown, “Generalized matrix algebras”, Canad. J. Math., 7 (1955), 188–190
  15. A. R. Calderbank, E. M. Rains, P. W. Shor, N. J. A. Sloane, “Quantum error correction and orthogonal geometry”, Phys. Rev. Lett., 78:3 (1997), 405–408
  16. S. U. Chase, “Direct products of modules”, Trans. Amer. Math. Soc., 97:3 (1960), 457–473
  17. J. Cuntz, D. Quillen, “Algebra extensions and nonsingularity”, J. Amer. Math. Soc., 8:2 (1995), 251–289
  18. P. Deligne, “Le formalisme des cycles evanescents”, Groupes de monodromie en geometrie algebrique, Seminaire de geometrie algebrique du Bois-Marie 1967–1969 (SGA 7 II), v. II, Lecture Notes in Math., 340, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1973, 82–115
  19. V. Dlab, C. M. Ringel, “Quasi-hereditary algebras”, Illinois J. Math., 33:2 (1989), 280–291
  20. W. Donovan, “Perverse schobers and wall crossing”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2019:18 (2019), 5777–5810
  21. А. И. Ефимов, “О гомотопической конечности DG-категорий”, УМН, 74:3(447) (2019), 63–94
  22. B.-G. Englert, Ya. Aharonov, “The mean king's problem: prime degrees of freedom”, Phys. Lett. A, 284:1 (2001), 1–5
  23. S. N. Filippov, V. I. Man'ko, “Mutually unbiased bases: tomography of spin states and the star-product scheme”, Phys. Scr., 2011:T143 (2011), 014010, 6 pp.
  24. V. Franjou, T. Pirashvili, “Comparison of abelian categories recollements”, Doc. Math., 9 (2004), 41–56
  25. P. Freyd, D. Yetter, J. Hoste, W. B. R. Lickorish, K. Millet, A. Ocneanu, “A new polynomial invariant of knots and links”, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 12:2 (1985), 239–246
  26. С. И. Гельфанд, Ю. И. Манин, Методы гомологической алгебры, т. I, Наука, М., 1988, 416 с.
  27. D. Gottesman, “Class of quantum error-correcting codes saturating the quantum Hamming bound”, Phys. Rev. A (3), 54:3 (1996), 1862–1868
  28. U. Haagerup, “Orthogonal maximal abelian $*$-subalgebras of the $n times n$ matrices and cyclic $n$-roots”, Operator algebras and quantum field theory (Rome, 1996), Int. Press, Cambridge, MA, 1997, 296–322
  29. A. Harder, L. Katzarkov, “Perverse sheaves of categories and some applications”, Adv. Math., 352 (2019), 1155–1205
  30. Y. Huang, “Entanglement criteria via concave-function uncertainty relations”, Phys. Rev. A, 82:1 (2010), 012335
  31. I. D. Ivonovic, “Geometrical description of quantal state determination”, J. Phys. A, 14:12 (1981), 3241–3245
  32. N. Jacobson, Structure and representations of Jordan algebras, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968, x+453 pp.
  33. V. F. R. Jones, “Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials”, Ann. of Math. (2), 126:2 (1987), 335–388
  34. M. Kapranov, V. Schechtman, Perverse schobers, 2015 (v1 – 2014), 36 pp.
  35. M. Kapranov, V. Schechtman, “Perverse sheaves over real hyperplane arrangements”, Ann. of Math. (2), 183:2 (2016), 619–679
  36. M. Kapranov, V. Schechtman, Perverse sheaves and graphs on surfaces, 2016, 19 pp.
  37. A. S. Kocherova, I. Yu. Zhdanovskiy, “On the algebra generated by projectors with commutator relation”, Lobachevskii J. Math., 38:4 (2017), 670–687
  38. А. И. Кострикин, И. А. Кострикин, В. А. Уфнаровский, “Ортогональные разложения простых алгебр Ли (тип $A_n$)”, Аналитическая теория чисел, математический анализ и их приложения, Сборник статей. Посвящается академику Ивану Матвеевичу Виноградову к его девяностолетию, Тр. МИАН СССР, 158, 1981, 105–120
  39. А. И. Кострикин, И. А. Кострикин, В. А. Уфнаровский, “К вопросу об однозначности ортогональных разложений алгебр Ли типов $A_n$ и $C_n$. I, II”, Исследования по алгебре и топологии, Матем. исслед., 74, Штиинца, Кишинев, 1983, 80–105, 106–116
  40. A. I. Kostrikin, P. H. Tiep, Orthogonal decompositions and integral lattices, De Gruyter Exp. Math., 15, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1994, x+535 pp.
  41. N. J. Kuhn, “Generic representations of the finite general linear groups and the Steenrod algebra. II”, K-theory, 8:4 (1994), 395–428
  42. A. Kuznetsov, V. A. Lunts, “Categorical resolutions of irrational singularities”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2015:13 (2015), 4536–4625
  43. M. Matolcsi, F. Szöllősi, “Towards a classification of $6 times 6$ complex Hadamard matrices”, Open Syst. Inf. Dyn., 15:2 (2008), 93–108
  44. R. Nicoară, “A finiteness result for commuting squares of matrix algebras”, J. Operator Theory, 55:2 (2006), 295–310
  45. D. Orlov, “Smooth and proper noncommutative schemes and gluing of DG categories”, Adv. Math., 302 (2016), 59–105
  46. M. Petrescu, Existence of continuous families of complex Hadamard matrices of certain prime dimensions and related results, PhD thesis, Univ. of California, Los Angeles, 1997, 106 pp.
  47. S. Popa, “Orthogonal pairs of $*$-subalgebras in finite von Neumann algebras”, J. Operator Theory, 9:2 (1983), 253–268
  48. M. B. Ruskai, “Some connections between frames, mutually unbiased bases, and POVM's in quantum information theory”, Acta Appl. Math., 108:3 (2009), 709–719
  49. V. Schechtman, “Pentagramma mirificum and elliptic functions (Napier, Gauss, Poncelet, Jacobi, …)”, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6), 22:2 (2013), 353–375
  50. J. Schwinger, “Unitary operator bases”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 46:4 (1960), 570–579
  51. F. Szöllősi, “Complex Hadamard matrices of order 6: a four-parameter family”, J. Lond. Math. Soc. (2), 85:3 (2012), 616–632
  52. W. Tadej, K. Życzkowski, “Defect of a unitary matrix”, Linear Algebra Appl., 429:2-3 (2008), 447–481
  53. L. Vaidman, Ya. Aharonov, D. Z. Albert, “How to ascertain the values of $sigma_{x}$, $sigma_{y}$ and $sigma_{z}$ of a spin-1/2 particle”, Phys. Rev. Lett., 58:14 (1987), 1385–1387
  54. W. K. Wootters, B. D. Fields, “Optimal state-determination by mutually unbiased measurements”, Ann. Physics, 191:2 (1989), 363–381
  55. I. Yu. Zhdanovskiy, “Homotopes of finite-dimensional algebras”, Comm. Algebra, 49:1 (2020), 43–57
  56. И. Ю. Ждановский, А. С. Кочерова, “Алгебры проекторов и взаимно несмещенные базисы в размерности 7”, Квантовые вычисления, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. Темат. обз., 138, ВИНИТИ РАН, М., 2017, 19–49

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Bondal A.I., Zhdanovskiy I.Y.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».