Newton polytopes and tropical geometry

Capa

Citar

Texto integral

Acesso aberto Acesso aberto
Acesso é fechado Acesso está concedido
Acesso é fechado Somente assinantes

Resumo

The practice of bringing together the concepts of ‘Newton polytopes’, ‘toric varieties’, ‘tropical geometry’, and ‘Gröbner bases’ has led to the formation of stable and mutually beneficial connections between algebraic geometry and convex geometry. This survey is devoted to the current state of the area of mathematics that describes the interaction and applications of these concepts.Bibliography: 68 titles.

Sobre autores

Boris Kazarnovskii

Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute)

Email: kazbori@gmail.com
Candidate of physico-mathematical sciences, no status

Askold Khovanskii

Independent University of Moscow; University of Toronto

Email: askold@math.toronto.edu
Doctor of physico-mathematical sciences

Alexander Èsterov

HSE University

Email: aesterov@hse.ru
Doctor of physico-mathematical sciences

Bibliografia

  1. Л. А. Айзенберг, А. П. Южаков, Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе, Наука, Новосибирск, 1979, 367 с.
  2. А. Д. Александров, Геометрия и приложения, Избранные труды, 1, Наука, Новосибирск, 2006, lii+748 с.
  3. G. M. Bergman, “The logarithmic limit-set of an algebraic variety”, Trans. Amer. Math. Soc., 157 (1971), 459–469
  4. Д. Н. Бернштейн, “Число корней системы уравнений”, Функц. анализ и его прил., 9:3 (1975), 1–4
  5. B. Bertrand, E. Brugalle, G. Mikhalkin, “Genus 0 characteristic numbers of the tropical projective plane”, Compos. Math., 150:1 (2014), 46–104
  6. E. Bombieri, D. Masser, U. Zannier, “Anomalous subvarieties – structure theorems and applications”, Int. Math. Res. Not. IMRN, 2007:19 (2007), rnm057, 33 pp.
  7. M. Brion, “Piecewise polynomial functions, convex polytopes and enumerative geometry”, Parameter spaces (Warsaw, 1994), Banach Center Publ., 36, Polish Acad. Sci. Inst. Math., Warsaw, 1996, 25–44
  8. M. Brion, “The structure of the polytope algebra”, Tohoku Math. J. (2), 49:1 (1997), 1–32
  9. E. Brugalle, I. Itenberg, G. Mikhalkin, K. Shaw, “Brief introduction to tropical geometry”, Proceedings of Gökova geometry-topology conference 2014, Gökova Geometry/Topology Conferences (GGT), Gökova; International Press, Somerville, MA, 2015, 1–75
  10. C. De Concini, “Equivariant embeddings of homogeneous spaces”, Proceedings of the International congress of mathematicians (Berkeley, CA, 1986), v. 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 369–377
  11. C. De Concini, C. Procesi, “Complete symmetric varieties. II. Intersection theory”, Algebraic groups and related topics (Kyoto/Nagoya, 1983), Adv. Stud. Pure Math., 6, North-Holland, Amsterdam, 1985, 481–513
  12. A. Dickenstein, M. I. Herrero, L. F. Tabera, “Arithmetics and combinatorics of tropical Severi varieties of univariate polynomials”, Israel J. Math., 221:2 (2017), 741–777
  13. M. Einsiedler, M. Kapranov, D. Lind, “Non-archimedean amoebas and tropical varieties”, J. Reine Angew. Math., 2006:601 (2006), 139–157
  14. А. И. Эстеров, “Индексы 1-форм, результанты и многогранники Ньютона”, УМН, 60:2(362) (2005), 181–182
  15. А. И. Эстеров, “Индексы 1-форм, индексы пересечения и многогранники Ньютона”, Матем. сб., 197:7 (2006), 137–160
  16. A. Esterov, “Characteristic classes of affine varieties and Plücker formulas for affine morphisms”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 20:1 (2018), 15–59
  17. G. Ewald, Combinatorial convexity and algebraic geometry, Grad. Texts in Math., 168, Springer-Verlag, New York, 1996, xiv+372 pp.
  18. F. Fillastre, “Fuchsian convex bodies: basics of Brunn–Minkowski theory”, Geom. Funct. Anal., 23:1 (2013), 295–333
  19. W. Fulton, B. Sturmfels, “Intersection theory on toric varieties”, Topology, 36:2 (1997), 335–353
  20. A. Gathmann, M. Kerber, H. Markwig, “Tropical fans and the moduli spaces of tropical curves”, Compos. Math., 145:1 (2009), 173–195
  21. I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky, Discriminants, resultants, and multidimensional determinants, Math. Theory Appl., Birkhäuser Boston, Inc., 1994, x+523 pp.
  22. A. Gross, “Correspondence theorems via tropicalizations of moduli spaces”, Commun. Contemp. Math., 18:3 (2016), 1550043, 36 pp.
  23. A. Gross, Refined tropicalizations for schön subvarieties of tori, 2017, 18 pp.
  24. J. Hofscheier, A. Khovanskii, L. Monin, Cohomology rings of toric bundles and the ring of conditions, 2020, 22 pp.
  25. I. Itenberg, G. Mikhalkin, E. Shustin, Tropical algebraic geometry, Oberwolfach Semin., 35, 2nd ed., Birkhäuser Verlag, Basel, 2009, x+104 pp.
  26. I. Itenberg, E. Shustin, “Singular points and limit cycles of planar polynomial vector fields”, Duke Math. J., 102:1 (2000), 1–37
  27. Б. Я. Казарновский, “О нулях экспоненциальных сумм”, Докл. АН СССР, 257:4 (1981), 804–808
  28. Б. Я. Казарновский, “Экспоненциальные аналитические множества”, Функц. анализ и его прил., 31:2 (1997), 15–26
  29. Б. Я. Казарновский, “Укорочения систем уравнений, идеалов и многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 63:3 (1999), 119–132
  30. Б. Я. Казарновский, “c-вееры и многогранники Ньютона алгебраических многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:3 (2003), 23–44
  31. Б. Я. Казарновский, “О действии комплексного оператора Монжа–Ампера на кусочно линейных функциях”, Функц. анализ и его прил., 48:1 (2014), 19–29
  32. Б. Я. Казарновский, А. Г. Хованский, “Тропическая нетеровость и базисы Грeбнера”, Алгебра и анализ, 26:5 (2014), 142–163
  33. G. Kempf, F. Knudsen, D. Mumford, B. Saint-Donat, Toroidal embeddings. I, Lecture Notes in Math., 339, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1973, viii+209 pp.
  34. А. Г. Хованский, “Многогранники Ньютона и торические многообразия”, Функц. анализ и его прил., 11:4 (1977), 56–64
  35. А. Г. Хованский, “Многогранники Ньютона и род полных пересечений”, Функц. анализ и его прил., 12:1 (1978), 51–61
  36. А. Г. Хованский, “Геометрия выпуклых многогранников и алгебраическая геометрия”, В ст.: “Совместные заседания семинара имени И. Г. Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики и Московского математического общества (вторая сессия, 18–20 января 1979 г.)”, УМН, 34:4(208) (1979), 160–161
  37. А. Г. Хованский, “Гиперплоские сечения многогранников, торические многообразия и дискретные группы в пространстве Лобачевского”, Функц. анализ и его прил., 20:1 (1980), 50–61
  38. А. Г. Хованский, Малочлены, Библиотека математика, 2, Фазис, М., 1997, xii+217 с.
  39. A. Khovanskii, “Newton polyhedra and good compactification theorem”, Arnold Math. J., Publ. online: 2020, 23 pp.
  40. А. Г. Хованский, “Многогранники Ньютона и неприводимые компоненты полных пересечений”, Изв. РАН. Сер. матем., 80:1 (2016), 281–304
  41. A. Khovanskiĭ, V. Timorin, “On the theory of coconvex bodies”, Discrete Comput. Geom., 52:4 (2014), 806–823
  42. A. G. Kouchnirenko, “Polyèdres de Newton et nombres de Milnor”, Invent. Math., 32:1 (1976), 1–31
  43. D. Maclagan, B. Sturmfels, Introduction to tropical geometry, Grad. Stud. Math., 161, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, xii+363 pp.
  44. R. D. MacPherson, “Chern classes for singular algebraic varieties”, Ann. of Math. (2), 100 (1974), 423–432
  45. H. Markwig, T. Markwig, E. Shustin, “Enumeration of complex and real surfaces via tropical geometry”, Adv. Geom., 18:1 (2018), 69–100
  46. P. McMullen, “The polytope algebra”, Adv. Math., 78:1 (1989), 76–130
  47. G. Mikhalkin, “Enumerative tropical algebraic geometry in $mathbb{R}^2$”, J. Amer. Math. Soc., 18:2 (2005), 313–377
  48. G. Mikhalkin, “Tropical geometry and its applications”, Proceedings of the International congress of mathematicians (Madrid, 2006), v. II, Eur. Math. Soc., Zürich, 2006, 827–852
  49. H. Minkowski, “Theorie der konvexen Körpern, insbesondere Begründung ihres Oberflächenbegriffs”, Gesammelte Abhandlungen, v. 2, B. G. Teubner, Leipzig, 1911, 131–229
  50. M. Oka, “Principal zeta-function of non-degenerate complete intersection singularity”, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math., 37:1 (1990), 11–32
  51. R. Schneider, Convex bodies: the Brunn–Minkowski theory, Encyclopedia Math. Appl., 151, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2014, xxii+736 pp.
  52. M. H. Schwartz, “Classes et caractères de Chern–Mather des espaces lineaires”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 295:5 (1982), 399–402
  53. E. Shustin, “A tropical approach to enumerative geometry”, Алгебра и анализ, 17:2 (2005), 170–214
  54. E. Shustin, “Tropical and algebraic curves with multiple points”, Perspectives in analysis, geometry, and topology, Progr. Math., 296, Birkhäuser/Springer, New York, 2012, 431–464
  55. T. Nishinou, B. Siebert, “Toric degenerations of toric varieties and tropical curves”, Duke Math. J., 135:1 (2006), 1–51
  56. D. Speyer, “Horn's problem, Vinnikov curves, and the hive cone”, Duke Math. J., 127:3 (2005), 395–427
  57. R. P. Stanley, “The number of faces of a simplicial convex polytope”, Adv. Math., 35:3 (1980), 236–238
  58. R. Stanley, “Generalized $H$-vectors, intersection cohomology of toric varieties, and related results”, Commutative algebra and combinatorics (Kyoto, 1985), Adv. Stud. Pure Math., 11, North-Holland, Amsterdam, 1987, 187–213
  59. B. Sturmfels, “On the Newton polytope of the resultant”, J. Algebraic Combin., 3:2 (1994), 207–236
  60. B. Sturmfels, Solving systems of polynomial equations, CBMS Reg. Conf. Ser. Math., 97, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, viii+152 pp.
  61. B. Teissier, “Du theorème de l'index de Hodge aux inegalites isoperimetriques”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B, 288:4 (1979), A287–A289
  62. J. Tevelev, “Compactifications of subvarieties of tori”, Amer. J. Math., 129:4 (2007), 1087–1104
  63. I. Tyomkin, “Tropical geometry and correspondence theorems via toric stacks”, Math. Ann., 353:3 (2012), 945–995
  64. A. N. Varchenko, “Zeta-function of monodromy and Newton's diagram”, Invent. Math., 37:3 (1976), 253–262
  65. O. Y. Viro, “Gluing of plane real algebraic curves and constructions of curves of degrees 6 and 7”, Topology (Leningrad, 1982), Lecture Notes in Math., 1060, Springer, Berlin, 1984, 187–200
  66. O. Viro, Hyperfields for tropical geometry I. Hyperfields and dequantization, 2010, 47 pp.
  67. H. Weyl, “Mean motion”, Amer. J. Math., 60:4 (1938), 889–896
  68. B. Zilber, “Exponential sums equations and the Schanuel conjecture”, J. London Math. Soc. (2), 65:1 (2002), 27–44

Arquivos suplementares

Arquivos suplementares
Ação
1. JATS XML
Baixar

Declaração de direitos autorais © Kazarnovskii B.Y., Khovanskii A.G., Èsterov A.I., 2021

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».