Dynamics and spectral stability of soliton-like structures in fluid-filled membrane tubes

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This survey presents results on the stability of elevation solitary waves in axisymmetric elastic membrane tubes filled with a fluid. The elastic tube material is characterized by an elastic potential (elastic energy) that depends non-linearly on the principal deformations and describes the compliant elastic media. Our survey uses a simple model of an inviscid incompressible fluid, which nevertheless makes it possible to trace the main regularities of the dynamics of solitary waves. One of these regularities is the spectral stability (linear stability in form) of these waves. The basic equations of the ‘axisymmetric tube – ideal fluid’ system are formulated, and the equations for the fluid are averaged over the cross-section of the tube, that is, a quasi-one-dimensional flow with waves whose length significantly exceeds the radius of the tube is considered. The spectral stability with respect to axisymmetric perturbations is studied by constructing the Evans function for the system of basic equations linearized around a solitary wave type solution. The Evans function depends only on the spectral parameter $\eta$, is analytic in the right-hand complex half-plane $\Omega^+$, and its zeros in $\Omega^+$ coincide with unstable eigenvalues. The problems treated include stability of steady solitary waves in the absence of a fluid inside the tube (the case of constant internal pressure), together with the case of local inhomogeneity (thinning) of the tube wall, the presence of a steady fluid filling the tube (the case of zero mean flow) or a moving fluid (the case of non-zero mean flow), and also the problem of stability of travelling solitary waves propagating along the tube with non-zero speed.Bibliography: 83 titles.

About the authors

Andrej Teimurazovich Il'ichev

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: ilichev@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. T. Young, “Hydraulic investigations, subservient to an intended Croonian lecture on the motion of the blood”, Philos. Trans. R. Soc. Lond., 98 (1808), 164–186
  2. Дж. Лайтхилл, Волны в жидкостях, Мир, М., 1981, 600 с.
  3. T. B. Moodie, R. J. Tait, J. B. Haddow, “Waves in compliant tubes”, Wave propagation in viscoelastic media (Taormina, 1980), Research Notes in Mathematics, 52, Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, MA–London, 1982, 124–168
  4. T. B. Moodie, F. Mainardi, R. J. Tait, “Pressure pulses in fluid filled distensible tubes”, Meccanica, 20 (1985), 33–37
  5. D. L. Newman, S. E. Greenwald, T. B. Moodie, “Reflection from elastic discontinuities”, Med. Biol. Eng. Comput., 21 (1983), 697–701
  6. R. S. Johnson, Nonlinear waves in fluid filled elastic tubes and related phenomenon, Ph. D. diss., Univ. of London, London, 1971
  7. Y. Hashizume, “Nonlinear pressure waves in a fluid-filled elastic tube”, J. Phys. Soc. Japan, 54 (1985), 3305–3312
  8. S. J. Cowley, “On the wavetrains associated with elastic jumps on fluid-filled elastic tubes”, Quart. J. Mech. Appl. Math., 36:3 (1983), 289–312
  9. S. Yomosa, “Solitary waves in large blood vessels”, J. Phys. Soc. Japan, 56:2 (1987), 506–520
  10. H. Demiray, “Solitary waves in initially stressed thin elastic tubes”, Internat. J. Non-Linear Mech., 32:6 (1997), 1165–1176
  11. H. A. Erbay, S. Erbay, S. Dost, “Wave propagation in fluid filled nonlinear viscoelastic tubes”, Acta Mech., 95:1-4 (1992), 87–102
  12. H. Demiray, “Solitary waves in prestressed elastic tubes”, Bull. Math. Biol., 58:5 (1996), 939–955
  13. H. Demiray, S. Dost, “Axial and transverse solitary waves in prestressed thin elastic tubes”, ARI, 50 (1997), 201–210
  14. N. Antar, H. Demiray, “Weakly nonlinear waves in a prestressed thin elastic tube containing a viscous fluid”, Internat. J. Engrg. Sci., 37:14 (1999), 1859–1876
  15. M. Epstein, C. R. Jonhston, “On the exact speed and amplitude of solitary waves in fluid-filled elastic tubes”, R. Soc. Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 457:2009 (2001), 1195–1213
  16. Y. B. Fu, S. P. Pearce, K. K. Liu, “Post-bifurcation analysis of a thin-walled hyperelastic tube under inflation”, Internat. J. Non-Linear Mech., 43:8 (2008), 697–706
  17. E. Chater, J. W. Hutchinson, “On the propagation of bulges and buckles”, ASME J. Appl. Mech., 51:2 (1984), 269–277
  18. S. Kyriakides, Chang Yu-Chung, “The initiation and propagation of a localized instability in an inflated elastic tube”, Internat. J. Solids Structures, 27:9 (1991), 1085–1111
  19. D. C. Pamplona, P. B. Gonçalves, S. R. X. Lopes, “Finite deformations of cylindrical membrane under internal pressure”, Int. J. Mech. Sci., 48:6 (2006), 683–696
  20. S. Noubissie, R. A. Kraenkel, P. Woafo, “Disturbance and repair of solitary waves in blood vessels with aneurysm”, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 14:1 (2009), 51–60
  21. K. H. Parker, “An introduction to wave intensity analysis”, Med. Biol. Eng. Comput., 47 (2009), 175–188
  22. G. A. Holzapfel, T. C. Gasser, R. W. Ogden, “A new constitutive framework for arterial wall mechanics and a comparative study of material models”, J. Elasticity, 60:1-3 (2000), 1–48
  23. S. P. Pearce, Y. B. Fu, “Characterization and stability of localized bulging/necking in inflated membrane tubes”, IMA J. Appl. Math., 75:4 (2010), 581–602
  24. Y. B. Fu, G. A. Rogerson, Y. T. Zhang, “Initiation of aneurysms as a mechanical bifurcation phenomenon”, Internat. J. Non-Linear Mech., 47:2 (2012), 179–184
  25. Y. B. Fu, Y. X. Xie, “Effects of imperfections on localized bulging in inflated membrane tubes”, Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 370:1965 (2012), 1896–1911
  26. R. T. Shield, “On the stability of finitely deformed elastic membranes. Part II: Stability of inflated cylindrical and spherical membranes”, Z. Angew. Math. Phys., 23 (1972), 16–34
  27. D. M. Haughton, R. W. Ogden, “Bifurcation of inflated circular cylinders of elastic material under axial loading. I. Membrane theory for thin-walled tubes”, J. Mech. Phys. Solids, 27:3 (1979), 179–212
  28. Yi-Chao Chen, “Stability and bifurcation of finite deformations of elastic cylindrical membranes. Part I. Stability analysis”, Internat. J. Solids Structures, 34:14 (1997), 1735–1749
  29. L. M. Zubov, D. N. Sheidakov, “Instability of a hollow elastic cylinder under tension, torsion, and inflation”, ASME J. Appl. Mech., 75 (2008), 011002, 6 pp.
  30. Juan Wang, Yibin Fu, “Effect of double-fibre reinforcement on localized bulging of an inflated cylindrical tube of arbitrary thickness”, J. Engrg. Math., 109 (2018), 21–30
  31. Juan Wang, A. Althobaiti, Yibin Fu, “Localized bulging of rotating elastic cylinders and tubes”, J. Mech. Mater. Struct., 12:4 (2017), 545–561
  32. Y. B. Fu, J. L. Liu, G. S. Francisco, “Localized bulging in an inflated cylindrical tube of arbitrary thickness – the effect of bending stiffness”, J. Mech. Phys. Solids, 90 (2016), 45–60
  33. Yang Ye, Yang Liu, Yibin Fu, “Weakly nonlinear analysis of localized bulging of an inflated hyperelastic tube of arbitrary wall thickness”, J. Mech. Phys. Solids, 135 (2020), 103804, 16 pp.
  34. K. N. Karagiozis, M. P. Païdoussis, M. Amabili, “Effect of geometry on the stability of cylindrical clamped shells subjected to internal fluid flow”, Comput. & Structures, 85:11-14 (2007), 645–659
  35. Zhiming Guo, J. Gattas, Shibin Wang, Linan Li, F. Albermani, “Experimental and numerical investigation of bulging behaviour of hyperelastic textured tubes”, Int. J. Mech. Sci., 115/116 (2016), 665–675
  36. Shibin Wang, Zhiming Guo, Lei Zhou, Linan Li, Yibin Fu, “An experimental study of localized bulging in inflated cylindrical tubes guided by newly emerged analytical results”, J. Mech. Phys. Solids, 124 (2019), 536–554
  37. Yang Ye, Yang Liu, A. Althobaiti, Yu-Xin Xie, “Localized bulging in an inflated bilayer tube of arbitrary thickness: Effects of the stiffness ratio and constitutive model”, Internat. J. Solids Structures, 176/177 (2019), 173–184
  38. J. B. Grotberg, O. E. Jensen, “Biofluid mechanics in flexible tubes”, Annu. Rev. Fluid Mech., 36 (2004), 121–147
  39. M. Heil, A. L. Hazel, “Fluid-structure interaction in internal physiological flows”, Annu. Rev. Fluid Mech., 43 (2011), 141–162
  40. O. E. Jensen, T. J. Pedley, “The existence of steady flow in a collapsed tube”, J. Fluid Mech., 206 (1989), 339–374
  41. O. E. Jensen, “Instabilities of flow in a collapsed tube”, J. Fluid Mech., 220 (1990), 623–659
  42. T. J. Pedley, X. Y. Luo, “Modelling flow and oscillations in collapsible tubes”, Theor. Comput. Fluid Dyn., 10:1-4 (1998), 277–294
  43. R. J. Whittaker, M. Heil, O. E. Jensen, S. L. Waters, “Predicting the onset of high-frequency self-excited oscillations in elastic-walled tubes”, Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 466:2124 (2010), 3635–3657
  44. В. С. Юшутин, “Устойчивость деформируемых каналов при течении по ним нелинейно-вязких сред со степенным законом упрочнения”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2012, № 4, 67–70
  45. А. Б. Порошина, В. В. Веденеев, “Существование и единственность стационарного состояния упругой трубки при протекании через нее степенной жидкости”, Росс. журн. биомех., 22:2 (2018), 196–222
  46. В. В. Веденеев, А. Б. Порошина, “Устойчивость упругой трубки, содержащей текущую неньютоновскую жидкость и имеющей локально ослабленный участок”, Современные проблемы и методы механики, Сборник статей. К 110-летию со дня рождения академика Леонида Ивановича Седова, Тр. МИАН, 300, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2018, 42–64
  47. V. V. Vedeneev, “Nonlinear steady states of hyperelatic membrane tubes conveying a viscous non-Newtonian fluid”, J. Fluids Struct., 98 (2020), 103113, 21 pp.
  48. A. T. Il'ichev, Y.-B. Fu, “Stability of aneurysm solutions in a fluid-filled elastic membrane tube”, Acta Mech. Sin., 28:4 (2012), 1209–1218
  49. Y. B. Fu, A. T. Il'ichev, “Localized standing waves in a hyperelastic membrane tube and their stabilization by a mean flow”, Math. Mech. Solids, 20:10 (2015), 1198–1214
  50. A. T. Il'ichev, Y. B. Fu, “Stability of an inflated hyperelastic membrane tube with localized wall thinning”, Internat. J. Engrg. Sci., 80 (2014), 53–61
  51. A. T. Il'ichev, V. A. Shargatov, Y. B. Fu, “Characterization and dynamical stability of fully nonlinear strain solitary waves in a fluid-filled hyperelastic membrane tube”, Acta Mech., 231 (2020), 4095–4110
  52. Y. B. Fu, Y. X. Xie, “Stability of localized bulging in inflated membrane tubes under volume control”, Internat. J. Engrg. Sci., 48:11 (2010), 1242–1252
  53. R. L. Pego, M. I. Weinstein, “Eigenvalues, and instabilities of solitary waves”, Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A, 340:1656 (1992), 47–94
  54. J. W. Evans, “Nerve axon equations. III. Stability of the nerve impulse”, Indiana Univ. Math. J., 22:6 (1972/73), 577–593
  55. C. K. R. T. Jones, “Stability of the travelling wave solution of the FitzHugh–Nagumo system”, Trans. Amer. Math. Soc., 286:2 (1984), 431–469
  56. J. Alexander, R. Gardner, C. Jones, “A topological invariant arising in the stability analysis of travelling waves”, J. Reine Angew. Math., 410 (1990), 167–212
  57. T. Kapitula, “The Evans function and generalized Melnikov integrals”, SIAM J. Math. Anal., 30:2 (1999), 273–297
  58. J. C. Alexander, R. Sachs, “Linear instability of solitary waves of a Boussinesq-type equation: a computer assisted computation”, Nonlinear World, 2:4 (1995), 471–507
  59. J. Swinton, J. Elgin, “Stability of traveling pulse solutions to a laser equation”, Phys. Lett. A, 145:8-9 (1990), 428–433
  60. R. L. Pego, P. Smereka, M. I. Weinstein, “Oscillatory instability of travelling waves for a KdV–Burgers equation”, Phys. D, 67:1-3 (1993), 45–65
  61. J. C. Alexander, M. G. Grillakis, C. K. R. T. Jones, B. Sandstede, “Stability of pulses on optical fibers with phase-sensitive amplifiers”, Z. Angew. Math. Phys., 48:2 (1997), 175–192
  62. R. A. Gardner, K. Zumbrun, “The gap lemma and geometric criteria for instability of viscous shock profiles”, Comm. Pure Appl. Math., 51:7 (1998), 797–855
  63. T. Kapitula, “Stability criterion for bright solitary waves of the perturbed cubic-quintic Schrödinger equation”, Phys. D, 116:1-2 (1998), 95–120
  64. T. Kapitula, B. Sandstede, “Stability of bright solitary-wave solutions to perturbed nonlinear Schrödinger equations”, Phys. D, 124:1-3 (1998), 58–103
  65. A. L. Afendikov, T. J. Bridges, “Instability of the Hocking–Stewartson pulse and its implications for three-dimensional Poiseuille flow”, R. Soc. Lond. Proc. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci., 457:2006 (2001), 257–272
  66. T.-J. Bridges, G. Derks, G. Gottwald, “Stability and instability of solitary waves of the fifth-order KdV equation: a numerical framework”, Phys. D, 172:1-4 (2002), 190–216
  67. A. T. Il'ichev, “Instability of solitary waves on Euler's elastica”, Z. Angew. Math. Phys., 57:4 (2006), 547–566
  68. А. Т. Ильичев, “Устойчивость уединенных волн в мембранных трубах: слабонелинейный анализ”, ТМФ, 193:2 (2017), 214–224
  69. Y. B. Fu, A. T. Il'ichev, “Solitary waves in fluid-filled elastic tubes: existence, persistence, and the role of axial displacement”, IMA J. Appl. Math., 75:2 (2010), 257–268
  70. R. W. Ogden, Non-linear elastic deformations, Dover Publications, New York, 1997, 932 pp.
  71. R. W. Ogden, “Large deformation isotropic elasticity: on the correlation of theory and experiment for incompressible rubber-like solids”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 326:1567 (1972), 565–584
  72. A. N. Gent, “A new constitutive relation for rubber”, Rubber Chem. Technol., 69:1 (1996), 59–61
  73. Dongho Chae, “Liouville-type theorems for the forced Euler equations and the Navier–Stokes equations”, Comm. Math. Phys., 326:1 (2014), 37–48
  74. Г. А. Серeгин, Т. Н. Шилкин, “Теоремы лиувиллевского типа для уравнений Навье–Стокса”, УМН, 73:4(442) (2018), 103–170
  75. В. В. Козлов, “Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений”, УМН, 74:1(445) (2019), 117–148
  76. G. Iooss, K. Kirchgässner, “Water waves for small surface tension: an approach via normal form”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 122:3-4 (1992), 267–299
  77. G. Iooss, M. Adelmeyer, Topics in bifurcation theory and applications, Adv. Ser. Nonlinear Dynam., 3, 2nd ed., World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1998, viii+186 pp.
  78. Н. А. Кудряшов, Методы нелинейной математической физики, Уч. пособие, Изд. дом “Интеллект”, Долгопрудный, 2010, 368 с.
  79. С. А. Кащенко, “Асимптотика быстро осциллирующих решений обобщенного уравнения Кортевега–де Фриза–Бюргерса”, УМН, 74:4(448) (2019), 181–182
  80. W. A. Coppel, Stability and asymptotic behavior of differential equations, D. C. Heath and Co., Boston, MA, 1965, viii+166 pp.
  81. T. B. Benjamin, “The stability of solitary waves”, Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 328:1573 (1972), 153–183
  82. M. Grillakis, J. Shatah, W. Strauss, “Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry. I”, J. Funct. Anal., 74:1 (1987), 160–197
  83. А. Т. Ильичев, “Физические параметры уединенных волновых пакетов под ледовым покровом в бассейнах небольшой глубины”, ТМФ, 201:3 (2019), 347–360

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Il'ichev A.T.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».