In search of infinite-dimensional Kähler geometry

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This paper is devoted to a survey of recent results in the Kähler geometry of infinite-dimensional Kähler manifolds. Three particular classes of such manifolds are investigated: the loop spaces of compact Lie groups, Hilbert–Schmidt Grassmannians, and the universal Teichmüller space. These investigations have been prompted both by requirements in Kähler geometry itself and by connections with string theory, which are considered in the last section.Bibliography: 43 titles.

About the authors

Armen Glebovich Sergeev

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: sergeev@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Л. Альфорс, Лекции по квазиконформным отображениям, Мир, М., 1969, 133 с.
  2. G. D. Birkhoff, “Singular points of ordinary linear differential equations”, Trans. Amer. Math. Soc., 10:4 (1909), 436–470
  3. G. D. Birkhoff, “Equivalent singular points of ordinary linear differential equations”, Math. Ann., 74:1 (1913), 134–139
  4. R. Bott, “On the characteristic classes of groups of diffeomorphisms”, Enseign. Math. (2), 23:3-4 (1977), 209–220
  5. R. Bowen, “Hausdorff dimension of quasi-circles”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 50 (1979), 11–25
  6. M. J. Bowick, A. Lahiri, “The Ricci curvature of $operatorname{Diff}S^1/operatorname{SL}(2,mathbb R)$”, J. Math. Phys., 29:9 (1988), 1979–1981
  7. M. J. Bowick, S. G. Rajeev, “The holomorphic geometry of closed bosonic string theory and $operatorname{Diff}S^1/S^1$”, Nuclear Phys. B, 293:2 (1987), 348–384
  8. Ш.-Ш. Чжэнь, Комплексные многообразия, ИЛ, М., 1961, 240 с.
  9. A. Connes, Geometrie non commutative, InterEditions, Paris, 1990, 240 pp.
  10. И. М. Гельфанд, Д. Б. Фукс, “Когомологии алгебры Ли векторных полей на окружности”, Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), 92–93
  11. R. Goodman, N. R. Wallach, “Structure and unitary cocycle representations of loop groups and the group of diffeomorphisms of the circle”, J. Reine Angew. Math., 1984:347 (1984), 69–133
  12. R. Goodman, N. R. Wallach, “Projective unitary positive-energy representations of $operatorname{Diff}(S^1)$”, J. Funct. Anal., 63:3 (1985), 299–321
  13. М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен, Теория суперструн, т. 1, Мир, М., 1990, 520 с.
  14. L. Guieu, “Nombre de rotation, structures geometriques sur un cercle et groupe de Bott–Virasoro”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 46:4 (1996), 971–1009
  15. A. Huckleberry, T. Wurzbacher (eds.), Infinite dimensional Kähler manifolds (Oberwolfach, 1995), DMV Sem., 31, Birkhäuser Verlag, Basel, 2001, xiv+375 pp.
  16. М. Каку, Введение в теорию суперструн, Мир, М., 1999, 624 с.
  17. A. A. Kirillov, “Infinite dimensional Lie groups: their orbits, invariants and representations. The geometry of moments”, Twistor geometry and non-linear systems (Primorsko, 1980), Lecture Notes in Math., 970, Springer, Berlin, 1982, 101–123
  18. А. А. Кириллов, Д. В. Юрьев, “Кэлерова геометрия бесконечномерного однородного пространства $M=operatorname{Diff}_+(S^1)/operatorname{Rot}(S^1)$”, Функц. анализ и его прил., 21:4 (1987), 35–46
  19. В. Ф. Лазуткин, Т. Ф. Панкратова, “Нормальные формы и версальные деформации для уравнения Хилла”, Функц. анализ и его прил., 9:4 (1975), 41–48
  20. O. Lehto, Univalent functions and Teichmüller spaces, Grad. Texts in Math., 109, Springer-Verlag, New York, 1987, xii+257 pp.
  21. L. Lempert, “The Virasoro group as a complex manifold”, Math. Res. Lett., 2:4 (1995), 475–495
  22. A. Moroianu, Lectures on Kähler geometry, London Math. Soc. Stud. Texts, 69, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2007, x+171 pp.
  23. S. Nag, The complex analytic theory of Teichmüller spaces, Canad. Math. Soc. Ser. Monogr. Adv. Texts, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1988, xiv+427 pp.
  24. S. Nag, “A period mapping in universal Teichmüller space”, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.), 26:2 (1992), 280–287
  25. S. Nag, D. Sullivan, “Teichmüller theory and the universal period mapping via quantum calculus and the $H^{1/2}$ space on the circle”, Osaka J. Math., 32:1 (1995), 1–34
  26. S. Nag, A. Verjovsky, “$operatorname{Diff}(S^1)$ and the Teichmüller spaces”, Comm. Math. Phys., 130:1 (1990), 123–138
  27. Н. К. Никольский, Лекции об операторе сдвига, Наука, М., 1980, 384 с.
  28. A. Pflüger, “Über die Konstruktion Riemannscher Flächen durch Verhëftung”, J. Indian Math. Soc. (N. S.), 24 (1961), 401–412
  29. А. М. Поляков, Калибровочные поля и струны, Изд. дом “Удмуртский университет”, Ижевск, 1999, 316 с.
  30. Э. Прессли, Г. Сигал, Группы петель, Мир, 1990, 456 с.
  31. H. M. Reimann, “Ordinary differential equations and quasiconformal mappings”, Invent. Math., 33:3 (1976), 247–270
  32. J. Scherk, “An introduction to the theory of dual models and strings”, Rev. Modern Phys., 47 (1975), 123–164
  33. G. Segal, “Unitary representations of some infinite dimensional groups”, Comm. Math. Phys., 80:3 (1981), 301–342
  34. А. Г. Сергеев, Кэлерова геометрия пространств петель, МЦНМО, М., 2001, 128 с.
  35. А. Г. Сергеев, “Твисторное квантование пространства петель $Omegamathbb R^d$”, Збiрник праць Iн-ту мат. НАН Украïни, 6:1 (2009), 287–305
  36. А. Г. Сергеев, “Геометрическое квантование пространств петель”, Совр. пробл. матем., 13, МИАН, М., 2009, 3–294
  37. A. G. Sergeev, Kähler geometry of loop spaces, MSJ Memoirs, 23, Math. Soc. Japan, Tokyo, 2010, xvi+212 pp.
  38. А. Г. Сергеев, “Лекции об универсальном пространстве Тейхмюллера”, Лекц. курсы НОЦ, 21, МИАН, М., 2013, 3–130
  39. А. Г. Сергеев, “Квантование соболевского пространства полудифференцируемых функций”, Матем. сб., 207:10 (2016), 96–104
  40. L. A. Takhtajan, L.-P. Teo, Weil–Petersson metric on the universal Teichmüller space, Mem. Amer. Math. Soc., 183, № 861, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006, viii+119 pp.
  41. А. Вейль, Введение в теорию кэлеровых многообразий, ИЛ, М., 1961, 220 с.
  42. E. Witten, “Coadjoint orbits of the Virasoro group”, Comm. Math. Phys., 114:1 (1988), 1–53
  43. Ш. Яу, С. Надис, Теория струн и скрытые измерения Вселенной, Питер, СПб., 2016, 400 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Sergeev A.G.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».