Uniform attractors for measure-driven quintic wave equations

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

This is a detailed study of damped quintic wave equations with non-regular and non-autonomous external forces which are measures in time. In the 3D case with periodic boundary conditions, uniform energy-to-Strichartz estimates are established for the solutions, the existence of uniform attractors in a weak or strong topology in the energy phase space is proved, and their additional regularity is studied along with the possibility of representing them as the union of all complete bounded trajectories.Bibliography: 45 titles.

About the authors

Anton Konstantinovich Savostianov

Uppsala University

Email: anton.savostianov@math.uu.se

Sergey Vital'evich Zelik

University of Surrey; Lanzhou University; Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences

Email: s.zelik@surrey.ac.uk
Doctor of physico-mathematical sciences, Senior Researcher

References

  1. J. Arrieta, A. N. Carvalho, J. K. Hale, “A damped hyperbolic equation with critical exponent”, Comm. Partial Differential Equations, 17:5-6 (1992), 841–866
  2. А. В. Бабин, М. И. Вишик, Аттракторы эволюционных уравнений, Наука, M., 1989, 296 с.
  3. H. Bahouri, J.-Y. Chemin, R. Danchin, Fourier analysis and nonlinear partial differential equations, Grundlehren Math. Wiss., 343, Springer, Heidelberg, 2011, xvi+523 pp.
  4. H. Bahouri, P. Gerard, “High frequency approximation of solutions to critical nonlinear wave equations”, Amer. J. Math., 121:1 (1999), 131–175
  5. J. Ball, “Global attractors for damped semilinear wave equations”, Partial differential equations and applications, Discrete Contin. Dyn. Syst., 10:1-2 (2004), 31–52
  6. M. D. Blair, H. F. Smith, C. D. Sogge, “Strichartz estimates for the wave equation on manifolds with boundary”, Ann. Inst. H. Poincare Anal. Non Lineaire, 26:5 (2009), 1817–1829
  7. В. И. Богачев, Основы теории меры, т. 1, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2003, 544 с.
  8. В. И. Богачев, Основы теории меры, т. 2, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 2003, 576 с.
  9. N. Burq, G. Lebeau, F. Planchon, “Global existence for energy critical waves in 3-D domains”, J. Amer. Math. Soc., 21:3 (2008), 831–845
  10. N. Burq, F. Planchon, “Global existence for energy critical waves in 3-D domains: Neumann boundary conditions”, Amer. J. Math., 131:6 (2009), 1715–1742
  11. V. V. Chepyzhov, M. I. Vishik, “Evolution equations and their trajectory attractors”, J. Math. Pures Appl. (9), 76:10 (1997), 913–964
  12. V. V. Chepyzhov, M. I. Vishik, Attractors for equations of mathematical physics, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 49, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, xii+363 pp.
  13. J. Diestel, J. J. Uhl, Jr., Vector measures, Math. Surveys, 15, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1977, xiii+322 pp.
  14. E. Feireisl, “Asymptotic behaviour and attractors for a semilinear damped wave equation with supercritical exponent”, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 125:5 (1995), 1051–1062
  15. M. Grillakis, “Regularity and asymptotic behaviour of the wave equation with a critical nonlinearity”, Ann. of Math. (2), 132:3 (1990), 485–509
  16. J. K. Hale, Asymptotic behavior of dissipative systems, Math. Surveys Monogr., 25, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988, x+198 pp.
  17. E. Hewitt, “Integration by parts for Stieltjes integrals”, Amer. Math. Monthly, 67:5 (1960), 419–423
  18. V. Kalantarov, A. Savostianov, S. Zelik, “Attractors for damped quintic wave equations in bounded domains”, Ann. Henri Poincare, 17:9 (2016), 2555–2584
  19. Л. В. Капитанский, “Задача Коши для полулинейного волнового уравнения. I”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 19, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 163, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1987, 76–104
  20. Л. В. Капитанский, “Задача Коши для полулинейного волнового уравнения. II”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 21, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 182, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1990, 38–85
  21. L. Kapitanski, “Global and unique weak solutions of nonlinear wave equations”, Math. Res. Lett., 1:2 (1994), 211–223
  22. L. Kapitanski, “Minimal compact global attractor for a damped semilinear wave equation”, Comm. Partial Differential Equations, 20:7-8 (1995), 1303–1323
  23. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, Изд. 4-е, перераб., Наука, М., 1976, 544 с.
  24. S. Kuksin, A. Shirikyan, Mathematics of two-dimensional turbulence, Cambridge Tracts in Math., 194, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012, xvi+320 pp.
  25. О. А. Ладыженская, “Об аттракторах нелинейных эволюционных задач с диссипацией”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 18, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 152, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1986, 72–85
  26. Ж.-Л. Лионс, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, Мир, М., 1972, 587 с.
  27. S. Lu, H. Wu, C. Zhong, “Attractors for nonautonomous 2D Navier–Stokes equations with normal external forces”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 13:3 (2005), 701–719
  28. T.-W. Ma, Banach–Hilbert spaces, vector measures and group representations, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2002, xiv+606 pp.
  29. A. Miranville, S. Zelik, “Attractors for dissipative partial differential equations in bounded and unbounded domains”, Handbook of differential equations: evolutionary equations, v. IV, Elsevier/North-Holland, Amsterdam, 2008, 103–200
  30. I. Moise, R. Rosa, X. Wang, “Attractors for non-compact semigroups via energy equations”, Nonlinearity, 11:5 (1998), 1369–1393
  31. I. Namioka, “Separate continuity and joint continuity”, Pacific J. Math., 51:2 (1974), 515–531
  32. A. Savostianov, “Strichartz estimates and smooth attractors for a sub-quintic wave equation with fractional damping in bounded domains”, Adv. Differential Equations, 20:5-6 (2015), 495–530
  33. J. Shatah, M. Struwe, “Regularity results for nonlinear wave equations”, Ann. of Math. (2), 138:3 (1993), 503–518
  34. J. Shatah, M. Struwe, “Well-posedness in the energy space for semilinear wave equations with critical growth”, Internat. Math. Res. Notices, 1994:7 (1994), 303–309
  35. C. D. Sogge, Lectures on non-linear wave equations, 2nd ed., International Press, Boston, MA, 2008, x+205 pp.
  36. W. A. Strauss, Nonlinear wave equations, CBMS Regional Conf. Ser. in Math., 73, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1989, x+91 pp.
  37. M. Struwe, “Globally regular solutions to the $u^5$ Klein–Gordon equation”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 15:3 (1988), 495–513
  38. T. Tao, Nonlinear dispersive equations. Local and global analysis, CBMS Regional Conf. Ser. in Math., 106, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006, xvi+373 pp.
  39. T. Tao, “Spacetime bounds for the energy-critical nonlinear wave equation in three spatial dimensions”, Dyn. Partial Differ. Equ., 3:2 (2006), 93–110
  40. R. Temam, Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics, Appl. Math. Sci., 68, 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 1997, xxii+648 pp.
  41. Х. Трибель, Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы, Мир, М., 1980, 664 с.
  42. М. И. Вишик, С. В. Зелик, “Траекторный аттрактор нелинейной эллиптической системы в цилиндрической области”, Матем. сб., 187:12 (1996), 21–56
  43. S. Zelik, “Asymptotic regularity of solutions of a nonautonomous damped wave equation with a critical growth exponent”, Commun. Pure Appl. Anal., 3:4 (2004), 921–934
  44. S. Zelik, “Asymptotic regularity of solutions of singularly perturbed damped wave equations with supercritical nonlinearities”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 11:2-3 (2004), 351–392
  45. S. Zelik, “Strong uniform attractors for non-autonomous dissipative PDEs with non translation-compact external forces”, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 20:3 (2015), 781–810

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Savostianov A.K., Zelik S.V.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».