Etudes of the resolvent

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Based on the notion of the resolvent and on the Hilbert identities, this paper presents a number of classical results in the theory of differential operators and some of their applications to the theory of automorphic functions and number theory from a unified point of view. For instance, for the Sturm–Liouville operator there is a derivation of the Gelfand–Levitan trace formula, and for the one-dimensional Schrödinger operator a derivation of Faddeev's formula for the characteristic determinant and the Zakharov–Faddeev trace identities. Recent results on the spectral theory of a certain functional-difference operator arising in conformal field theory are then presented. The last section of the survey is devoted to the Laplace operator on a fundamental domain of a Fuchsian group of the first kind on the Lobachevsky plane. An algebraic scheme is given for proving analytic continuation of the integral kernel of the resolvent of the Laplace operator and the Eisenstein–Maass series. In conclusion there is a discussion of the relationship between the values of the Eisenstein–Maass series at Heegner points and the Dedekind zeta-functions of imaginary quadratic fields, and it is explained why pseudo-cusp forms for the case of the modular group do not provide any information about the zeros of the Riemann zeta-function.Bibliography: 50 titles.

About the authors

Leon Armenovich Takhtadzhyan

Euler International Mathematical Institute; Stony Brook University

Email: leontak@math.stonybrook.edu
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

References

  1. M. Aganagic, R. Dijkgraaf, A. Klemm, M. Mariño, C. Vafa, “Topological strings and integrable hierarchies”, Comm. Math. Phys., 261:2 (2006), 451–516
  2. Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман, Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2-е изд., Наука, М., 1966, 543 с.
  3. E. Bombieri, Pseudo-Laplacians: a special case, talk at the conference “Perspectives on the Riemann hypothesis” (Heilbronn Inst., 2018), 2018
  4. З. И. Боревич, И. Р. Шафаревич, Теория чисел, 3-е доп. изд., Наука, М., 1985, 504 с.
  5. В. С. Буслаев, Л. Д. Фаддеев, “О формулах следов для дифференциального сингулярного оператора Штурма–Лиувилля”, Докл. АН СССР, 132:1 (1960), 13–16
  6. P. Cartier, “Comment l'hypotèse de Riemann ne fut pas prouvee (extraits de deux lettres de P. Cartier à A. Weil, datees du 12 août et du 15 septembre 1979)”, Seminar on number theory (Paris, 1980/1981), Progr. Math., 22, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1982, 35–48
  7. Y. Colin de Verdière, “Pseudo-laplaciens. I”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 32:3 (1982), 275–286
  8. Y. Colin de Verdière, “Pseudo-laplaciens. II”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 33:2 (1983), 87–113
  9. M. Deuring, “Imaginäre quadratische Zahlkörper mit der Klassenzahl 1”, Math. Z., 37:1 (1933), 405–415
  10. Л. А. Дикий, “Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма–Лиувилля”, УМН, 13:3(81) (1958), 111–143
  11. W. Duke, “Hyperbolic distribution problems and half-integral weight Maass forms”, Invent. Math., 92:1 (1988), 73–90
  12. Л. Д. Фаддеев, “Обратная задача квантовой теории рассеяния”, УМН, 14:4(88) (1959), 57–119
  13. Л. Д. Фаддеев, “Свойства $S$-матрицы одномерного уравнения Шредингера”, Краевые задачи математической физики. 2, Сборник работ. Посвящается памяти Владимира Андреевича Стеклова в связи со столетием со дня его рождения, Тр. МИАН СССР, 73, Наука, М.–Л., 1964, 314–336
  14. Л. Д. Фаддеев, “Разложение по собственным функциям оператора Лапласа на фундаментальной области дискретной группы на плоскости Лобачевского”, Тр. ММО, 17, Изд-во Моск. ун-та, М., 1967, 323–350
  15. Л. Д. Фаддеев, “Обратная задача квантовой теории рассеяния. II”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем., 3, ВИНИТИ, М., 1974, 93–180
  16. L. Faddeev, “Modular double of a quantum group”, Conference Moshe Flato 1999 (Dijon, 1999), v. I, Math. Phys. Stud., 21, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000, 149–156
  17. J. D. Fay, “Fourier coefficients of the resolvent for a Fuchsian group”, J. Reine Angew. Math., 293/294 (1977), 143–203
  18. P. Garrett, Self-adjoint operators on automorphic forms, talk at the conference “Perspectives on the Riemann Hypothesis” (Heilbronn Inst., 2018), 2018,
  19. И. М. Гельфанд, Л. А. Дикий, “Асимптотика резольвенты штурм–лиувиллевских уравнений и алгебра уравнений Кортевега–де Фриза”, УМН, 30:5(185) (1975), 67–100
  20. И. М. Гельфанд, М. И. Граев, И. И. Пятецкий-Шапиро, Теория представлений и автоморфные функции, Обобщенные функции, 6, Наука, М., 1966, 512 с.
  21. И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан, “Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка”, Докл. АН СССР, 88:4 (1953), 593–596
  22. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Наука, М., 1965, 448 с.
  23. A. Grassi, Y. Hatsuda, M. Mariño, “Topological strings from quantum mechanics”, Ann. Henri Poincare, 17:11 (2016), 3177–3235
  24. H. Heilbronn, “On the class-number in imaginary quadratic fields”, Quart. J. Math. Oxford Ser., 5 (1934), 150–160
  25. D. A. Hejhal, “Some observations concerning eigenvalues of the Laplacian and Dirichlet $L$-series”, Recent progress in analytic number theory (Durham, 1979), v. 2, Academic Press, Inc., London–New York, 1981, 95–110
  26. D. A. Hejhal, The Selberg trace formula for $operatorname{PSL}(2,mathbb{R})$, v. 2, Lecture Notes in Math., 1001, Springer-Verlag, Berlin, 1983, viii+806 pp.
  27. H. Iwaniec, “Fourier coefficients of modular forms of half-integral weight”, Invent. Math., 87:2 (1987), 385–401
  28. Ф. Клейн, Лекции о развитии математики в XIX столетии, т. I, ГОНТИ, М.–Л., 1937, 432 с.
  29. С. Ленг, $operatorname{SL}_2(mathbb R)$, Мир, М., 1977, 430 pp.
  30. A. Laptev, L. Schimmer, L. A. Takhtajan, “Weyl type asymptotics and bounds for the eigenvalues of functional-difference operators for mirror curves”, Geom. Funct. Anal., 26:1 (2016), 288–305
  31. P. D. Lax, Functional analysis, Pure Appl. Math. (N. Y.), Wiley-Interscience, New York, 2002, xx+580 pp.
  32. П. Д. Лакс, Р. С. Филлипс, Теория рассеяния для автоморфных функций, Мир, М., 1979, 324 с.
  33. Б. М. Левитан, И. С. Саргсян, Введение в спектральную теорию. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы, Наука, М., 1970, 671 с.
  34. Ю. В. Линник, “Асимптотическое распределение приведенных бинарных квадратичных форм в связи с геометрией Лобачевского”, Избранные труды, т. 1, Наука, Л., 1979, 141–200
  35. В. А. Марченко, Операторы Штурма–Лиувилля и их приложения, Наукова Думка, Киев, 1977, 331 с.
  36. L. J. Mordell, “On the Riemann hypothesis and imaginary quadratic fields with a given class number”, J. London Math. Soc., 9:4 (1934), 289–298
  37. В. А. Садовничий, В. Е. Подольский, “Следы операторов”, УМН, 61:5(371) (2006), 89–156
  38. A. Selberg, “Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series”, J. Indian Math. Soc. (N. S.), 20 (1956), 47–87
  39. А. С. Шварц, “Эллиптические операторы в квантовой теории поля”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. матем., 17, ВИНИТИ, М., 1981, 113–173
  40. C. Siegel, “Über die Classenzahl quadratischer Zahlkörper”, Acta Arith., 1 (1935), 83–86
  41. Л. А. Тахтаджян, Квантовая механика для математиков, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика, М.–Ижевск, 2011, 496 с.
  42. Л. А. Тахтаджян, А. Ю. Алексеев, И. Я. Арефьева, М. А. Семенов-Тян-Шанский, Е. К. Склянин, Ф. А. Смирнов, С. Л. Шаташвили, “Научное наследие Л. Д. Фаддеева. Обзор работ”, УМН, 72:6(438) (2017), 3–112
  43. Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, “Спектральная теория одного функционально-разностного оператора конформной теории поля”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:2 (2015), 181–204
  44. А. Б. Венков, “Спектральная теория автоморфных функций”, Тр. МИАН СССР, 153 (1981), 3–171
  45. А. Б. Венков, В. Л. Калинин, Л. Д. Фаддеев, “Неарифметический вывод формулы следа Сельберга”, Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 37, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1973, 5–42
  46. И. М. Виноградов, “О среднем значении числа классов чисто коренных форм отрицательного определителя”, Сообщ. Харьк. матем. о-ва, 16 (1917), 10–38
  47. А. И. Виноградов, Л. А. Тахтаджян, “Об асимптотиках Линника–Скубенко”, Докл. АН СССР, 253:4 (1980), 777–780
  48. А. И. Виноградов, Л. А. Тахтаджян, “Аналоги формулы Виноградова–Гаусса в критической полосе”, Аналитическая теория чисел, математический анализ и их приложения, Сборник статей. Посвящается академику Ивану Матвеевичу Виноградову к его девяностолетию, Тр. МИАН СССР, 158, 1981, 45–68
  49. D. Zagier, “Eisenstein series and the Riemann zeta-function”, Automorphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979), Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math., 10, Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1981, 275–301
  50. В. Е. Захаров, Л. Д. Фаддеев, “Уравнение Кортевега–де Фриса – вполне интегрируемая гамильтонова система”, Функц. анализ и его прил., 5:4 (1971), 18–27

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Takhtadzhyan L.A.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).