Characterization of the function spaces associated with weighted Sobolev spaces of the first order on the real line

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A brief survey of results on the characterization of the spaces associated with given classes of function spaces is presented. It is shown that the situation differs in general for ideal and non-ideal spaces. In the second case the notion of associated space splits into two. In the main body of the text a complete description is given of the function spaces associated with weighted Sobolev spaces of the first order on the real line.Bibliography: 54 titles.

About the authors

Dmitrii Vladimirovich Prokhorov

Computer Centre of Far Eastern Branch RAS

Email: prohorov@as.khb.ru
Doctor of physico-mathematical sciences

Vladimir Dmitrievich Stepanov

Computer Centre of Far Eastern Branch RAS; Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: stepanov@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Elena Pavlovna Ushakova

V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences

Email: elenau@inbox.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. А. А. Беляев, А. А. Шкаликов, “Мультипликаторы в пространствах бесселевых потенциалов: случай индексов неотрицательной гладкости”, Матем. заметки, 102:5 (2017), 684–699
  2. А. А. Беляев, А. А. Шкаликов, “Мультипликаторы в пространствах бесселевых потенциалов: случай индексов гладкости разного знака”, Алгебра и анализ, 30:2 (2018), 76–96
  3. C. Bennett, R. Sharpley, Interpolation of operators, Pure Appl. Math., 129, Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988, xiv+469 pp.
  4. T. Chen, G. Sinnamon, “Generalized Hardy operators and normalizing measures”, J. Inequal. Appl., 7:6 (2002), 829–866
  5. B. Curgus, T. T. Read, “Discreteness of the spectrum of second-order differential operators and associated embeddings theorems”, J. Differential Equations, 184:2 (2002), 526–548
  6. G. Di Fratta, A. Fiorenza, “A direct approach to the duality of grand and small Lebesgue spaces”, Nonlinear Anal., 70:7 (2009), 2582–2592
  7. S. P. Eveson, V. D. Stepanov, E. P. Ushakova, “A duality principle in weighted Sobolev spaces on the real line”, Math. Nachr., 288:8-9 (2015), 877–897
  8. C. Fefferman, “Characterizations of bounded mean oscillation”, Bull. Amer. Math. Soc., 77:4 (1971), 587–588
  9. C. Fefferman, E. M. Stein, “$H^p$ spaces of several variables”, Acta Math., 129:3-4 (1972), 137–193
  10. A. Fiorenza, “Duality and reflexivity in grand Lebesgue spaces”, Collect. Math., 51:2 (2000), 131–148
  11. A. Gogatishvili, A. Kufner, L.-E. Persson, A. Wedestig, “An equivalence theorem for integral conditions related to Hardy's inequality”, Real Anal. Exchange, 29:2 (2003/2004), 867–880
  12. A. Gogatishvili, J. Lang, “The generalized Hardy operators with kernel and variable integral limits in Banach function spaces”, J. Inequal. Appl., 4:1 (1999), 1–16
  13. A. Gogatishvili, L. Pick, F. Soudsky, “Characterization of associate spaces of weighted Lorentz spaces with applications”, Studia Math., 224:1 (2014), 1–23
  14. А. Гогатишвили, В. Д. Степанов, “Редукционные теоремы для весовых интегральных неравенств на конусе монотонных функций”, УМН, 68:4(412) (2013), 3–68
  15. M. L. Gol'dman, H. P. Heinig, V. D. Stepanov, “On the principle of duality in Lorentz spaces”, Canad. J. Math., 48:5 (1996), 959–979
  16. М. Л. Гольдман, П. П. Забрейко, “Оптимальное восстановление банахова функционального пространства по конусу неотрицательных функций”, Функциональные пространства и смежные вопросы анализа, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Олега Владимировича Бесова, Тр. МИАН, 284, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2014, 142–156
  17. H. P. Heinig, G. Sinnamon, “Mapping properties of integral averaging operators”, Studia Math., 129:2 (1998), 157–177
  18. T. Iwaniec, C. Sbordone, “On the integrability of the Jacobian under minimal hypotheses”, Arch. Rational Mech. Anal., 119:2 (1992), 129–143
  19. П. Джейн, А. П. Сингх, М. Сингх, В. Д. Степанов, “Принцип двойственности Сойера в гранд-пространствах Лебега”, Докл. РАН, 478:2 (2018), 131–132
  20. P. Jain, A. P. Singh, M. Singh, V. D. Stepanov, “Sawyer's duality principle for grand Lebesgue spaces”, Math. Nachr., 292:4 (2019), 841–849
  21. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, 3-е изд., Наука, М., 1984, 752 с.
  22. A. Kufner, L. Maligranda, L.-E. Persson, The Hardy inequality. About its history and some related results, Vydavatelsky Servis, Plseň, 2007, 162 pp.
  23. A. Kufner, L.-E. Persson, N. Samko, Weighted inequalities of Hardy type, 2nd ed., World Sci. Publ. Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2017, xv+459 pp.
  24. A. Kufner, L.-E. Persson, N. Samko, Weighted inequalities of Hardy type, 2nd ed., World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2017, xx+459 pp.
  25. K. Lesnik, L. Maligranda, “Abstract Cesàro spaces. Duality”, J. Math. Anal. Appl., 424:2 (2015), 932–951
  26. В. Г. Мазья, “О некоторых интегральных неравенствах для функций многих переменных”, Проблемы матем. анализа, 3, Изд-во ЛГУ, Л., 1972, 33–68
  27. V. Maz'ya, “Conductor inequalities and criteria for Sobolev type two-weight imbeddings”, J. Comput. Appl. Math., 194:1 (2006), 94–114
  28. V. G. Maz'ya, I. E. Verbitsky, “Boundedness and compactness criteria for the one-dimensional Schrödinger operator”, Function spaces, interpolation theory and related topics (Lund, 2000), de Gruyter, Berlin, 2000, 369–382
  29. К. Т. Мынбаев, М. О. Отелбаев, Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов, Наука, M., 1988, 286 с.
  30. М. Г. Насырова, Е. П. Ушакова, “Операторы Харди–Стеклова и неравенства вложения типа Соболева”, Функциональные пространства, теория приближений, смежные разделы математического анализа, Сборник статей. К 110-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского, Тр. МИАН, 293, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2016, 236–262
  31. R. Oinarov, “On weighted norm inequalities with three weights”, J. London Math. Soc. (2), 48:1 (1993), 103–116
  32. R. Oinarov, “Boundedness of integral operators from weighted Sobolev space to weighted Lebesgue space”, Complex Var. Elliptic Equ., 56:10-11 (2011), 1021–1038
  33. Р. Ойнаров, “Ограниченность интегральных операторов в весовых пространствах Соболева”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:4 (2014), 207–223
  34. Р. Ойнаров, М. Отелбаев, “Критерий дискретности спектра общего оператора Штурма–Лиувилля и теоремы вложения, связанные с ним”, Дифференц. уравнения, 24:4 (1988), 584–591
  35. B. Opic, A. Kufner, Hardy-type inequalities, Pitman Res. Notes Math. Ser., 129, Longman Scientific & Technical, Harlow, 1990, xii+333 pp.
  36. L.-E. Persson, V. D. Stepanov, “Weighted integral inequalities with the geometric mean operator”, J. Inequal. Appl., 7:5 (2002), 727–746
  37. L.-E. Persson, V. Stepanov, P. Wall, “Some scales of equivalent weight characterizations of Hardy's inequality: the case $q
  38. D. V. Prokhorov, “On a weighted Sobolev space on real line”, Eurasian Math. J., 8:2 (2017), 22–30
  39. Д. В. Прохоров, В. Д. Степанов, “О неравенствах с мерами типа теорем вложения Соболева на открытых множествах действительной оси”, Сиб. матем. журн., 43:4 (2002), 864–878
  40. Д. В. Прохоров, В. Д. Степанов, “Весовые оценки операторов Римана–Лиувилля и приложения”, Функциональные пространства, приближения, дифференциальные уравнения, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Олега Владимировича Бесова, Тр. МИАН, 243, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2003, 289–312
  41. Д. В. Прохоров, В. Д. Степанов, Е. П. Ушакова, “О весовых пространствах Соболева на действительной оси”, Докл. РАН, 466:5 (2016), 522–525
  42. Д. В. Прохоров, В. Д. Степанов, Е. П. Ушакова, “Интегральные операторы Харди–Стеклова”, Совр. пробл. матем., 22, МИАН, М., 2016, 3–185
  43. D. V. Prokhorov, V. D. Stepanov, E. P. Ushakova, “On associate spaces of weighted Sobolev space on the real line”, Math. Nachr., 290:5-6 (2017), 890–912
  44. Д. В. Прохоров, В. Д. Степанов, Е. П. Ушакова, “Ассоциированные пространства к весовым пространствам Соболева на действительнй оси”, Докл. РАН, 481:5 (2018), 486–489
  45. E. Sawyer, “Boundedness of classical operators on classical Lorentz spaces”, Studia Math., 96:2 (1990), 145–158
  46. А. А. Шкаликов, Дж.-Г. Бак, “Мультипликаторы в дуальных соболевских пространствах и операторы Шрeдингера с потенциалами-распределениями”, Матем. заметки, 71:5 (2002), 643–651
  47. E. M. Stein, Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton Math. Ser., 43, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1993, xiv+695 pp.
  48. В. Д. Степанов, “Об оптимальных пространствах Банаха, содержащих весовой конус монотонных или квазивогнутых функций”, Матем. заметки, 98:6 (2015), 907–922
  49. В. Д. Степанов, Е. П. Ушакова, “Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования”, Функциональные пространства, гармонический анализ, дифференциальные уравнения, Сборник статей. К 95-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского, Тр. МИАН, 232, Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2001, 298–317
  50. В. Д. Степанов, Е. П. Ушакова, “Об операторе геометрического среднего с переменными пределами интегрирования”, Теория функций и нелинейные уравнения в частных производных, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Станислава Ивановича Похожаева, Тр. МИАН, 260, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2008, 264–288
  51. V. D. Stepanov, E. P. Ushakova, “Kernel operators with variable intervals of integration in Lebesgue spaces and applications”, Math. Inequal. Appl., 13:3 (2010), 449–510
  52. V. D. Stepanov, E. P. Ushakova, “On boundedness of a certain class of Hardy–Steklov type operators in Lebesgue spaces”, Banach J. Math. Anal., 4:1 (2010), 28–52
  53. В. Д. Степанов, Е. П. Ушакова, “Операторы Харди–Стеклова и принцип двойственности в весовых пространствах Соболева первого порядка на действительной оси”, Матем. заметки, 105:1 (2019), 108–122
  54. Е. П. Ушакова, “Критерии ограниченности оператора Харди–Стеклова, выраженные в терминах фарватер-функции”, Докл. РАН, 461:4 (2015), 398–399
  55. E. P. Ushakova, “Alternative boundedness characteristics for the Hardy–Steklov operator”, Eurasian Math. J., 8:2 (2017), 74–96

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Prokhorov D.V., Stepanov V.D., Ushakova E.P.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».