Cubillages of cyclic zonotopes

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A survey is given of recent results on fine zonotopal tilings by cubes (briefly, cubillages) of cyclic zonotopes. The main interest of this theory is that it is interrelated with the theory of higher Bruhat orders, as well as with the parallel theory of triangulations of cyclic polytopes and Tamari–Stasheff posets, used in investigations of the Kadomtsev–Petviashvili equations and higher Auslander–Reiten algebras.

About the authors

Vladimir Ivanovich Danilov

Central Economics and Mathematics Institute of the Russian Academy of Sciences

Email: vdanilov43@mail.ru

Aleksander Viktorovich Karzanov

Central Economics and Mathematics Institute of the Russian Academy of Sciences

Email: sasha@cs.isa.ru

Gleb Alekseevich Koshevoy

Institute for Information Transmission Problems, Russian Academy of Sciences; HSE University

Email: koshevoy@cemi.rssi.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. G. D. Bailey, Tilings of zonotopes: Discriminantal arrangements, oriented matroids, and enumeration, Thesis (Ph.D.), Minnesota Univ., 1997, 108 pp.
  2. A. Bj{ö}rner, M. {Las Vergnas}, B. Sturmfels, N. White, G. Ziegler, Oriented matroids, Encyclopedia Math. Appl., 46, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, 1999, xii+548 pp.
  3. N. Bourbaki, Elements de mathematique. Topologie algebrique. Ch. 1 à 4, Springer, Heidelberg, 2016, xv+498 pp.
  4. В. И. Данилов, А. В. Карзанов, Г. А. Кошевой, “Системы разделенных множеств и их геометрические модели”, УМН, 65:4(394) (2010), 67–152
  5. V. I. Danilov, A. V. Karzanov, G. A. Koshevoy, “Combined tilings and separated set-systems”, Selecta Math. (N. S.), 23:2 (2017), 1175–1203
  6. V. I. Danilov, A. V. Karzanov, G. A. Koshevoy, On interrelations between strongly, weakly and chord separated set-systems (a geometric approach), 2018, 30 pp.
  7. V. I. Danilov, A. V. Karzanov, G. A. Koshevoy, The weak separation in higher dimensions, 2019, 28 pp.
  8. В. И. Данилов, Г. А. Кошевой, “Массивы и комбинаторика таблиц Юнга”, УМН, 60:2(362) (2005), 79–142
  9. A. Dimakis, F. Müller-Hoissen, “KP solitons, higher Bruhat and Tamari orders”, Associahedra, Tamari lattices and related structures, Prog. Math. Phys., 299, Birkhäuser/Springer, Basel, 2012, 391–423
  10. P. H. Edelman, V. Reiner, “Free arrangements and rhombic tilings”, Discrete Comput. Geom, 15:3 (1996), 307–340
  11. S. Felsner, H. Weil, “A theorem on higher Bruhat orders”, Discrete Comput. Geom., 23:1 (2000), 121–127
  12. S. Felsner, G. M. Ziegler, “Zonotopes associated with higher Bruhat orders”, Discrete Math., 241:1-3 (2001), 301–312
  13. P. Galashin, “Plabic graphs and zonotopal tilings”, Proc. Lond. Math. Soc. (3), 117:4 (2018), 661–681
  14. P. Galashin, A. Postnikov, Purity and separation for oriented matroids, 2017, 84 pp.
  15. И. М. Гельфанд, В. В. Серганова, “Комбинаторные геометрии и страты тора на однородных компактных многообразиях”, УМН, 42:2(254) (1987), 107–134
  16. M. M. Kapranov, V. A. Voevodsky, “$2$-categories and Zamolodchikov tetrahedra equations”, Algebraic groups and their generalizations: quantum and infinite-dimensional methods (University Park, PA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math., 56, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, 177–259
  17. M. M. Kapranov, V. A. Voevodsky, “Combinatorial-geometric aspects of polycategory theory: pasting schemes and higher Bruhat orders (list of results)”, International category theory meeting (Bangor, 1989 and Cambridge, 1990), Cahiers Topologie Geom. Differentielle Categ., 32:1 (1991), 11–27
  18. R. Karpman, Y. Kodama, Triangulations and soliton graphs for totally positive Grassmannian, 2018, 40 pp.
  19. M. Las Vergnas, “Extensions ponctuelles compatibles d'une geometrie combinatoire”, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A-B, 286:21 (1978), A981–A984
  20. B. Leclerc, A. Zelevinsky, “Quasicommuting families of quantum Pl{ü}cker coordinates”, Kirillov's seminar on representation theory, Amer. Math. Soc. Trans. Ser. 2, 181, Adv. Math. Sci., 35, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, 85–108
  21. J. Lurie, Higher topos theory, Ann. of Math. Stud., 170, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 2009, xviii+925 pp.
  22. С. Маклейн, Категории для работающего математика, Физматлит, М., 2004, 352 с.
  23. Ю. И. Манин, В. В. Шехтман, “О высших порядках Брюа, связанных с симметрической группой”, Функц. анализ и его прил., 20:2 (1986), 74–75
  24. Yu. I. Manin, V. V. Schechtman, “Arrangements of hyperplanes, higher braid groups and higher Bruhat orders”, Algebraic number theory – in honour of K. Iwasawa, Adv. Stud. Pure Math., 17, Academic Press, Boston, MA, 1989, 289–308
  25. F. Müller-Hoissen, J. M. Pallo, J. Stasheff (eds.), Associahedra, Tamari lattices and related structures, Prog. Math. Phys., 299, Birkhäuser/Springer, Basel, 2012, xx+433 pp.
  26. S. Oppermann, H. Thomas, “Higher-dimensional cluster combinatorics and representation theory”, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), 14:6 (2012), 1679–1737
  27. J. Rambau, “Triangulations of cyclic polytopes and higher Bruhat orders”, Mathematika, 44:1 (1997), 162–194
  28. J. Rambau, V. Reiner, “A survey of the higher Stasheff–Tamari orders”, Associahedra, Tamari lattices and related structures, Prog. Math. Phys., 299, Birkhäuser/Springer, Basel, 2012, 351–390
  29. G. C. Shephard, “Combinatorial properties of associated zonotopes”, Canadian J. Math., 26:2 (1974), 302–321
  30. Р. Стенли, Перечислительная комбинаторика, Мир, М., 1990, 440 с.
  31. Р. Стенли, Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции, Мир, М., 2005, 767 с.
  32. H. Thomas, Maps between higher Bruhat orders and higher Stasheff–Tamari posets, Proceedings of the 15-th international conference on formal power series and algebraic combinatorics (Link{ö}ping, 2003), 2005, 12 pp., par
  33. В. А. Воеводский, М. М. Капранов, “Свободная $n$-категория, порожденная кубом, ориентированные матроиды и высшие порядки Брюа”, Функц. анализ и его прил., 25:1 (1991), 62–65
  34. G. M. Ziegler, “Higher Bruhat orders and cyclic hyperplane arrangements”, Topology, 32:2 (1993), 259–279
  35. Г. M. Циглер, Теория многогранников, МЦНМО, М., 2014, 568 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Danilov V.I., Karzanov A.V., Koshevoy G.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».