Circle problem and the spectrum of the Laplace operator on closed 2-manifolds

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In this survey the circle problem is treated in the broad sense, as the problem of the asymptotic properties of the quantity $P(x)$, the remainder term in the circle problem. A survey of recent results in this direction is presented. The main focus is on the behaviour of $P(x)$ on short intervals. Several conjectures on the local behaviour of $P(x)$ which lead to a solution of the circle problem are presented. A strong universality conjecture is stated which links the behaviour of $P(x)$ with the behaviour of the second term in Weyl's formula for the Laplace operator on a closed Riemannian 2-manifold with integrable geodesic flow.Bibliography: 43 titles.

About the authors

Dmitrii Aleksandrovich Popov

Lomonosov Moscow State University, Belozersky Research Institute of Physico-Chemical Biology

Doctor of physico-mathematical sciences, Senior Researcher

References

  1. Kai-Man Tsang, “Recent progress on the Dirichlet divisor problem and the mean square of the Riemann zeta-function”, Sci. China Math., 53:9 (2010), 2561–2572
  2. А. Бeкер, Ф. Штайнер, “Квантовый хаос и квантовая эргодичность”, Квантовый хаос, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ин-т компьютерных исследований, М.–Ижевск, 2008, 60–101
  3. P. Sarnak, “Arithmetic quantum chaos”, The Shur lectures (1992), Israel Math. Conf. Proc., 8, Bar-Ilan Univ., Ramat-Gan, 1995, 183–236
  4. А. А. Карацуба, Основы аналитической теории чисел, 2-е изд., Наука, М., 1983, 240 с.
  5. S. W. Graham, G. Kolesnik, Van der Corput's method of exponential sums, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 126, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1991, vi+120 pp.
  6. Г. Ф. Вороной, “О разложении посредством цилиндрических функций двойных сумм $sum f(pm^2+2qmn+rn^2)$, где $pm^2+2qmn+rn^2$ – положительная форма с целыми коэффициентами”, Собрание сочинений, т. 2, Изд-во АН УССР, Киев, 1952, 166–170
  7. G. H. Hardy, “On the expression of a number as the sum of two squares”, Quart. J. Pure Appl. Math., 46 (1915), 263–283
  8. E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie, v. 2, Hirzel, Leipzig, 1927, vii+308 pp.
  9. G. H. Hardy, M. Reisz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Math. and Math. Phys., 18, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1915, 78 pp.
  10. E. Bombieri, H. Iwaniec, “On the order of $zeta(frac{1}{2}+it)$”, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 13:3 (1986), 449–472
  11. H. Iwaniec, C. J. Mozzochi, “On the divisor and circle problems”, J. Number Theory, 29:1 (1988), 60–93
  12. M. N. Huxley, Area, lattice points, and exponential sums, London Math. Soc. Monogr. (N. S.), 13, The Clarendon Press, Oxford Univ. Press, New York, 1996, xii+494 pp.
  13. M. N. Huxley, “Exponential sums and lattice points. II”, Proc. London Math. Soc. (3), 66:2 (1993), 279–301
  14. M. N. Huxley, “Exponential sums and lattice points. III”, Proc. London Math. Soc. (3), 87:3 (2003), 591–609
  15. J. Bourgain, N. Watt, Mean square of zeta function, circle problem and divisor problem revisited, 2017, 23 pp.
  16. K. S. Gangadharan, “Two classical lattice point problems”, Proc. Cambridge Philos. Soc., 57:4 (1961), 699–721
  17. J. L. Hafner, “New omega theorems for two classical lattice point problems”, Invent. Math., 63:2 (1981), 181–186
  18. K. Soundararajan, “Omega results for the divisor and circle problems”, Int. Math. Res. Not., 2003:36 (2003), 1987–1998
  19. A. Ivic, “Large values of the error term in the divisor problem”, Invent. Math., 71:3 (1983), 513–520
  20. D. R. Heath-Brown, “The distribution and moments of the error term in the Dirichlet divisor problem”, Acta Arith., 60:4 (1992), 389–415
  21. E. Preissmann, “Sur la moyenne quadratique du terme de reste du problème du cercle”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 306:4 (1988), 151–154
  22. W. G. Nowak, “Lattice points in a circle: an improved mean-square asymptotics”, Acta Arith., 113:3 (2004), 259–272
  23. Kai-Man Tsang, “Higher-power moments of $Delta(x)$, $E(t)$ and $P(x)$”, Proc. London Math. Soc. (3), 65:1 (1992), 65–84
  24. Wenguang Zhai, “On higher-power moments of $Delta(x)$. II”, Acta Arith., 114:1 (2004), 35–54
  25. W. G. Nowak, “On the divisor problem: moments of $Delta(x)$ over short intervals”, Acta Arith., 109:4 (2003), 329–341
  26. Yuk-Kam Lau, Kai-Man Tsang, “Moments over short intervals”, Arch. Math. (Basel), 84:3 (2005), 249–257
  27. A. Ivic, P. Sargos, “On the higher moments of the error term in divisor problem”, Illinois J. Math., 51:2 (2007), 353–377
  28. Д. А. Попов, “Оценки и поведение величин $P(x)$, $Delta(x)$ на коротких интервалах”, Изв. РАН. Сер. матем., 80:6 (2016), 230–246
  29. M. Jutila, “On the divisor problem for short intervals”, Ann. Univ. Turku. Ser. A I, 186 (1984), 23–30
  30. A. Ivic, “On the divisor function and the Riemann zeta-function in short intervals”, Ramanujan J., 19:2 (2009), 207–224
  31. D. R. Heath-Brown, K.-M. Tsang, “Sign changes of $E(T)$, $Delta(x)$ and $P(x)$”, J. Number Theory, 49 (1994), 73–83
  32. A. Ivic, Wenguang Zhai, “On the Dirichlet divisor problem in short intervals”, Ramanujan J., 33:3 (2014), 447–465
  33. P. M. Bleher, Zheming Cheng, F. J. Dyson, J. L. Lebowitz, “Distribution of the error term for the number of lattice points inside a shifted circle”, Comm. Math. Phys., 154:3 (1993), 433–469
  34. Yuk-Kam Lau, “On the tails of the limiting distribution function of the error term in the Dirichlet divisor problem”, Acta Arith., 100:4 (2001), 329–337
  35. J. Steinig, “The changes of sign of certain arithmetical error-terms”, Comment. Math. Helv., 44 (1969), 385–400
  36. A. Ivic, “Large values of certain number-theoretic error term”, Acta Arith., 56:2 (1990), 135–159
  37. В. И. Арнольд, А. Авец, Эргодические проблемы классической механики, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.–Ижевск, 1999, 284 с.
  38. М. А. Мета, Случайные матрицы, МЦНМО, М., 2012, 648 с.
  39. P. M. Bleher, “Distribution of energy levels of a quantum free particle on a surface of revolution”, Duke Math. J., 74:1 (1994), 45–93
  40. Д. В. Косыгин, А. А. Минасов, Я. Г. Синай, “Статистические свойства спектров операторов Лапласа–Бельтрами на поверхностях Лиувилля”, УМН, 48:4(292) (1993), 3–130
  41. P. M. Bleher, D. V. Kosygin, Ya. G. Sinai, “Distribution of energy levels of quantum free particle on the Liouville surface and trace formulae”, Comm. Math. Phys., 170:2 (1995), 375–403
  42. Д. А. Попов, “О втором члене в формуле Вейля для спектра оператора Лапласа на двумерном торе и числе целых точек в спектральных областях”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:5 (2011), 139–176
  43. А. Б. Венков, “Спектральная теория автоморфных функций, дзета-функция Сельберга и некоторые проблемы аналитической теории чисел и математической физики”, УМН, 34:3(207) (1979), 69–135

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2019 Popov D.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».