Отправить статью по E-mail 
Локализация собственных колебаний тонких упругих прокладок
- Авторы: Назаров С.А.1
-
Учреждения:
- Институт проблем машиноведения РАН
- Выпуск: Том 88, № 1 (2024)
- Страницы: 104-138
- Раздел: Статьи
- URL: https://journals.rcsi.science/0032-8235/article/view/260218
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0032823524010083
- EDN: https://elibrary.ru/YULWJG
- ID: 260218
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Аннотация
Изучены собственные колебания тонких изотропных однородных пластин постоянной и переменной толщины, основания которых жестко защемлены. Показано, что лишь для пластины постоянной толщины с дополнительно зафиксированной боковой поверхностью двумерная модель — спектральная задача Дирихле для двумерной системы Ламе с измененным коэффициентом Пуассона — правильно описывает частоты собственных колебаний тонкого трехмерного тела. В остальных случаях асимптотический анализ предоставляет иные модели пониженной размерности, в частности разнообразные обыкновенные дифференциальные уравнения, а для соответствующих мод собственных колебаний характерна концентрация около всей боковой поверхности или некоторых точек на границе. При неплоских основаниях локализация собственных мод происходит около точек максимума толщины пластины и описывается обобщенными уравнениями гармонического осциллятора. Обсуждается случай несжимаемого изотропного материала пластины.
Полный текст
Об авторах
С. А. Назаров
Институт проблем машиноведения РАН
Автор, ответственный за переписку.
Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
Россия, Санкт-Петербург
Список литературы
- Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
- Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.
- Шойхет Б.А. Об асимптотически точных уравнениях тонких плит сложной структуры // ПММ. 1973. Т. 37. № 5. С. 913–924.
- Ciarlet P.G. Mathematical Elasticity, II: Theory of Plates. Studies in Mathematics and Its Applications. V. 27. Amsterdam: SIAM, 1997.
- Le Dret H. Problemes variationnels dans les multi-domains mod´elisation des jonctions et applications. Paris: Masson, 1991.
- Назаров С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Науч. книга, 2002.
- Panasenko G. Multi-Scale Modelling for Structures and Composites. Dordrecht: Springer, 2005.
- Назаров С.А. Двумерные асимптотические модели тонких цилиндрических упругих прокладок // Дифф. ур-я. 2022. Т. 58. № 12. С. 1666–1682.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Наука, 1974.
- Molchanov S., Vainberg B. Scattering solutions in networks of thin fibers: small diameter asymptotics // Comm. Math. Phys. 2007. V. 273. № 2. P. 533–559.
- Назаров С.А. Пороговые резонансы и виртуальные уровни в спектре цилиндрических и периодических волноводов // Изв. РАН. Сер. матем. 2020. Т. 84. № 6. С. 73–130.
- Камоцкий И.В., Назаров С.А. О собственных функциях, локализованных около кромки тонкой области // в сб: Пробл. матем. анализа. Вып. 19. Новосибирск: Науч. книга, 1999. С. 105–148.
- Назаров С.А. Дискретный спектр коленчатых квантовых и упругих волноводов // ЖВММФ. 2016. Т. 56. № 5. C. 879–895.
- Назаров С.А. Собственные колебания упругой полуполосы при различном расположении участков фиксации ее краев // Акуст. ж. 2023. Т. 69. № 4. С. 338–409.
- Назаров С.А. Упругие волны, захваченные полубесконечной полосой с защемленными боковыми сторонами и искривленным или изломанным торцом // ПММ. 2023. Т. 87. № 2. С. 265–279.
- Rellich F. Über das asymptotische Verhalten der Lösungen von in unendlichen Gebieten // Jahresber. Dtsch. Math. Ver. 1943. Bd. 53. Abt. 1. S. 57–65.
- Ван Дайк М.Д. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967. 310 c.
- Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
- Mazja W.G., Nasarow S.A., Plamenewski B.A. Asymptotische Theorie elliptischer Rand— wertaufgaben in singulär gestörten Gebieten. 1 & 2 Berlin: Akademie, 1991.
- Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1980.
- Leis R. Initial boundary value problems of mathematical physics. Stuttgart: B.G. Teubner, 1986.
- Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. Т. 12. № 5. С. 3–122.
- Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Оценки в Lp и в классах Гельдера и принцип максимума Миранда–Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе // Math. Nachr. 1977. Bd. 77. S. 25–82.
- Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of narrow periodic waveguides // Russ. J. Math. Phys. 2008. V. 15. № 2. P. 238–242.
- Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of the Dirichlet Laplacian in a narrow strip // Israel J. Math. 2009. V. 170. P. 337‒354.
- Borisov D., Freitas P. Singular asymptotic expansions for Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions on thin planar domains // Ann. Inst. Henri Poincaré. Anal. Non Linèaire. 2009. V. 26. № 2. P. 547‒560.
- Borisov D., Freitas P. Asymptotics of Dirichlet eigenvalues and eigenfunctions of the Laplacian on thin domains in Rd // J. Funct. Anal. 2010. V. 258. № 3. P. 893‒912.
- Назаров С.А. Околовершинная локализация собственных функций задачи Дирихле в тонких многогранниках // Сиб. матем. ж. 2013. Т. 54. № 3. С. 655–672.
- Nazarov S.A., Perez E., Taskinen J. Localization effect for Dirichlet eigenfunctions in thin non-smooth domains // Trans. Amer. Math. Soc. 2016. V. 368. № 7. P. 4787–4829.
- Gómez D., Nazarov S.A., Pérez-Martinez M.-E. Localization effects for Dirichlet problems in domains surrounded by thin stiff and heavy bands // J. Diff. Eqns. 2021. V. 270. P. 1160–1195.
- Назаров С.А. Структура решений эллиптических краевых задач в тонких областях // Вестн. ЛГУ. Сер. 1. 1982. Вып. 2 (№ 7). С. 65–68.
- Grieser D. Spectra of graph neighborhoods and scattering // Proc. London Math. Soc. 2008. V. 97. № 3. P. 718–752.
- Назаров С.А. Общая схема осреднения самосопряженных эллиптических систем в многомерных областях, в том числе тонких // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7. № 5. С. 1–92.
- Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions II // Commun. on Pure&Appl. Math. 1962. V. 17. № 1. P.3–92.
- Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматгиз, 1961.
- Pichugin A.V., Rogerson G.A. A two-dimensional model for extensional motion of a pre-stressed incompressible elastic layer near cut-off frequencies // IMA J. Appl. Math. 2001. V. 66. P. 357–385.
- Pichugin A.V., Rogerson G.A. An asymptotic membrane-like theory for long-wave motion in a pre-stressed elastic plate // Proc. R. Soc. London A. 2002. V. 458. P. 1447–1468.
- Kaplunov Y.D., Nolde Y.V. Long-wave vibrations of a nearly incompressible isotropic plate with fixed faces // Quart. J. Mech. Appl. Math. 2002. V. 55. № 3. P. 345–356.
Дополнительные файлы
Доп. файлы
Действие
1.
JATS XML
2.
Рис. 1. Поперечные сечения пластин переменной (а) и постоянной толщины (б).
Скачать (47KB)
3.
Рис. 2. Полубесконечная упругая полоса, служащая для описания явления пограничного слоя.
Скачать (30KB)
4.
Рис. 3. Круглая пластина с вырезанными кругами (а), яйцевидная область (б), эллипс (в), эллиптическое кольцо (г). Точки глобальных и локальных максимумов и минимумов кривизны указаны метками ● и ○ соответственно.
Скачать (76KB)
5.
Рис. 4. Составной контур — пара полуокружностей и пара прямых отрезков (а). Угловые точки на контуре (б), точки скачков кривизны контура (а) указаны меткой ●.
Скачать (41KB)
6.
Рис. 5. Пластины с закругленной поверхностью (а), выступающая за кромки штампов, обозначенных полужирными линиями (б), полуполоса, служащая для описания пограничного слоя (в).
Скачать (46KB)
