On Forced Oscillations in a Relay System with Hysteresis

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Исследуется явление, связанное с захватом колебаний релейной системы внешним возбуждением (вынужденная синхронизация), которое проявляется в возникновении периодических движений, близких к «пачечной» ритмической активности нейронов, когда пакеты быстрых колебаний перемежаются с интервалами «молчания». Для изучения такого явления введено отображение окружности на себя, которое в зависимости от параметров может быть диффеоморфизмом или разрывным («gap map»). Вобоих случаях отображение демонстрирует так называемую бифуркационную структуру «добавления периода» («period-adding»). Выявлено, что число пачек на периоде периодического движения определяется его числом вращения, а длина интервалов между пачками – границами поглощающей области. Изменение числа импульсов в пачке происходит через бифуркацию «граничного столкновения» («border collision»).

Full Text

Restricted Access

References

  1. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972.
  2. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.
  3. Гаушус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований. М.: Наука, 1976.
  4. Hale J.K., Ko¸ cak H. Dynamics and Bifurcations. New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1996.
  5. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981.
  6. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правлй частью. М.: Наука, 1985.
  7. Arnold V.I. Small denominators. I. Mappings of the circumference onto itself // Am. Math. Soc. Transl. Ser. II. 1965. Vol. 46. P. 213–284.
  8. Arnold V.I. Cardiac arrhythmias and circle mappings // Chaos. 1991. Vol. 1. No. 1. P. 20–24.
  9. Glass L. Cardiac arrhythmias and circle maps-A classical problem // Chaos. 1991. Vol. 1. No. 1. P. 13–19.
  10. Keener J.P. On cardiac arrythmias: AV conduction block // J. Math. Biol. 1981. Vol. 12. P. 215–225.
  11. Borb´ely A.A., Daan S., Wirz-Justice A., Deboer T. The two-process model of sleep regulation: a reappraisal // J. Sleep Res. 2016. Vol. 25. P. 131–143.
  12. Bailey M.P., Derks G., Skeldon A.C. Circle maps with gaps: Understanding the dynamics of the two-process model for sleep-wake regulation // Eur. J. Appl. Math. 2018. Vol. 29. P. 845–868.
  13. Derks G., Glendinning P.A., Skeldon A.C. Creation of discontinuities in circle maps // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 2021. Vol. 477. P. 20200872.
  14. Sayli M., Skeldon A.C., Thul R., Nicks R., Coombes S. ¸ The two-process model for sleep-wake regulation: A nonsmooth dynamics perspective // Physica D. 2023. Vol. 444. P. 133595.
  15. Bressloff P.C., Stark J. Neuronal dynamics based on discontinuous circle maps // Phys. Lett. A. 1990. Vol. 150. No. 3,4. P. 187–195.
  16. Coombes S., Thul R., Wedgwood K.C.A. Nonsmooth dynamics in spiking neuron // Physica D. 2012. Vol. 241. P. 2042–2057.
  17. Rulkov N.F. Modeling of spiking-bursting neural behavior using two-dimensional map // Physical Review E. 2002. Vol. 65. No. 4. P. 041922.
  18. Izhikevich E.M. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 2007.
  19. Дмитричев А.С., Касаткин Д.В., Клиньшов В.В., Кириллов С.Ю., Масленников О.В., Щапин Д.С., Некоркин В.И. Нелинейные динамические модели нейронов: Обзор // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2018. Т. 26. № 4–5. С. 5–58.
  20. Shilnikov A.L., Rulkov N.F. Subthreshold oscillations in a map-based neuron model // Phys. Lett. A. 2004. Vol. 328. P. 177–184.
  21. Courbage M., Nekorkin V.I., Vdovin L.V. Chaotic oscillations in a map-based model of neural activity // Chaos. 2007. Vol. 17. No. 4. P. 043109.
  22. Zhusubaliyev Zh.T., Avrutin V., Rubanov V.G., Bushuev D.A. Complex dynamics of a vibration machine caused by a relay feedback control // Physica D. 2021. Vol. 420. P. 32870.
  23. Bi Q.S., Chen X.K., Kurths J., Zhang Zh. Nonlinear behaviors as well as the mechanism in a piecewise-linear dynamical system with two time scales // Nonlinear Dynamics. 2016. Vol. 85. P. 2233–2245.
  24. Bi Q.S., Zhang Zh. Bursting phenomena as well as the bifurcation mechanism in controlled Lorenz oscillator with two time scales // Phys. Lett. A. 2011. Vol. 375. P. 1183–1190.
  25. Turaev D.V., Shilnikov L.P. Blue sky catastrophes // Dokl. Math. 1995. No. 51. P. 404–407.
  26. Avrutin V., Gardini L., Sushko I., Tramontana F. Continuous and Discontinuous Piecewise-Smooth One-Dimensional Maps: Invariant Sets and Bifurcation Structures. New Jersey, London, Singapore, Hong Kong: World Scientific, 2019.
  27. Zhusubaliyev Zh.T., Avrutin V., Kucherov A.S., Haroun R., El Aroudi A. Period adding with symmetry breaking/recovering in a power inverter with hysteresis control // Physica D. 2023. Vol. 444. P. 133600.
  28. Nordmark A. Non-periodic motion caused by grazing incidence in an impact oscillator // J. Sound Vibrat. 1991. Vol. 145. No. 2. P. 279–297.
  29. Chin W., Ott E., Nusse H. E., Grebogi C. Grazing bifurcations in impact oscillators // Physical Review E. 1994. Vol. 50. No. 6. P. 4427–4444.
  30. Di Bernardo M., Feigin M.I., Hogan S.J., Homer M.E. Local Analysis of C-bifurcations in n-Dimensional Piecewise-Smooth Dynamical Systems // Chaos, Solitons and Fractals. 1999. Vol. 19. No. 11. P. 1881–1908.
  31. Di Bernardo M., Budd C.J., Champneys A.R., Kowalczyk P. Piecewise-Smooth Dynamical Systems: Theory and Applications. London: Springer-Verlag, 2008.
  32. Keener J.P. Chaotic behavior in piecewise continuous difference equations // Trans. Am. Math. Soc. 1980. Vol. 261. No. 2. P. 589–604.
  33. Kaneko K. On the period-adding phenomena at the frequency locking in a onedimensional mapping // Prog. Theor. Phys. 1982. Vol. 68. No. 2. P. 669–672.
  34. De Melo W., Van Strien S. One-Dimensional Dynamics. New York: Springer, 1993.
  35. Dudkowski D., Czolczy´ nski K., Kapitaniak T. Multistability and synchronization: The co-existence of synchronous patterns in coupled pendula // Mechanical Systems and Signal Processing. 2022. Vol. 16. P. 108446.
  36. Zhen Su Zh., Kurths J., Liu Y., Yanchuk S. Extreme multistability in symmetrically coupled clocks // Chaos. 2023. Vol. 33. P. 083157.
  37. Kuznetsov N., Mokaev T., Ponomarenko V., Seleznev E., Stankevich N., Chua L. Hidden attractors in Chua circuit: mathematical theory meets physical experiments // Nonlinear Dynamics. 2023. Vol. 111. P. 5859–5887.
  38. Zhusubalyev Zh.T., Mosekilde E. Multistability and hidden attractors in a multilevel DC/DC converter // Math. Comput. Simulat. 2015. Vol. 109. P. 32–45.

Copyright (c) 2024 The Russian Academy of Sciences

This website uses cookies

You consent to our cookies if you continue to use our website.

About Cookies