Equilibrium figures of two liquid masses with synchronous rotation. Dynamics of a double asteroid (190166) 2005 UP156

1. Введение

До недавнего времени среди множества двойных астероидов не было известно ни одной пары, которая: i) обладала бы двойным синхронным вращением, и при этом, ii) оба компонента имели бы одинаковые массы и размеры. Так как приливные силы обратно пропорциональны кубу расстояний, приливные захваты следует искать среди пар близких друг к другу астероидов. В Солнечной системе хорошо известны системы карликовых планет с двойным синхронным вращением (Плутон-Харон [1], Эрида-Дисномия [2]), однако второй пункт для них не выполняется, так как массы компонентов заметно различаются. Есть немало примеров двойных астероидов c полным синхронным вращением как в классическом поясе [3$–$6], так и в поясе Койпера, см., например, статью [7] и цитируемую там литературу, но и в этих системах условие (ii) не выполняется.

Тем любопытнее тот факт, что в 2005 г. одна пара астероидов с синхронным вращением и примерно одинаковыми массами и фигурами обоих компонентов была обнаружена [8]. Этой уникальной паре астероидов, вызвавшей большой интерес у исследователей [9, 10], был присвоен номер (190166) 2005 UP156. Доплеровские изображения двойного астероида (190166) 2005 UP156 были получены на радиотелескопе Аресибо. Оба компонента этой пары имеют вытянутую форму, почти одинаковые размеры и их большие оси предположительно находятся на одной линии.

Происхождение и эволюция астероида (190166) 2005 UP156 представляет большой интерес, но не менее важной является и задача о фигурах равновесия астероидов в этой паре. Уже сам факт существования двойного астероида (190166) 2005 UP156 позволил поставить, а затем и решить в конечном аналитическом виде сложную задачу о фигурах равновесия астероидов, находящихся в состоянии тесного приливного взаимозахвата. Здесь кроме собственной гравитации и центробежных сил следует учитывать, хотя бы в приливном приближении, и притяжение от второго эллипсоидального астероида (рис. 1). Ранее задачу с приливным захватом небесных тел в рамках проблемы Роша рассматривал астроном Д. Дарвин, однако более детально и в конкретной математической форме это сделал Чандрасекар [11].

Рис. 1 Сечения фигур двойного астероида. Оба тела имеют конгруэнтную эллипсоидальную форму и одинаковые массы, $a_1$ и $a_3$ — полуоси фигуры. Астероиды обращаются вокруг точки $O$ и расстояние между центрами масс $O_1^{\text{'}}{O}^{\text{'}}$ равно $D.$

В данной работе мы продолжаем изучать фигуры равновесия астероидов в синхронной паре на примере двойного астероида (190166) 2005 UP156. Наш метод решения уравнений гидродинамического равновесия несколько отличается от подхода Чандрасекара [11]. Акцент у нас делается на решении гидродинамических уравнений равновесия методом уровенных поверхностей. В разделе 2 дана постановка задачи, выводятся основные уравнения равновесия и аналитико-численным методом находится пространственная форма обоих трехосных астероидов. В разделе 3 данный метод применяется для изучения двойного астероида (190166) 2005 UP156. В ходе исследований было обнаружено, что при тесном приливном взаимозахвате спиновое вращение эллипсоидальных фигур равновесия может происходить не вокруг малых, как это обычно предполагается, а вокруг средних осей эллипсоидов. В разделе 4.1 обсуждаются возможные физические причины такого вращения астероидов. В разделе 4.2 обоснован вывод о том, что при известных на сегодня параметрах, система двух астероидов (190166) 2005 UP156 является неравновесной.

2. Постановка задачи и вывод основных уравнений равновесия

Согласно наблюдениям [10], астероиды пары (190166) 2005 UP156 имеют примерно одинаковые массы и конгруэнтную (одинаковую) вытянутую геометрическую форму, см. рис. 1.

Астероиды этой пары находятся достаточно близко друг к другу, и приливные горбы, которые один астероид порождает на другом, остаются стационарными во вращающейся системе отсчета. В сочетании с самогравитацией и центробежной силой, приливные силы формируют фигуру равновесия тела. Большие полуоси фигур равновесия лежат примерно на одной линии, и астероиды всегда смотрят друг на друга одними заостренными концами. Период осевого и орбитального вращения астероидов одинаковый и равен $T_{\text{rot}}={40}^{\text{h}}.542$ [10].

Рассмотрим фигуры равновесия астероидов в этой паре, полагая, что оба астероида имеют одинаковую эллипсоидальную форму

 $\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+\frac{x_3^2}{a_3^2}=\mathrm{1,}$          (1)

и массы их одинаковы: M₁ = M₂ = M. Вращение (спиновое и орбитальное) происходит с одинаковой угловой скоростью Ω вокруг осей с индексом 3. Введем две системы прямоугольных декартовых координат. Систему Ox₁x₂x₃ с началом в центре масс первого (левого) тела ориентируем так, чтобы ось ${\text{Ox}}_1$ была направлена в центр второго тела, а ось ${\text{Ox}}_3$ направлена параллельно оси вращения Ω. Начало второй системы координат Oʹxʹ₁xʹ₂xʹ₃ совместим с центром масс второго (правого) астероида, ее оси будут ориентированы также, как и оси Ox₁x₂x₃ относительно первой массы. Обе системы координат связаны соотношениями

 $x_1+{x^{\prime }}_1=D,x_2=-{x^{\prime }}_2,x_3={x^{\prime }}_3$.  (2)

Во вращающейся с угловой скоростью Ω системе отсчета баланс сил для элементов массы первого тела описывается уравнением

 $\frac{dp}{d{x}_i}=\rho \frac{d}{d{x}_i}\left.\left\{{\phi }^{\text{'}}+\right.\phi +\frac{{\Omega }^2}{2}\left[{\left(x_1-\frac{D}{2}\right)}^2+x_2^2\right]\right\}$  (3)

Здесь член  есть потенциал центробежных сил, действующих на пробную точку при вращении астероида относительно центра масс. В (3) входит также ρ $—$ плотность, которую считаем постоянной, $p\left(x\right)$ $—$ давление, $\phi \left(x\right)$ $—$ потенциал на внутреннюю точку первого тела от него самого 

 $\begin{array}{l}\phi \left(x_i\right)=\pi G\rho \left(I-A_1{x}_1^2-A_2{x}_2^2-A_3{x}_3^2\right),\\ A_i=a_1{a}_2{a}_3{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{du}{\left(a_i^2+u\right)\Delta \left(u\right)}},\Delta \left(u\right)=\sqrt{\left(a_1^2+u\right)\left(a_2^2+u\right)\left(a_3^2+u\right)}.\end{array}$                                    (4)

Член ${\phi }^{\prime }\left(x\right)$ в формуле (3) есть потенциал на пробную точку $x_i$ от второго (внешнего) тела. В интегральном виде этот внешний потенциал однородного трехосного эллипсоида, записанный в системе координат Oʹxʹ₁xʹ₂xʹ₃, дается формулой

${\phi }^{\prime }\left(x_i\right)=\pi G\rho a_1{a}_2{a}_3{\displaystyle \underset{\lambda }{\overset{\infty }{\int }}\left(1-\frac{{x^{\prime }}_1^2}{a_1^2+u}-\frac{{x^{\prime }}_2^2}{a_2^2+u}-\frac{{x^{\prime }}_3^2}{a_3^2+u}\right)}\frac{du}{\Delta \left(u\right)}.$ (5)

Здесь $\lambda$ $—$ эллипсоидальная координата пробной точки, являющаяся наибольшим (для внешней точки $—$ положительным) корнем кубического уравнения

 $\frac{{x^{\prime }}_1^2}{a_1^2+\lambda }+\frac{{x^{\prime }}_2^2}{a_2^2+\lambda }+\frac{{x^{\prime }}_3^2}{a_3^2+\lambda }=\mathrm{1,}$    (6)

а ∆(u) дана в (4).

В данной задаче внешний потенциал на точки левого эллипсоида будем учитывать в приливном приближении, и с требуемой точностью (в квадратичном приближении) запишем

 ${\phi }^{\prime }\left({x^{\prime }}_1,{x^{\prime }}_2,{x^{\prime }}_3\right)\approx {\phi }^{\prime }\left(D\mathrm{,0,0}\right)+(x_1-D){\left.\frac{\partial {\phi }^{\prime }}{\partial {x^{\prime }}_1}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}+\frac{1}{2}{(x_1-D)}^2{\left.\frac{{\partial }^2{\phi }^{\prime }}{\partial {x^{\prime }}^2{}_1}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}+\frac{1}{2}{x}_2^2{\left.\frac{{\partial }^2{\phi }^{\prime }}{\partial {x^{\prime }}^2{}_2}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}+\frac{1}{2}{x}_3^2{\left.\frac{{\partial }^2{\phi }^{\prime }}{\partial {x^{\prime }}^2{}_3}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}$ . (7)

Подставляя этот приливный потенциал ${\phi }^{\prime }\left(x_1^{\text{'}},x_2^{\text{'}},x_3^{\text{'}}\right)$ в уравнение равновесия (3) и вновь учитывая соотношения между координатами (2), получим

 $\frac{\partial p}{\partial x_i}=\rho \frac{\partial }{\partial x_i}\left\{\left\{\phi +\frac{{\Omega }^2}{2}\left(x_1^2+x_2^2\right)+\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{j=1}^3{x}_j^2{\left.\frac{{\partial }^2{\phi }^{\prime }}{\partial {x^{\prime }}^2{}_2}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}}\right.-x_1\left[{\left.\frac{\partial {\phi }^{\prime }}{\partial {x^{\prime }}_1}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}+\frac{{\Omega }^2}{2}D\right]\right\},$    (8)

Так как нас интересуют силы, далее потенциал определим с точностью до постоянной, поэтому постоянный член  в (8) был сразу отброшен.

Чтобы пара вращающихся гравитирующих астероидов находилась в относительном равновесии, расстояние между их центрами должно оставаться неизменным, поэтому угловая скорость вращения будет удовлетворять уравнению

 ${\left.{\Omega }^2=-\frac{2}{D}\frac{\partial {\phi }^{\prime }}{\partial {x^{\prime }}_1}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}.$       (9)

Поясним: только при выполнении условия (9) выражение в квадратных скобках в правой части (8) обратится в нуль и, что важно, линейный член $x_1$ в уравнении равновесия исчезает. Тогда уравнение равновесия (8) примет вид

  $\frac{\partial p}{\partial x_i}=\rho \frac{\partial }{\partial x_i}\Phi \left(x,{\Omega }^2\right),\left(i=\mathrm{1,2,3}\right).$             (10)

Здесь

  $\Phi \left(x,{\Omega }^2\right)=\phi \left(x\right)+\frac{1}{2}{x}_1^2\left({\left.{\Omega }^2+\frac{{\partial }^2{\phi }^{\prime }}{\partial {x^{\prime }}^2{}_1}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}\right)+\frac{1}{2}{x}_2^2\left({\left.{\Omega }^2+\frac{{\partial }^2{\phi }^{\prime }}{\partial {x^{\prime }}^2{}_2}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}\right)+\frac{1}{2}{x}_3^2{\left.\frac{{\partial }^2{\phi }^{\prime }}{\partial {x^{\prime }}^2{}_3}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}$     (11)

есть полный (гравитационный плюс центробежный) потенциал внутри рассматриваемого эллипсоида.

Далее находим из (6) вспомогательную производную

 $\frac{\partial \lambda }{\partial {x^{\prime }}_1}=\frac{2{x^{\prime }}_1}{\left(a_1^2+\lambda \right){\displaystyle \sum _1^3\frac{{x^{\prime }}_i^2}{{\left(a_i^2+\lambda \right)}^2}}}.$      (12)

Так как в точке $\left(D\mathrm{,0,} 0\right)$ эллипсоидальная координата равна $\lambda =D^2-a_1^2,$ то формула (12) дает

 ${\left.\frac{\partial \lambda }{\partial {x^{\prime }}_1}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}=2D.$  (13)

Дифференцируя теперь потенциал (5) и учитывая (13), находим

 $\begin{array}{l}{\left.\frac{\partial {\phi }^{\prime }}{\partial x_1}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}=-2\pi G\rho {\overline{A}}_{1}D;{\left.\frac{\partial {\phi }^{\prime }}{\partial x_2}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}={\left.\frac{\partial {\phi }^{\prime }}{\partial x_3}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}=0;\\ {\left.\frac{{\partial }^2{\phi }^{\prime }}{\partial x_1{}^2}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}=-2\pi G\rho {\overline{A}}_1+\frac{4\pi G\rho a_1{a}_2{a}_3}{\Delta \left(\lambda \right)}=2\pi G\rho \left({\overline{A}}_2+{\overline{A}}_3\right)>0;\\ {\left.\frac{{\partial }^2{\phi }^{\prime }}{\partial x_2{}^2}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}=-2\pi G\rho {\overline{A}}_2<0;{\left.\frac{{\partial }^2{\phi }^{\prime }}{\partial x_3{}^2}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}=-2\pi G\rho {\overline{A}}_3<0.\end{array}$ (14)

Здесь мы обозначили

 $\begin{array}{l}{\overline{A}}_i=a_1{a}_2{a}_3{\displaystyle \underset{D^2-a_1^2}{\overset{\infty }{\int }}\frac{du}{\left(a_i^2+u\right)\Delta \left(u\right)}};\\ \Delta \left(\lambda \right)=D\sqrt{\left(a_2^2+\lambda \right)\left(a_3^2+\lambda \right)}=D\sqrt{\left(a_2^2-a_1^2+D^2\right)\left(a_3^2-a_1^2+D^2\right)}.\end{array}$             (15)

и учли, что для проверки коэффициентов ${\overline{A}}_i$ должно выполняться тождество (которое нетрудно доказать):

 ${\overline{A}}_1+{\overline{A}}_2+{\overline{A}}_3=\frac{2a_1{a}_2{a}_3}{\Delta \left(\lambda \right)}.$              (16)

Умножая уравнение гидростатического равновесия (10) на $x_i^2\left(i=\mathrm{1,} \mathrm{2,} 3\right)$ и интегрируя по объему первой фигуры, получим тензорные вириальные уравнения относительного равновесия [11]

  $W_{11}+\left({\Omega }^2+{\left.\frac{{\partial }^2{\phi }^{\text{'}}}{\partial x_1^2}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}\right)I_{11}=W_{22}+\left({\Omega }^2+{\left.\frac{{\partial }^2{\phi }^{\text{'}}}{\partial x_2^2}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}\right)I_{22}=W_{33}+\left({\left.\frac{{\partial }^2{\phi }^{\text{'}}}{\partial x_3^2}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}\right)I_{33}=П$   (17)

Здесь $x$ и ${\lambda }_{\text{cent}}\mathrm{<mo>=</mo>6558}$ $—$ компоненты тензора гравитационной энергии и тензора инерции фигуры соответственно. Считая эту фигуру однородным трехосным эллипсоидом с поверхностью (1), имеем

 $\Delta \lambda \mathrm{<mo>=</mo>77}$ (18)

 $\Delta \lambda \mathrm{<mo>=</mo>77}$

 ${\lambda }_{\text{cent}}\mathrm{<mo>=</mo>6427}$     (19)

С учетом этих формул, уравнения (17) можно записать и как равенства весов каналов в эллипсоиде [12, 13]

 $\Delta \lambda \mathrm{<mo>=</mo>122}$            (20)

 $\Delta \lambda \mathrm{<mo>=</mo>122}$

Комбинируя уравнения (17), находим

 ${\Omega }^2\left(I_{11}+I_{22}\right)=2W_{33}-W_{11}-W_{22}-\left(I_{11}+2I_{33}\right){\left.\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_1{}^2}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}-\left(I_{22}+2I_{33}\right){\left.\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x_2{}^2}\right|}_{D\mathrm{,0,0}}.$     (21)

Подставляя в (21) величины из (14), (18), (19), после сокращений на $\frac{2}{5}\pi G\rho M,$ получим уравнение для квадрата угловой скорости

 ${\Omega }^2\left(1+n_{12}^2\right)=A_1+n_{12}^2{A}_2-2n_{13}^2{A}_3-(1-n_{12}^2){\overline{A}}_2-(1+2n_{13}^2){\overline{A}}_3.$                (22)

Здесь приняты следующие обозначения для безразмерных величин

 ${\Omega }^2\equiv \frac{{\Omega }^2}{2\pi G\rho };n_{12}=\frac{a_2}{a_1};n_{13}=\frac{a_3}{a_1}.$            (23)

С другой стороны, согласно (7) и первой формуле из (14), в данной задаче должно быть

 $\frac{{\Omega }^2}{2\pi G\rho }=2{\overline{A}}_1.$      (24)

С динамической точки зрения это означает, что угловая скорость вращения тел в паре определяется приливным коэффициентом ${\overline{A}}_1.$ Подставляя  из (24) в левую часть (22), после некоторых преобразований получим основное уравнение

 $2\left(1+n_{12}^2\right){\overline{A}}_1+(1-n_{12}^2){\overline{A}}_2+(1+2n_{13}^2){\overline{A}}_3=A_1+n_{12}^2{A}_2-2n_{13}^2{A}_3,$              (25)

 $2\left(1+n_{12}^2\right){\overline{A}}_1+(1-n_{12}^2){\overline{A}}_2+(1+2n_{13}^2){\overline{A}}_3=A_1+n_{12}^2{A}_2-2n_{13}^2{A}_3,$

которое следует рассматривать как неявное уравнение, связывающее отношения полуосей фигуры равновесия эллипсоида $n_{12}=\frac{a_2}{a_1}$ и $n_{13}=\frac{a_3}{a_1}.$

3. Численные расчеты для двойного астероида (190166) 2005 UP156

Прежде всего заметим, что в полученных из наблюдений параметрах астероида (190166) 2005 UP156 есть некоторая неопределенность. Так, при определении размеров каждого из астероидов этой пары в работе [9] длина поперечника оценивается в d ≈ 1.05 ± 0.02 км, а в работе [10] дается заметно меньшее значение d ≈ 900 м. Еще менее определенной в [10] является оценка расстояния между центрами масс астероидов D. В работе [9] этот важный параметр системы никак не оценивался, однако в работе [10] есть, к сожалению, некоторая путаница между понятиями большой полуоси орбиты и полным расстоянием D. В этой ситуации в качестве первого приближения мы взяли значение D = 5.4 км. Обратим также внимание на то, что в работе [10] значение плотности астероидов оценивается величиной ρ ≈ 1.6 г/см³, по другим же работам ρ ≈ 1.8 г/см³.

Для проведения расчетов мы взяли следующие параметры двойного астероида (190166) 2005 UP156:  

$a_1\approx 450\text{м};\begin{array}{c}\end{array}{a}_2\approx 300\text{м; }\frac{{а}_1}{{а}_2}=1.5;\begin{array}{c}\end{array}D\approx 12\cdot a1;\begin{array}{c}\end{array}{T}_{rot}\approx {40}^h\cdot 542$. (26)

На компьютере была составлена программа расчетов по формулам, указанным в разделе 2. Целью расчетов было нахождение третьей полуоси эллипсоида $a_3,$ объема каждого из астероидов $V=\frac{4}{3}\pi a_1{a}_2{a}_3,$ а затем оценка их плотности $\rho .$ Для этого требовалось рассчитать не только коэффициенты внутреннего потенциала эллипсоида $\left(A_1,A_2,A_3\right),$ но и коэффициенты приливного потенциала $\left({\overline{A}}_1,{\overline{A}}_2,{\overline{A}}_3\right)$ из (15). Так как важный параметр системы D был дан в [10] с некоторой неопределенностью, мы проводим расчеты для разных значений этой величины в интервале

 $7\le \frac{D}{a_1}\le 12.$      (27)

Основные данные расчетов приводятся в табл. 1 и показаны на рис. 2.

Таблица 1. Свойства эллипсоидальных моделей в двойном астероиде (190166) 2005 UP156. Обозначения всех величин даны в тексте.

Примечание. Точность в 7–8 значащих цифр в данной задаче необходима, так как позволяет по известным простым тождествам проверять сложные расчеты коэффициентов потенциала, например: A₂ + A₂ + A₂ = 2.

Рис. 2. Зависимость плотности вещества в двойном астероиде (190166) 2005 UP156 от нормированного расстояния между центрами масс D/a1.

4. Обсуждение результатов

Имеется несколько заслуживающих внимания особенностей в полученных выше результатах.

4.1. К вопросу о вращении эллипсоидов вокруг средней оси

В табл. 1 во второй колонке приводятся результаты расчетов третьей полуоси $a_3$ в астероидах пары (190166) 2005 UP156 для разных расстояний D между их центрами масс. Как видим, третья полуось оказывается больше второй полуоси

   $a_3>a_2,$           (28)

причем разность $a_3-a_2$ при расчетах в интервале для $D\in \left(12÷7\right)$ очень мало зависит от расстояния между астероидами (она убывает всего на $3\%$ ). Это означает, что спиновое вращение эллипсоидальных фигур равновесия происходит не вокруг малых, как это обычно предполагается в теории фигур равновесия, а вокруг средних осей эллипсоидов.

В связи с этим, заметим следующее. Как известно, классические сфероиды Маклорена и трехосные эллипсоиды Якоби вращаются всегда вокруг малой оси. Но это $—$ фигуры относительного равновесия. Эллипсоиды же с внутренними течениями при определенных условиях могут вращаться и вокруг средних осей. Замечание о таких эллипсоидах есть в книге Чандрасекара [11, с. 174]. Кроме того, эллипсоиды с вращением вокруг средней оси, которые существуют только при достаточно сильных противотоках, детально рассматривались в монографиях Кондратьева [12; 13, c. 372]. Здесь ограничимся лишь краткими пояснениями.

Внутри жидкого гравитирующего эллипсоида есть линейное по координатам внутреннее поле скоростей $u\left(x_i\right),$ ротор, от которого $\zeta =\text{rot} \text{}u$ не зависит от координат. Рассматриваются фигуры равновесия, в которых векторы $\zeta$ и Ω лежат на оси вращения ${\text{Ox}}_3.$ Такие фигуры называют S-эллипсоидами Римана [11]. Если отношение модулей этих векторов обозначим через  тогда для эллипсоидов с противотоками $f<\mathrm{0,}$ и сила Кориолиса на частицу будет направлена к центру фигуры. Рассматривая каналы единичного сечения вдоль главных полуосей, находим их «веса» (это интегралы от полной силы на жидкую частицу). «Веса» этих каналов в стационарном состоянии эллипсоида должны быть равными друг другу. Для нас важно сравнить вклад в «вес» второго канала от сил Кориолиса и центробежной силы. Из физических соображений ясно, что при противотоках сила Кориолиса направлена навстречу центробежной силе. Более того, при достаточно сильных противотоках сила Кориолиса будет не только уравновешивать центробежную силу, но и при условии [11]

    $f=-\frac{2-e_{12}^2}{1\pm e_{12}}<-\frac{1}{2}$                    (29)

превосходить ее. Выясняется, что при $f<-\frac{1}{2}$ на каждой последовательности фигур равновесия есть хотя бы один эллипсоид, вращающийся вокруг средней оси.

Кроме того, фигуры равновесия эллипсоидальных звездных систем также могут (за счет анизотропии дисперсии скоростей) устойчиво вращаться вокруг средних осей [14, 15].

В рассматриваемой здесь задаче о двойном астероиде роль силы, ослабляющей центробежную силу вдоль второго канала, играет приливная сила от второго тела. Рассмотрим, согласно формуле (20), веса второго и третьего каналов

$\frac{p_0}{2\pi G\rho }=a_2^2\left(A_2+{\overline{A}}_2-\frac{{\Omega }^2}{2\pi G\rho }\right)=a_3^2\left(A_3+{\overline{A}}_3\right).$     (30)

Из этой формулы следует, что приливная сила ${\overline{A}}_2$ от второго тела действительно ослабляет центробежную силу $\left(-\frac{{\Omega }^2}{2\pi G\rho }\right)$.

4.2. О нестационарности системы двух астероидов (190166) 2005 UP156

В табл. 1 и на рис. 2 даны результаты расчетов значений плотности в астероидах пары (190166) 2005 UP156 для разных расстояний между их центрами масс. Как видим, найденные значения плотности сильно отличаются от тех приближенных оценок, которые приводятся в работах [9, 10]. Напомним, в [10] приводится оценка ρ ≈ 1.6 г/см³, что согласуется с тем, что астероид (190166) 2005 UP156 был отнесен к S-типу, плотность которых не превышает, как правило, значения ρ ≈ 3 г/см³. Однако, наши расчеты дают приемлемые для астероидов S-типа значения плотности только для расстояний $D/a_1\approx \mathrm{7,}$ что не согласуется с тем значением $D/a_1\approx \mathrm{12,}$ которое дается в работе [10].

В подтверждение этих расчетов приведем простой пример. Считаем оба астероида однородными шарами со средними по объему радиусами $r.$ При найденных нами полуосях эллипсоида (в единицах $a_1$ ) $a_1=\mathrm{1,}{a}_2=\frac{2}{3},a_3\approx 0.82$ средний радиус будет равен $r\approx 0.81766a_1.$ Из кеплеровской формулы

   ${\Omega }^2\approx \frac{2GM}{D^3};\rho =\frac{3{\Omega }^2{D}^3}{8\pi G{r}^3},$           (31)

после подстановки сюда найденного выше $r,$ а также известного из наблюдений $\Omega =\frac{2\pi }{40.542h}$ и данного в [10] расстояния между центрами масс $D\approx 12a_1,$ получим

     $\rho \approx$ 10.48 г/см3.                             (32)

Это значение плотности близко к нашим оценкам (см. табл. 1) и не вписывается в диапазон плотности для астероидов S-типа. Таким образом, или оценка $D\approx 12a_1,$ данная в [10], неверна (завышена), или же система астероида (190166) 2005 UP156 оказывается существенно неравновесной.

5. Заключение

В работе поставлена и решена задача о фигурах равновесия двух жидких масс, находящихся в состоянии приливного взаимозахвата. В такой системе должны выполняться два условия: i) полного синхронного вращения, и ii) оба тела должны иметь одинаковые массы и конгруэнтные эллипсоидальные поверхности. Для каждой фигуры, кроме собственной гравитации и центробежных сил, в приливном приближении учитывается притяжение от второго тела. Аналитико-численным методом находится пространственная форма фигур равновесия в виде трехосных эллипсоидов. Данным методом изучается двойной астероид (190166) 2005 UP156, приближенно удовлетворяющий исходным условиям задачи. Установлено, что спиновое вращение эллипсоидальных фигур равновесия происходит не вокруг малых, как это обычно предполагается, а вокруг средних осей эллипсоидов. Кратко обсуждается вопрос о физических причинах, приводящих к вращению эллипсоидов вокруг средней оси. Исследование показало, что при известных на сегодня параметрах, система двух астероидов (190166) 2005 UP156 оказывается неравновесной.