From teaching experience. XIV. On the variety of tetrahedrons
- Authors: Voytekhovsky Y.L.1,2
-
Affiliations:
- A. I. Herzen Russian State Pedagogical University
- Saint Petersburg Russian Mineralogical Society
- Issue: No 4 (2024)
- Pages: 34-37
- Section: Scientific articles
- URL: https://journals.rcsi.science/2712-7761/article/view/276246
- DOI: https://doi.org/10.19110/geov.2024.4.4
- ID: 276246
Cite item
Full Text
Abstract
The paper proposes the derivation of 25 combinatorial-geometric kinds of tetrahedrons belonging to 8 point symmetry groups. Among them are 3 simple forms: cubic (-43m); tetragonal (-42m) and rhombic (222) tetrahedrons; and 5 combinations: trigonal pyramid and monohedron (3m); 2 planar dihedrons (mm2; 2 kinds); 2 axial dihedrons (2; 3 kinds); planar dihedron and 2 monohedrons (m; 5 kinds); 4 monohedrons (1; 11 kinds). It is shown that tetrahedrons with symmetry 23; -4 and 3 — subgroups of the point symmetry group of the cubic tetrahedron — are impossible. The example is recommended for consideration in the course of crystallography on «simple forms and their combinations».
Full Text
Введение
Подоплека этой статьи такова. Как-то после лекции о простых формах и их комбинациях к нам подошел студент-геолог и заявил: вы-де сказали; что есть только три тетраэдра (кубический; тетрагональный и ромбический); а я вот нарисовал четвертый; и; кажется; возможны другие. В конспекте лекций был изображен тетраэдр с разными гранями (длины ребер были помечены разными штрихами). Пришлось предложить студенту обдумать определение простой формы еще раз и пообещать вернуться к вопросу о разнообразии тетраэдров в начале следующей лекции. Тема действительно обойдена в учебниках кристаллографии (Попов; Шафрановский; 1964; Чупрунов и др.; 2004). Справедливости ради — при изложении теории простых форм и комбинаций она с необходимостью не возникает. Но отдадим должное любопытному студенту за неожиданный вопрос.
Как выпуклый многогранник (комбинаторно) тетраэдр уникален. Из его имени строго выводимо; что все 4 грани — треугольники; сходящиеся по 3 в каждой из 4 вершин. Но метрическое разнообразие тетраэдров бесконечно. Форму каждого можно зафиксировать (с точностью до энантиоморфизма) величинами трех ребер; исходящих из одной вершины; и углов между ними. Длины ребер положительны; непрерывны; неограничены и независимы. Углы положительны; непрерывны; ограничены (< 180°) и зависимы в сумме (<360°). Итак; форма тетраэдра задана координатной точкой в 6-мерном континууме; равномощном 1-мерному (Кантор; 1985). А все же натуральных чисел (счетной бесконечности) не хватит; чтобы их пронумеровать.
Перечисление
Перечисление тетраэдров по точечным группам симметрии (т. г. с.) интересно уже тем; что позволяет построить их систему в промежутке между «одним» и «бесконечно многим». Здесь видна философская подоплека кристаллографии; на которую тоже следует обращать внимание студентов. Но сосредоточимся на вопросе. Алгоритм перечисления состоит в следующем. Всякая т. г. с. подразумевает автоморфизмы; отображающие однородные элементы тетраэдра друг в друга; при этом грани могут быть 3 типов: равносторонние; равнобедренные и разносторонние. Их набор кодируется тремя числами. Так; кубический тетраэдр получает код [400]; тетрагональный — [040]; ромбический — [004]. Всего можно составить 15 таких (комбинаторных) кодов: [400]; [310]; [301]; [220]; [211]; [202]; [130]; [121]; [112]; [103]; [040]; [031]; [022]; [013]; [004]. Четыре из них (зачеркнуты) противоречивы: 3 равносторонние грани требуют такой же четвертой — получаем тетраэдр [400]; 2 равносторонние требуют две равнобедренные — получаем тетраэдр [220].
Перебор остальных вариантов удобно вести в порядке «убывания»: с равносторонними гранями; потом без них; но с равнобедренными; наконец; только с разносторонними. Восстановим ли тетраэдр по коду? Не всегда: [400] — заведомо кубический; но [040] — не обязательно тетрагональный. В одном типе следует различать (совместимо или зеркально) равные и разные грани. Так; в форме [0.2 + 2.0] есть 2 пары равнобедренных граней; в [0.2 + 1 + 1.0] — пара и 2 уникальные. Всего таких (комбинаторно-геометрических) символов можно составить 51. На рис. 1 даны только геометрически реализуемые варианты. Ребра равной (разной) длины отмечены одинаковыми (разными) буквами.
Рис. 1. Комбинаторно-геометрические типы тетраэдров. Пояснения в тексте
Fig. 1. Combinatorial-geometric types of tetrahedrons. See text
Характеристика
Тетраэдры охарактеризованы комбинаторно-геометрическими кодами и т. г. с. в таблице 1. Их взаимно-однозначное соответствие имеет место лишь для самых симметричных форм: кубического; тетрагонального; ромбического тетраэдров и комбинации тригональной пирамиды с моноэдром. Для них коды могут служить именами. В других случаях код характеризует тетраэдр точнее; чем т. г. с. Лишь для кода [0.2 + 2.0] возможны два тетраэдра с т. г. с. mm2 (№ 16) и 2 (№ 11) (выделены в табл.). Итого тетраэдров с т. г. с. mm2 — 2; т. г. с. 2 — 3; т. г. с. m — 5; т. г. с. 1 — 11. При этом 8 т. г. с. относятся к 6 из 7 (без гексагональной) сингониям с ростом числа форм к низкосимметричным: кубической; тетрагональной и тригональной — по 1; ромбической — 3; моноклинной — 8; триклинной — 11 (табл. 1).
Таблица 1. Характеристики тетраэдров
Table 1. Characteristics of tetrahedrons
№ на рис. 1 и код No. in Fig.1 and index | Т. г. с. PSG | Интерпретация Interpretation | Сингония Syngony |
1 [400] | -43m | кубический тетраэдр cubic tetrahedron | кубическая cubic |
10 [040] | -42m | тетрагональный тетраэдр tetragonal tetrahedron | тетрагональная tetragonal |
5 [130] | 3m | тригональная пирамида + моноэдр trigonal pyramid + monohedron | тригональная trigonal |
22 [004] | 222 | ромбический тетраэдр rhombic tetrahedron | ромбическая rhombic |
2 [220]; 16 [0;2+2;0] | mm2 | 2 планальных диэдра 2 planal dihedrals | |
11 [0;2+2;0]; 12 [022]; 23 [0;0;2+2] | 2 | 2 аксиальных диэдра 2 axial dihedrals | моноклинная monoclinic |
3 [1;2+1;0]; 6 [112]; 8 [0;2+1+1;0]; 14; 20 [0;1+1;2] | m | планальный диэдр + 2 моноэдра planal dihedron + 2 monohedra | |
4 [1;1+1;1]; 7 [1;0;1+1+1]; 9; 13; 18 [0;1+1+1;1]; 15; 21 [0;1;1+1+1]; 17; 19 [0;1+1;1+1]; 24; 25 [0;0;1+1+1+1] | 1 | 4 моноэдра 4 monohedra | триклинная triclinic |
Исключения
Нетрудно заметить; что все т. г. с. в таблице — это подгруппы т. г. с. -43m кубического тетраэдра (Вайнштейн; 1979). Но почему среди них нет т. г. с. 3; 23 и -4 (рис. 2)? Понять это несложно. В случае т. г. с. 3 ось симметрии L3 тетраэдра должна проходить через вершину и центр противоположной грани. Но тогда она равносторонняя; а боковые грани равнобедренные — получаем тетраэдр [130] (3m). В случае т. г. с. 23 (3L24L3) повторим рассуждение для 4L3 и получим тетраэдр [400] (-43m). В случае т. г. с. -4 инверсионная ось Li4 проходит через середины двух ребер; которые отождествляет. Она же уравнивает 4 других ребра — получаем тетраэдр [040] (-42m).
Рис. 2. Подгруппы точечной группы симметрии -43m. Пояснения в тексте
Fig. 2. Subgroups of the symmetry point group -43m. See text
По сути; построить тетраэдры с т. г. с. 3; 23 и -4 не позволяет малое число граней; к тому же все треугольные. Ранее на многообразиях выпуклых 4-…12-эдров и простых 13-…16-эдров показано; что при большем числе граней разные соединения даже одного набора могут давать огромное число комбинаторно различных полиэдрических форм (Войтеховский; Степенщиков; 2008).
Заключение
Рассмотренная задача о тетраэдрах хороша уже тем; что на простом примере показывает студентам стиль решения перечислительных задач; приведших к фундаментальным константам: 14 решеток О. Браве (ранее их нашел М. Франкенгейм; но — увы — 15; а не 14); 32 т. г. с. — А. В. Гадолина (ранее их нашел И. Гессель; но результат был надолго забыт); 47 простых форм и 230 пространственных групп симметрии Е. С. Федорова — А. Шенфлиса (оба поначалу ошиблись на 2—3 группы; но указали друг другу на это в переписке) и многие другие в высших разделах кристаллографии (многомерной и цветной). Одним словом; на этом примере всякий студент может проверить; годится ли он для работы в этой области.
Рис. 3. Рождественская поздравительная открытка из архива Д. П. Григорьева: «Die Kristallographie im “Hortus Sanctus” des Jacob Meydenbach zu Mainz 1491». («Кристаллография в “Священном саду” Якоба Мейденбаха; Майнц; 1491». — Пер. Ю. В.)
Fig. 3. X-mas greeting card from the archive of D. P. Grigoriev: «Crystallography in Jacob Meidenbach's «Hortus Sanctus» in Mainz in 1491»
Казалось бы; что может быть проще тетраэдра? Но напомним; что именно на нем О. Браве увидел инверсионную ось симметрии (Li4); о которой до того геометры не знали более 2000 лет. В кристаллографии и кристаллохимии тетраэдр — незаменимая фигура. Задолго до их становления тетраэдр можно видеть в первых средневековых энциклопедиях по естественным наукам (рис. 3). А он все продолжает ставить перед нами вопросы. Представляется; что вывод комбинаторно-геометрических видов тетраэдров поможет студентам прочно усвоить концепцию простых форм и их комбинаций.
Автор благодарит рецензента за тщательное рассмотрение рукописи и весьма квалифицированные замечания.
About the authors
Yu. L. Voytekhovsky
A. I. Herzen Russian State Pedagogical University; Saint Petersburg Russian Mineralogical Society
Author for correspondence.
Email: vojtehovskijj@herzen.spb.ru
Russian Federation, Saint Petersburg; Saint Petersburg
References
- Вайнштейн Б. К. Современная кристаллография. Т. 1. Симметрия кристаллов; методы структурной кристаллографии. М.: Наука; 1979. 384 с.
- Weinstein B. К. Modern crystallography. V. 1. Symmetry of crystals; methods of structural crystallography. Moscow: Nauka; 1979; 384 p. (in Russian)
- Войтеховский Ю. Л.; Степенщиков Д. Г. Комбинаторная кристалломорфология. Кн. IV. Выпуклые полиэдры. Т. 1. 4-…12-эдры; т. 2. Простые 13-…16-эдры. Апатиты: КНЦ РАН; 2008. Т. 1 — 833 с.; т. 2 — 828 с.
- Voytekhovsky Yu. L.; Stepenschikov D. G. Combinatorial crystal morphology. Book IV: convex polyhedra. V. 1: 4-…12-hedra; vol. 2: simple 13-…16-hedra. Apatity: Kola SC RAS; 2008; V. 1; 833 p.; V. 2; 828 p. (in Russian)
- Кантор Г. Труды по теории множеств. М.: Наука; 1985. 430 с.
- Cantor G. Works on set theory. Moscow: Nauka; 1985; 430 p. (in Russian)
- Попов Г. М.; Шафрановский И. И. Кристаллография. М.: Высшая школа; 1964. 370 с.
- Popov G. M.; Shafranovsky I. I. Crystallography. Moscow: Vysshaya shkola; 1964; 370 p. (in Russian)
- Чупрунов Е. В.; Хохлов А. Ф.; Фаддеев М. А. Основы кристаллографии. М.: Физматлит; 2004. 500 с.
- Chuprunov E. V.; Khokhlov A. F.; Faddeev M. A. Fundamentals of Crystallography. Moscow: Fizmatlit; 2004; 500 p. (in Russian)
Supplementary files
